中考数学模拟试题优选汇编-专题13 尺规作图

2020年中考数学模拟试题优选汇编考前必练
专题13 尺规作图
一．选择题
1．（2020•东营区一模）如图，矩形ABCD 中60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12
MN 的长为半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC
于点E ，若2BE cm =，则CE 的长为( )
A
．6cm B ． C ．4cm D ．
2．（2020•夷陵区模拟）如图，60AOB ∠=︒，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于C ，D 两点；分别以C ，D 为圆心，以大于1
2
CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射
线OP 上截取线段4OM =，则M 点到OB 的距离为( )
A
．4 B ．3 C ．2 D ．3．（2020•西华县一模）如图，Rt OAB ∆的直角边OA 在x 轴上，OB 在y 轴的正半轴上，且(3,0)A ，4
sin 5
OAB ∠=
．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OA ，AB 于点C ，D ；②分别以C ，D 为圆心，大于1
2
CD 的长为半径作弧，两弧在OAB ∠内交于点M ；③作射线AM ，交y 轴
于点E ．则点E 的坐标为( )
A ．4
(0,)3
B ．3
(0,)2
C ．
D ．
4．（2020•中原区校级模拟）如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图： ①以点A 为圆心，以小于AC 的长为半径作弧，分别交AC 、AB 于点M ，N ； ②分别以点M ，N 为圆心，以大于1
2
MN 的长为半径作弧，两弧相交于点O ；
③作射线OA ，交BC 于点E ，若6CE =，10BE =． 则AB 的长为( )
A ．11
B ．12
C ．18
D ．20
5．（2020•信阳模拟）如图，ABCD 中，4CD =，6BC =，按以下步骤作图：①以点C 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BC ，CD 于M ，N 两点：②分别以点M ，N 为圆心，以大于1
2
MN 的长为半径画弧，
两弧在ABCD 的内部交于点P ；③连接CP 并延长交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，则AF 的长为(
)
A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．3
6．（2020•温州一模）在ABC ∆中，5BC =，12AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧，与AB 交于D ，再分别以A ，D 为圆心，大于1
2
AD 的长为半径作圆弧交于点M ，N ，作直线MN ，交AC 于E ，
则AE 的长度为( )
A
．B ．4 C ．
133
D ．5
7．（2020•海淀区校级二模）如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：
①分别以点C 和点D 为圆心，大于1
2
CD 的同样的长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点；
②作直线MN ，交CD 于点E ，连接BE ．
若直线MN 恰好经过点A ，则下列说法错误的是( )
A ．60ABC ∠=︒
B ．2ABE ADE S S ∆∆=
C
．若4AB =，则BE =
D ．tan CB
E ∠=
8．（2020•朝阳区模拟）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒．
（1）以点C 为圆心，以CB 的长为半径画弧，交AB 于点G ，分别以点G ，B 为圆心，以大于1
2
GB 的长为
半径画弧，两弧交于点K ，作射线CK ；
（2）以点B 为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC 于点M ，交AB 的延长线于点N ，分别以点M ，N 为圆心，以大于1
2
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作直线BP 交AC 的延长线于点D ，交射线CK 于点E ；
（3）过点D 作DF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，连接CF ． 根据以上操作过程及所作图形，有如下结论： ①CE CD =； ②BC BE BF ==；
③1
2
CDFB S CF BD =⋅四边形；
④BCF BCE ∠=∠．
所有正确结论的序号为( )
A ．①②③
B ．①③
C ．②④
D ．③④
二．填空题
9．（2020•青白江区模拟）如图，在ABC ∆中，按以下步骤作图：
①分别以点B 和点C 为圆心，大于1
2
BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；
②作直线MN ，分别交边AB ，BC 于点D 和E ，连接CD ．若90BCA ∠=︒，8AB =，则CD 的长为 ．
10．（2020•成都模拟）如图，BD 是矩形ABCD 的对角线，在BA 和BD 上分别截取BE ，BF ，使BE BF =，分别以E ，F 为圆心，以大于1
2
EF 的长为半径作弧，两弧在ABD ∠内交于点G ，作射线BG 交AD 于点P ，
若AP =P 到BD 的距离为 ．
11．（2020•成华区模拟）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=︒，4AD =，3BC =．分别以点A ，C 为圆心，大于
1
2
AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 恰好是AC 的中点，则CD 的长为 ．
12．（2020•乐至县一模）如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点D ，E ，再分别以D ，E 点为圆心，大于1
2
DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于
点G ，若1BG =，4AC =，则ACG ∆的面积为 ．
13．（2020•温江区模拟）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于1
2
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交
边BC 于点D ，若4CD =，12AB =，则ABD ∆的面积是 ．
14．（2020•成都模拟）如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图： ①分别以点A 和B 为圆心，以大于
1
2
AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 、F ； ②作直线EF 交BC 于点G ，连接AG ； 若AG BC ⊥，3CG =，则AD 的长为 ．
三．解答题
15．（2020•朝阳区二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
PQ l．
求作：直线PQ，使得//
作法：如图，
①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；
②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点A，B，连接AP；
③分别以点P，B为圆心，以AB，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线PB的两旁）；
④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BQ，
PQ=，BQ=，
∴四边形PABQ是平行四边形()（填推理依据）．
∴．
PQ l
//
16．（2020•平谷区二模）下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线外一点P．
求作：过点P作直线l的平行线．
作法：如图，
①在直线l上任取点O；
②作直线PO；
③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；
④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交O于点C（点A与点C不重合）；
⑤作直线CP；
则直线CP即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BP、BC，
=，
AB BC
∴AB BC
=，
∴∠=∠，
=，
又OB OP
∴∠=∠，
∴∠=∠，
CPB OBP
∴)（填推理的依据）．
//(
CP l
17．（2020•西城区二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：
∆．
已知：ABC
求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB，AC边的距离相等．
作法：如图，
∠的平分线，交BC于点D．
作BAC
则点D即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
⊥于点F，
证明：作DE AB
⊥于点E，作DF AC
∠，
AD平分BAC
∴=()（括号里填推理的依据）．
18．（2020•河东区一模）如图，在O 中，点A 为弧CD 的中点过点B 作O 的切线BF ，交弦CD 的延长线于点F ．
（Ⅰ）如图①，连接AB ，若50F ∠=︒，求ABF ∠的大小；
（Ⅱ）如图②，连接CB ，若35F ∠=︒，//AC BF ，求CBF ∠的度数．
19．（2020•福州二模）如图，已知MON ∠，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点．
（1）尺规作图：在MON ∠的内部确定一点C ，使得//BC OA 且1
2
