江西省宜春市高安中学高二(上)期中数学试卷(文科)(含解析)

20212021江西省宜春市高安中学高二（上）
期中数学试卷（文科）
一．选择题：（10小题，每题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题纸上）
1．（5分）数列：的一个通项公式为（）
A．B．C．D．
考
点：
数列递推式．
专
题：
计算题．
分
析：
设c n={1，1，1，1，…}={（1）n+1}，={}，则
{}={c n•b n}={}．
解答：解：设c n={1，1，1，1，…}={（1）n+1}，
={}，
∴{}={c n•b n}={}，故选B．
点
评：
本题考查数列的递推公式，解题时要认真审题，仔细解答．
2．（5分）设a，b，c，d∈R，且a＞b，c＜d，则下列结论中正确的是（）
A．a+c＞b+d B．a c＞bd C．a c＞bd D．＞考
点：
不等关系与不等式．
专
题：
不等式的解法及应用．
分
析：
利用不等式的基本性质即可选出答案．
解答：解：∵c＜d，∴c＞d，又a＞b，∴ac＞bd．故答案为B．
点
评：
熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
3．（5分）下列说法正确的是（）
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从某处抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样
②某地××局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学
③吸烟与健康具有相关关系
④在回归直线方程=0.1x+10中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位．A．①②B．③④C．①③D．②④
考
点：
回归分析；概率的意义．
专
题：
探究型；概率与统计．
分析：①由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样；
②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水；
③吸烟与健康具有相关关系，正确；
④在回归直线方程=0.1x+10中，回归系数为0.1，利用回归系数的意义可得结论．
解答：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从某处抽取一件产品进行某项指标检测，由于间隔相同，这样的抽样是系统抽样，故①不正确；
②降水概率为90%的含义是指降水的可能性为90%，但不一定降水，故②不正确；
③吸烟与健康具有相关关系，正确；
④在回归直线方程=0.1x+10中，回归系数为0.1，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量增加0.1个单位，故④正确．
故选B．
点
评：
本题考查命题真假判断，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
4．（5分）（2021•重庆）不等式的解集为（）
A．B．C．D．
考
点：
其他不等式的解法．
专
题：
计算题．
分
析：
由不等式可得，由此解得不等式的解集．
解
答：
解：由不等式可得，解得＜x≤1，故不等式的解集为
，
故选A．
点
评：
本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．
5．（5分）已知一组数x1，x2，x3，x4．的平均数是，方差s2=4，则数据2x1+1，2x2+1，2x3+1，2x4+1的平均数和方差分别是（）
A．11，8 B．10，8 C．11，16 D．10，16
考
点：
极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．
专
题：
概率与统计．
分
析：
利用平均数和方差的定义即可求出答案．
解
答：
解：∵==5，
=4．
∴要求的平均数（2x2+1）+
（2x2+1）]===11，
要求的方差
+
=
=4s2=4×4=16．
故选C．
点
评：由=，s2=可得ax i+b（i=1到n）的平均数和方差分别为，a2s2．是
解决问题的关键．
6．（5分）递减等差数列{a n}的前n项和S n满足：S5=S10，则欲S n最大，必n=（）
A．10 B．7C．9D．7，8
考
点：
等差数列的性质．
专
题：
计算题．
分析：由S5=S10可得S10S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，根据等差数列的性质可得a8=0，结合等差数列为递减数列，可得d小于0，从而得到a7大于0，a9小于0，从而得到正确的选项．
解答：解：∵S5=S10，
∴S10S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，
根据等差数列的性质可得，a8=0
∵等差数列{a n}递减，
∴d＜0，即a7＞0，a9＜0，
根据数列的和的性质可知S7=S8为S n最大．故选D
点评：本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的和取得最值的条件①a1＞0，d＜0时数列的和有最大值；②a1＜0，d＞0数列的和有最小值，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．