BC OA =；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）中，连接OC ，用无刻度直尺在线段OC 上确定一点D ，使得2OD CD =，并证明2OD CD =．
20．（2020•建邺区一模）【概念认识】
若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆．
如图①，点P 是锐角ABC ∆的边BC 上一点，以P 为圆心的半圆上的所有点都在ABC ∆的内部或边上．当半径最大时，半圆P 为边BC 关联的极限内半圆．
【初步思考】
若等边ABC ∆的边长为1，则边BC 关联的极限内半圆的半径长为 ．
如图②，在钝角ABC ∆中，用直尺和圆规作出边BC 关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）． 【深入研究】
如图③，30AOB ∠=︒，点C 在射线OB 上，6OC =，点Q 是射线OA 上一动点．在QOC ∆中，若边OC 关联的极限内半圆的半径为r ，当12r 时，求OQ 的长的取值范围．
21．（2020•莲湖区二模）如图，已知线段AB ．
（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB 为腰、底角等于30︒的等腰ABC ∆．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的前提下，若2AB cm =，则等腰ABC ∆的外接圆的半径为 cm ．
22．（2020•金华一模）人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，其中转化思想是中学数学中最活跃，最实用，也是最重要的数学思想，例如将不规则图形转化为规则图形就是研究图形问题比较常用的一种方法．
、 问题解决：
在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1)、
ABC ∆（如图1)．AB 1和2的直角三角形的斜边，BC
是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，AC 2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求ABC ∆的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请直接写出图1中ABC ∆的面积为 ．
（2）类比迁移：（请利用图2的正方形网格画出相应的ABC ∆，并求出它的面积）．
23．（2019•陆丰市模拟）如图，已知ABC ∆，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）． （1）作ABC ∆的外接圆；
（2）若ABC ∆所在平面内有一点D ，满足CAB CDB ∠=∠，BC BD =，求作点D ．
2020年中考数学模拟试题优选汇编考前必练
专题13 尺规作图
一．选择题
1．（2020•东营区一模）如图，矩形ABCD 中60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB ，AC 于点M ，N 两点，再分别以点M ，N 为圆心，以大于12
MN 的长为半径作弧交于点P ，作射线AP 交BC
于点E ，若2BE cm =，则CE 的长为( )
A
．6cm B ． C ．4cm D ．
【解析】如图所示，过E 作EF AC ⊥于F ， 由题可得，AP 平分BAC ∠，
EB AB ⊥，
2EB EF cm ∴==， 60BAC ∠=︒，90B ∠=︒， 30ACB ∴∠=︒，
Rt CEF ∴∆中，24CE EF cm ==，
故选：C ．
2．（2020•夷陵区模拟）如图，60AOB ∠=︒，以点O 为圆心，以任意长为半径作弧交OA ，OB 于C ，D 两点；分别以C ，D 为圆心，以大于1
2
CD 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；以O 为端点作射线OP ，在射
线OP 上截取线段4OM =，则M 点到OB 的距离为( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．
【解析】根据作图过程可知： OP 是AOB ∠的平分线，
1
302
POB AOB ∴∠=∠=︒，
4OM =，
M ∴点到OB 的距离2．
故选：C ．
3．（2020•西华县一模）如图，Rt OAB ∆的直角边OA 在x 轴上，OB 在y 轴的正半轴上，且(3,0)A ，4
sin 5
OAB ∠=
．按以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交OA ，AB 于点C ，D ；②分别以C ，D 为圆心，大于1
2
CD 的长为半径作弧，两弧在OAB ∠内交于点M ；③作射线AM ，交y 轴
于点E ．则点E 的坐标为( )
A ．4
(0,)3
B ．3
(0,)2
C ．
D ．
【解析】(3,0)A ∴，4sin 5
OAB ∠=． 3OA ∴=，4OB =，5OA =，
根据作图过程可知：
AE 是AOB ∠的平分线，
作EF AB ⊥于点F ，
则EF OE =，