7．（5分）7、已知{a n}是等比数列，且a n＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（）
A．5B．10 C．15 D．20
考
点：
等比数列．
分
析：
先由等比数列的性质求出a2•a4=a32，a4•a6=a52，再将a2a4+2a3a5+a4a6=25转化为（a3+a5）2=25求解．
解答：解：由等比数列的性质得：a2•a4=a32，a4•a6=a52∴a2a4+2a3a5+a4a6=25可化为
（a3+a5）2=25又∵a n＞0
∴a3+a5=5
故选A
点
评：
本题主要考查等比数列性质和解方程．
8．（5分）若正实数x、y满足：2x+y=1，则+的最小值为（）
A．B．2+C．3+2D．2考
点：
基本不等式．
专
题：
不等式的解法及应用．
分
析：
由题设条件得+=（+）（2x+y），利用基本不等式求出最值．
解
答：
解：由已知+=（+）（2x+y）=3++≥3+2．
等号当且仅当=时等号成立．
∴+的最小值为3+2．
故选C．
点
评：
本题考查据题设条件构造可以利用基本不等式的形式，利用基本不等式求最值．
9．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项的和为10，则项数n为（）
A．11 B．99 C．120 D．35
考
点：
数列的求和．
专
题：
等差数列与等比数列．
分
析：
由a n==，利用累加求和可得
==10，解出即可．
解
答：
解：∵a n==，
∴==10，解得n=35．故选D．
点
评：
熟练掌握分母有理化、累加求和等是解题的关键．
10．（5分）（2021•北京）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）
A．a＜5 B．a≥7 C．5≤a＜7 D．a＜5或a≥7
考
点：
二元一次不等式（组）与平面区域．
专
题：
作图题．
分
析：先画出另外两个不等式表示的区域，再调整a的大小，使得不等式组表示的平面区域是一个三角形即可．
解答：解：由上图可知5≤a＜7，故选C．
点
评：
本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，考查作图能力和对图形的分析能力．
二．填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（5分）一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人，为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为8，16，10，6．
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：先求得比例，然后各层的总人数乘上这个比例，即得到样本中各层的人数．
解答：解：因为=，故各层中依次抽取的人数分别是：
=8，=16，=10，=6，
故选D．
点评：本题主要考查分层抽样方法．属于基础题．
12．（5分）如图是一次歌咏大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，则a2+b2的最小值为32．
考点：茎叶图．
专题：不等式的解法及应用；概率与统计．
分析：根据算分的规则，去掉一个最高分和一个最低分后，有83，80+a，86，80+b，88，87五个数据，把5个数据代入求平均数的公式，得到a+b的值，最后利用基本不等式求最小值即可．
解答：解：∵由题意知，选手的分数去掉一个最高分和一个最低分有有83，80+a，86，80+b，88，87，∴选手的平均分是（83+80+a+86+80+b+88+87）=85，
∴a+b=8，
∴a2+b2=32．
故答案为：32．
点评：本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．
13．（5分）已知数列{a n}的前n项和是s n=2n2+3n+3，则数列的通项a n=．
考点：数列的概念及简单表示法．
专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：由n≥2时，a n=s n s n1，代入关系式化简求出a n，再把n=1时a1=s1代入验证，再用分段函数形式表示．解答：解：当n≥2时，a n=s n s n1=2n2+3n+3[2（n1）2+3（n1）+3]
=4n+1，
当n=1时，a1=s1=8，不符合上式，
则a n=，
故答案为：．
点评：
本题考查了数列中的项与前n项和之间的关系：的应用，注意n=1
的验证．
14．（5分）若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则log2x+log2y的最小值是log218．
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由条件知右边是xy的形式左边是2x+y和常数的和的形式，利用基本不等式化简后，转化后变成关于xy的不等式，把xy看成整体换元后求最小值，再由对数的运算和性质求出最小值．解答：解：由条件利用基本不等式可得，
xy=2x+y+6≥2（当且即当2x=y时取等号），
令xy=t2，即t=＞0，可得，
∴，解得t≥或t（舍去），
∴，得xy≥18，
∴log2x+log2y=≥，
故答案为：．
点评：本题主要考查了对数的运算和对数函数的性质应用，以及用基本不等式决最值问题的能力，以及换元思想和简单一元二次不等式的解法．