4BE OE ∴=-，552BF AF AO =-=-=，
在Rt BEF ∆中，根据勾股定理，得
222BE BF EF =+，
即222(4)2OE OE -=+， 解得32
OE =
． 所以点E 的坐标为3
(0,)2
．
故选：B ．
4．（2020•中原区校级模拟）如图所示，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，按以下步骤作图： ①以点A 为圆心，以小于AC 的长为半径作弧，分别交AC 、AB 于点M ，N ； ②分别以点M ，N 为圆心，以大于1
2
MN 的长为半径作弧，两弧相交于点O ；
③作射线OA ，交BC 于点E ，若6CE =，10BE =． 则AB 的长为( )
A ．11
B ．12
C ．18
D ．20
【解析】过点E 作DE AB ⊥于点D ， 由作图知AP 平分BAC ∠， 90C ADE ∠=∠=︒， 6CE DE ∴==， 10BE =，
8BD ∴=，
AD AD =，CE DE =，
Rt ACE Rt ADE(HL)∴∆≅∆， AC AD ∴=，
设AC AD x ==，
由222AC BC AB +=得22216(8)x x +=+， 解得：6x =，即12AC =， 20AB =，
故选：D ．
5．（2020•信阳模拟）如图，ABCD 中，4CD =，6BC =，按以下步骤作图：①以点C 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BC ，CD 于M ，N 两点：②分别以点M ，N 为圆心，以大于1
2
MN 的长为半径画弧，
两弧在ABCD 的内部交于点P ；③连接CP 并延长交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，则AF 的长为(
)
A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．3
【解析】由作图可知，FCD FCB ∠=∠， 四边形ABCD 是平行四边形， //AB CD ∴，4AB CD ==， F FCD ∴∠=∠， F FCB ∴∠=∠，
6BF BC ∴==，
642AF BF BA ∴=-=-=，
故选：B ．
6．（2020•温州一模）在ABC ∆中，5BC =，12AC =，90C ∠=︒，以点B 为圆心，BC 为半径作圆弧，与AB 交于D ，再分别以A ，D 为圆心，大于1
2
AD 的长为半径作圆弧交于点M ，N ，作直线MN ，交AC 于E ，
则AE 的长度为( )
A
．B ．4 C ．
133
D ．5
【解析】由作图可得，5BD BC ==，1358AD =-=，MN 垂直平分AD ， 1
42
AF AD ∴=
=， 5BC =，12AC =，90C ∠=︒， 13AB ∴=，
90AFE ACB ∠=∠=︒，A A ∠=∠， AFE ACB ∴∆∆∽，
∴
AE AF AB AC =，即4
1312
AE =， 解得13
3
AE =
， 故选：C ．
7．（2020•海淀区校级二模）如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：
①分别以点C 和点D 为圆心，大于1
2
CD 的同样的长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点；
②作直线MN ，交CD 于点E ，连接BE ．
若直线MN 恰好经过点A ，则下列说法错误的是( )
A ．60ABC ∠=︒
B ．2ABE ADE S S ∆∆=
C ．若
4AB =，则BE = D ．tan CBE ∠=
【解析】如图，
A 、根据作图过程可知：
AE 是DC 的垂直平分线，连接AC ，
AC AD ∴=，
四边形ABCD 是菱形， AB BC CD AD ∴===，
AB BC AC ∴==，
∴三角形ABC 是等边三角形，
60ABC ∴∠=︒．
所以A 选项正确；
B 、点E 是CD 的中点，
1
2ADE BCE ABE S S S ∆∆∆∴==，
2ABE ADE S S ∆∆∴=，
所以B 选项正确；
C 、60BAC CA
D ∠=∠=︒，1
302CAE CAD ∠=∠=︒，
90BAE ∴∠=︒，
4AB AD ==，
AE ∴=
∴在Rt ABE ∆中，根据勾股定理，得
BE === 所以C 选项错误；
D 、过点
E 作BC 延长线的垂线，垂足为
F ，
90EFC ∴∠=︒， 60ECF ∠=︒，
设2CE =，则4BC =，1CF =，EF =，
∴在Rt EBF ∆中，5BF BC CF =+=，
tan EF CBE BF ∴∠=
=
所以D 选项正确．
所以下列说法错误的是C 选项． 故选：C ．
8．（2020•朝阳区模拟）如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒．
（1）以点C 为圆心，以CB 的长为半径画弧，交AB 于点G ，分别以点G ，B 为圆心，以大于1
2
GB 的长为
半径画弧，两弧交于点K ，作射线CK ；
（2）以点B 为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC 于点M ，交AB 的延长线于点N ，分别以点M ，N 为圆心，以大于1
2
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作直线BP 交AC 的延长线于点D ，交射线CK 于点E ；
（3）过点D 作DF AB ⊥交AB 的延长线于点F ，连接CF ． 根据以上操作过程及所作图形，有如下结论： ①CE CD =； ②BC BE BF ==； ③1
2
CDFB S CF BD =⋅四边形；
④BCF BCE ∠=∠．
所有正确结论的序号为()
A．①②③B．①③C．②④D．③④【解析】如图，连接CF，交BD于点H，
由作图过程可知：
∠的平分线，
CE是BG的垂直平分线，BD是CBF
设CE与AB交于点Q，
∴∠=∠=︒，
CQA DFA
90
CQ DF
∴，
//
∴∠=∠，
CED FDE
∠的平分线，
BD是CBF
CBD FBD
∴∠=∠，
∠=∠=︒，
90
BCD BFD
=，
BD BD
∴∆≅∆，
()
BCD BFD AAS
CDB FDB ∴∠=∠，
CDB CED ∴∠=∠， CE CD ∴=，
所以①正确；
()BCD BFD AAS ∆≅∆， BC BF ∴=，
但是BC BE ≠，
∴②不正确；
BCD BFD CDFB S S S ∆∆=+四边形 11
22
BD CH BD FH =
+ 1
2
CF BD =． ∴③正确；
BCE ∆与BCF ∆不全等， BCE BCF ∴∠≠∠，
∴④不正确．
所以正确结论的序号为①③． 故选：B ． 二．填空题
9．（2020•青白江区模拟）如图，在ABC ∆中，按以下步骤作图：
①分别以点B 和点C 为圆心，大于1
2
BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ；
②作直线MN ，分别交边AB ，BC 于点D 和E ，连接CD ．若90BCA ∠=︒，8AB =，则CD 的长为 ．
【解析】连接CD ，
由作图可知：点M 、点N 在线段BC 的垂直平分线上，
MN ∴垂直平分线段BC
CD BD ∴=， DCB B ∴∠=∠， 90BCA ∠=︒，
90A B BCD ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒，
A ACD ∴∠=∠， CD AD ∴=，
1
2
CD AB ∴=
， 8AB =， 4CD ∴=，
故答案为：4．
10．（2020•成都模拟）如图，BD 是矩形ABCD 的对角线，在BA 和BD 上分别截取BE ，BF ，使BE BF =，分别以E ，F 为圆心，以大于12
EF 的长为半径作弧，两弧在ABD ∠内交于点G ，作射线BG 交AD 于点P ，
若AP =P 到BD 的距离为 ．
【解析】结合作图的过程知：BP 平分ABD ∠，
90A ∠=︒，AP =，
∴
点P 到BD 的距离等于AP ，
．
11．（2020•成华区模拟）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠=︒，4AD =，3BC =．分别以点A ，C 为圆心，大于
1
2
AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 恰好是AC 的中点，则CD 的长为 ．
【解析】由作图过程可知：
BF 是AC 的垂直平分线，
AF CF ∴=，AO CO =，
//AD BC ， AFO CBO ∴∠=∠，
又AOF COB ∠=∠， ()AOF COB AAS ∴∆≅∆， 3AF BC ∴==， 3FC AF ∴==，
431FD AD AF ∴=-=-=，
在Rt FCD ∆中，根据勾股定理，得
CD
所以CD 的长为
故答案为：
12．（2020•乐至县一模）如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点D ，E ，再分别以D ，E 点为圆心，大于1
2
DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于
点G ，若1BG =，4AC =，则ACG ∆的面积为 ．
G ∴点到AC 的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1，
所以ACG ∆的面积1
4122
=⨯⨯=．
故答案为：2．
13．（2020•温江区模拟）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于1
2
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交
边BC 于点D ，若4CD =，12AB =，则ABD ∆的面积是 ．
【解析】作DE AB ⊥于E ，
由基本尺规作图可知，AD 是ABC ∆的角平分线， 90C ∠=︒， DC AC ∴⊥，
DE AB ⊥，DC AC ⊥，
4DE DC ∴==，
ABD ∴∆的面积11
1242422
AB DE =⨯⨯=⨯⨯=，
故答案为24．
14．（2020•成都模拟）如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图： ①分别以点A 和B 为圆心，以大于
1
2
AB 的长为半径作弧，两弧相交于点E 、F ； ②作直线EF 交BC 于点G ，连接AG ； 若AG BC ⊥，3CG =，则AD 的长为 ．