15．（5分）（2021•上海）若不等式x2kx+k1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是（∞，2]．考点：一元二次不等式的应用．
专题：综合题．
分析：根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值范围．
解答：解：不等式x2kx+k1＞0可化为（1x）k＞1x2∵x∈（1，2）
∴k＜=1+x
∴y=1+x是一个增函数
∴k≤1+1=2
∴实数k取值范围是（∞，2]
故答案为：（∞，2]
点评：本题考查一元二次不等式的应用，解题的关键是分离参数，利用函数的单调性确定参数的范围．三．解答题：（本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13
（Ⅰ）求{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n•b n}的前n项和S n．
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）设出{a n}的公差，{b n}的公比，利用a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，建立方程组，即可求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）由（1）可得，a n•b n=（2n1）•2n1，结合数列的特点利用错位相减法，可求前n项和S n．
解答：解：（I）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0，
∵a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，
∴，解得d=2，q=2．
∴a n=1+（n1）d=2n1，，
（Ⅱ）由（I）得，a n•b n=（2n1）•2n1，
S n=1•20+3•21+…+（2n1）•2n1
2S n=1•2+3•22+…+（2n3）•2n1+（2n1）•2n
两式相减可得，S n=1+2（2+22+2n1）（2n1）•2n
=1+2×）（2n1）•2n
=（32n）•2n3，
则S n=（2n3）•2n+3．
点评：本题主要考查了利用基本量表示等差数列及等数列的通项公式，错位相减求数列的和是数列求和方法中的重点和难点．
17．（12分）解关于x的不等式ax2（a+1）x+1＜0．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：计算题；分类讨论．
分析：当a=0时，得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当a≠0时，把原不等式的左边分解因式，然后分4种情况考虑：a小于0，a大于0小于1，a大于1和a等于1时，分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可．
解答：解：当a=0时，不等式的解为x＞1；
当a≠0时，分解因式a（x）（x1）＜0
当a＜0时，原不等式等价于（x）（x1）＞0，
不等式的解为x＞1或x＜；
当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为1＜x＜；
当a＞1时，＜1，不等式的解为＜x＜1；
当a=1时，不等式的解为∅．
点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．
18．（12分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n3n+1，n∈N*
（1）证明数列{a n n}为等比数列
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比关系的确定．
专题：计算题．
分析：（1）由a n+1=4a n3n+1可得a n+1（n+1）=4a n3n+1（n+1）=4a n4n=4（a n n），从而可证（2）由（1）可求a n，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求S n
解答：解：（1）∵a n+1=4a n3n+1n∈N*，
∴a n+1（n+1）
=4a n3n+1（n+1）…（4）分
=4a n4n=4（a n n）…（6）分
∴{a n n}为首项a11=1，公比q=4的等比数列…（8）分
（2）∵a n n=4n1∴a n=n+4n1…（10）分
S n=1+2+…+n+（1+4+…+4n1）
=
=…（13）分
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造证明等比数列，等比数列的通项公式的求解及分组求和方法的应用，等差数列及等比数列的求和公式的应用．
19．（12分）为了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次抽样调查，根据所得数据整理后列出了频率分布表如下：
组别频数频率
145.5149.5 1 0.02
149.5153.5 4 0.08
153.5157.5 22 0.44
157.5161.5 13 0.26
161.5165.5 8 0.16
165.5169.5 m n
合计M N
（1）求出表中所表示的数m，n，M，N分别是多少？
（2）若要从中再用分层抽样方法抽出10人作进一步调查，则身高在[153.5，161.5）范围内的应抽出多少人？（3）根据频率分布表，分别求出被测女生身高的众数，中位数和平均数？（结果保留一位小数）
考点：众数、中位数、平均数；频率分布表．
专题：应用题；概率与统计．
分析：（1）由第一组中频率与频数的关系频数/＞=频率，求出M，进一步得出m，n，N即可．（2）先求出抽样比和身高在[153.5，161.5）范围内的人数，再求身高在[153.5，161.5）范围内的应抽出多少人．
（3）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩形的底边的中点的和为数据的平均数．
解答：解：（1）M==50，m=50（1+4+22+13+8）=2，N=1，n===0.04．
∴m=2，n=0.04，M=50，N=1．…（4分）
（2）f==0.2，
身高在[153.5，161.5）范围内的人数为22+13=35，
∴身高在[153.5，161.5）范围内的应抽出35×0.2=7人．…（9分）
（3）根据频率分布直方图，知由图知，最高小矩形的中点横坐标是=155.5，
故被测女生身高的众数为155.5，
前两个矩形的面积为（0.005+0.02）×4=0.1，
0.50.1=0.4，×4≈3.6，
∴中位数为153.5+3.6=157.1．
平均数=147.5×0.02+151.5×0.08+155.5×0.44+159.5×0.26+163.5×0.16+167.5×0.04=157.8…（14分）．
点评：本题主要考查了频数分布表，在解题时要能根据直方图中的已知数据求出未知数据是本题的关键．20．（13分）某集团准备兴办一所中学，投资1200万元用于硬件建设．为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：
班级学生数配备教师数硬件建设（万元）教师年薪（万/人）
初中60 2.0 28 1.2
高中40 2.5 58 1.6
根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元．因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜．根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？（利润=学费收入年薪支出）
考点：简单线性规划的应用．
专题：应用题；数形结合．
分析：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．设初中x个班，高中y个班，年利润为s，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．
解答：解：设初中x个班，高中y个班，则
设年利润为s，则
s=60×0.06x+40×0.15y2×1.2x2.5×1.6y
=1.2x+2y
作出①、②表示的平面区域，如上图，易知当直线1.2x+2y=s过点A时，s有最大值．
由解得A（18，12）
∴s max=1.2×18+2×12=45.6（万元）．
即学校可规划初中18个班，高中12个班，可获得最大年利润为45.6万元．
点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
21．（14分）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）c，数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n项和S n满足S n S n1=+（n≥2）．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）若数列{}前n项和为T n，问T n＞的最小正整数n是多少？
考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
专题：综合题．
分析：（1）先根据点（1，）在f（x）=a x上求出a的值，从而确定函数f（x）的解析式，再由等比数列{a n}的前n项和为f（n）c求出数列{a n}的公比和首项，得到数列{a n}的通项公式；由数列{b n}的前n 项和S n满足S n S n1=可得到数列{ }构成一个首项为1公差为1的等差数列，进而得到数列{ }的通项公式，再由b n=S n S n1可确定{b n}的通项公式．
（2）先表示出T n再利用裂项法求得的表达式T n，根据T n＞求得n．
解答：
解：（1）由已知f（1）=a=，∴f（x）=，等比数列{a n}的前n项和为f（n）c=c，∴a1=f（1）=c，a2=[f（2）c][f（1）c]=，a3=[f（3）c][f（2）c]=
数列{a n}是等比数列，应有=q，解得c=1，q=．
∴首项a1=f（1）=c=
∴等比数列{a n}的通项公式为=．
（2）∵S n S n1==（n≥2）
又b n＞0，＞0，∴=1；
∴数列{ }构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
∴=1+（n1）×1=n
∴S n=n2
当n=1时，b1=S1=1，
当n≥2时，b n=S n S n1=n2（n1）2=2n1
又n=1时也适合上式，
∴{b n}的通项公式b n=2n1．
（2）==
∴
==
由，得，，
故满足的最小正整数为112．
点评：本题考查了求数列通项中的两种题型：构造等差（等比）数列法，利用a n，s n的关系求解．以及裂项法数列求和．与函数、不等式相联系，增加了综合性．要求具有综合分析问题，解决问题的能力．。