AG BG
∴=，
⊥，
AG BC
∴∆是等腰直角三角形，
ABG
∴，
AB
==，则AB，
设AG BG x
四边形ABCD是菱形，
AB BC
∴=，
CG=，
3
∴=+=，
BC x
3
解得：1)
x=，
AD AB
∴==+
6
故答案为：6+
三．解答题
15．（2020•朝阳区二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
PQ l．
求作：直线PQ，使得//
作法：如图，
①任意取一点K，使点K和点P在直线l的两旁；
②以P为圆心，PK长为半径画弧，交l于点A，B，连接AP；
③分别以点P，B为圆心，以AB，PA长为半径画弧，两弧相交于点Q（点Q和点A在直线PB的两旁）；
④作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：连接BQ，
PQ=AB，BQ=，
∴四边形PABQ是平行四边形()（填推理依据）．
∴．
PQ l
//
【解析】（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：连接BQ，
=，BQ AP
PQ AB
=，
∴四边形PABQ是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
//
∴．
PQ l
故答案为：AB，AP，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
16．（2020•平谷区二模）下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线外一点P．
求作：过点P作直线l的平行线．
作法：如图，
①在直线l上任取点O；
②作直线PO；
③以点O为圆心OP长为半径画圆，交直线PO于点A，交直线l于点B；
④连接AB，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交O于点C（点A与点C不重合）；
⑤作直线CP；
则直线CP即为所求．
根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．
（1）补全图形；
（2）完成下面的证明：
证明：连接BP、BC，
=，
AB BC
∴AB BC
=，
∴∠CPB=∠，
=，
又OB OP
∴∠=∠，
∴∠=∠，
CPB OBP
∴)（填推理的依据）．
CP l
//(
【解析】（1）补全图形如下：
（2）证明：连接BP、BC，
AB BC
=，
∴AB BC
=，
∴∠=∠，
CPB APB
=，
又OB OP
∴∠=∠，
OBP OPB
∴∠=∠，
CPB OBP
∴（内错角相等，两直线平行）．
//
CP l
故答案为：CPB ，APB ，OBP ，OPB ，内错角相等，两直线平行．
17．（2020•西城区二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程： 已知：ABC ∆．
求作：点D ，使得点D 在BC 边上，且到AB ，AC 边的距离相等． 作法：如图，
作BAC ∠的平分线，交BC 于点D ． 则点D 即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．
证明：作DE AB ⊥于点E ，作DF AC ⊥于点F ，
AD 平分BAC ∠，
∴ DE = ( )（括号里填推理的依据）．
【解析】（1）补全图形如图所示；
（2）证明：作DE AB ⊥于点E ，作DF AC ⊥于点F ，
AD 平分BAC ∠，
DE DF ∴=（角平分线的性质）
， 故答案为：DE ，DF ，角平分线的性质．
18．（2020•河东区一模）如图，在O 中，点A 为弧CD 的中点过点B 作O 的切线BF ，交弦CD 的延长线于点F ．
（Ⅰ）如图①，连接AB ，若50F ∠=︒，求ABF ∠的大小；
（Ⅱ）如图②，连接CB ，若35F ∠=︒，//AC BF ，求CBF ∠的度数．
【解析】（1）如图①，连接OB ，OA ，
BF 是O 的切线，
OB BF ∴⊥， 90OBF ∴∠=︒，
点A 为弧CD 的中点， OA CD ∴⊥，
90OEF ∴∠=︒，
180********AOB F ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， OA OB =，
1
(180130)252OBA A ∴∠=∠=︒-︒=︒，
65ABF OBF OBA ∴∠=∠-∠=︒；
（2）如图②，连接OA ，OB ，
BF 是O 的切线，
OB BF ∴⊥， 90OBF ∴∠=︒，
由（1）方法可得，
180********AOB F ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
1
72.52
ACB AOB ∴∠=∠=︒，
//AC BF ，
35ACF F ∴∠=∠=︒，
37.5BCF ACB ACF ∴∠=∠-=︒， 180107.5CBF BCF F ∴∠=︒-∠-∠=︒．
19．（2020•福州二模）如图，已知MON ∠，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点．
（1）尺规作图：在MON ∠的内部确定一点C ，使得//BC OA 且1
2
BC OA =；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）中，连接OC ，用无刻度直尺在线段OC 上确定一点D ，使得2OD CD =，并证明2OD CD =．
【解析】（1）如图，点C 即为所求．
（2）如图，点D 即为所求．
理由：由（1）得//BC OA ，1
2
BC OA =，
DBC DAO ∴∠=∠，DCB DOA ∠=∠， DBC DAO ∴∆∆∽，
∴
1
2
DC BC DO AO ==， 2OD CD ∴=．
20．（2020•建邺区一模）【概念认识】
若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆．
如图①，点P 是锐角ABC ∆的边BC 上一点，以P 为圆心的半圆上的所有点都在ABC ∆的内部或边上．当半
径最大时，半圆P 为边BC 关联的极限内半圆．
【初步思考】
若等边ABC ∆的边长为1，则边BC 关联的极限内半圆的半径长为 ． 如图②，在钝角ABC ∆中，用直尺和圆规作出边BC 关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）．
【深入研究】
如图③，30AOB ∠=︒，点C 在射线OB 上，6OC =，点Q 是射线OA 上一动点．在QOC ∆中，若边OC 关联的极限内半圆的半径为r ，当12r 时，求OQ 的长的取值范围．
【解析】（1）如图，设边BC 关联的极限内半圆与AC 相切于点T ，连接OT ，AO ．
12
OB OC ==，60C ∠=︒，90OTC ∠=︒，
sin 60OT OC ∴=︒=，
． （2）如图，半圆O 即为所求．
（3）当1r = 时，OQ 取得最小值．
如图③中，半圆P 与OQ 、QC 分别相切于点M 、N ，连接PQ ．
设QM x =，则QN QM x ==．
在Rt OPM ∆ 中，90OMP ∠=︒，30AOB ∠=︒，1PM =，
22OP PM ∴===，OM =在Rt PCN ∆ 中，90PNC ∠=︒，1PN =，4PC =，
CN ∴=
OQ OM MQ x ∴=+=，CQ CN NQ x =+=．
::1:2OPQ CPQ S S OP PC ∆∆==，且PM PN =，
:1:2OQ QC ∴=．
2QC OQ ∴=．
∴
)x x =，解 得x ．
OQ ∴=
当2r = 时，半圆P 经过点C ．
如图②，过点C 作OB 的垂线交OA 于点D ．
由（2）知，当Q 在射线DA 上时，2OD CD == 43OQ ∴，均符合题意． 综上所述，当12r 时，153OQ -．
21．（2020•莲湖区二模）如图，已知线段AB ．
（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB 为腰、底角等于30︒的等腰ABC ∆．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的前提下，若2AB cm =，则等腰ABC ∆的外接圆的半径为 cm ．
【解析】（1）如图，ABC ∆为所作；
（2）ABD ∆和BCD ∆为等边三角形，
DA DB DC AB ∴===，
∴等腰ABC ∆的外接圆的半径为2
故答案为2．
22．（2020•金华一模）人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学
思想，其中转化思想是中学数学中最活跃，最实用，也是最重要的数学思想，例如将不规则图形转化为规则图形就是研究图形问题比较常用的一种方法．
、
问题解决：
在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1)、
ABC ∆（如图1)．AB 1和2的直角三角形的斜边，BC
是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，AC 2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求ABC ∆的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请直接写出图1中ABC ∆的面积为 72
．
（2）类比迁移：（请利用图2的正方形网格画出相应的ABC ∆，并求出它的面积）．
【解析】（1）11133121323222
ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 72
=； 故答案为：
72；
（2）如图2所示：ABC ∆即为所求，
11124122214222
ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 3=．
23．（2019•陆丰市模拟）如图，已知ABC ∆，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）． （1）作ABC ∆的外接圆；
（2）若ABC ∆所在平面内有一点D ，满足CAB CDB ∠=∠，BC BD =，求作点D ．
【解析】（1）如图所示：O 即为所求；
（2）如图所示：点D 即为所求．。