材料力学

工程力学（II ）（材料）2013年3月份考前辅导答疑材料
1、静矩与形心
（1）静矩的单位是长度的三次方；
（2）静矩是截面对于一定的轴而言，同一截面对于不同的坐标轴，其静矩不同。

静矩可以是正值，也可以是负值或等于零。

（3）若坐标轴的静矩为零，则坐标轴一定通过平面图形的形心。

反之，任何平面图形对于形心轴的静矩一定等于零。

2、极惯性矩、惯性积、惯性矩 平面图形对z 轴的惯性矩：2=
d z A
I y A ⎰
平面图形对z 轴的惯性矩：2=
d y A
I z A ⎰
平面图形对坐标原点的极惯性矩：2=d p A
I A ρ⎰
平面图形对z ，y 轴的惯性积：=
d zy A
I zy A ⎰
（1）极惯性矩I p 是对某一坐标原点而言，惯性矩I z ，I y 是对某一坐标轴而言，而惯性积I yz 是对过一点的一对相互垂直的坐标轴而言。

（2）I z ，I y ，I p 的单位均为长度的四次方，它们的值总是正值。

（3）惯性积I yz 的量纲也是长度的四次方，但其值有正负，也可能为零，主要由图形在坐标系中的位置来确定。

3、形心主惯性轴、形心主惯性矩
对于任何形状的截面，总可以找到一对特殊的直角坐标轴，使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零。

惯性积等于零的一对坐标轴就称为该截面的主惯性轴，而截面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。

当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，它们就被称为该截面的形心主惯性轴，简称形心主轴。

而截面对于形心主轴的的惯性矩就称为形心主惯性矩。

（1）如果平面图形有一根对称轴，则此轴必定是形心主惯性轴，而另一根形心主轴通过形心，并与此轴垂直。

（2）如果平面图形有两根对称轴，则此两轴都为形心主惯性轴。

（3）如果平面图形有三根或更多的对称轴，那么过该图形形心的任何轴都是形心主惯性轴，而且该平面图形对于其任一形心主惯性轴的惯性矩都相等。

形心主惯性矩的计算：
矩形截面：312z bh I =，圆形截面：4
64
z D I π=
4、力是物体之间相互的机械作用，物体的平衡是指物体相对于地面处于静止或匀速直线运
动状态。

5、拉伸或压缩
作用在杆端的外力作用线与杆件重合，杆件产生的变形是沿轴线方向的伸长或缩短。

在轴向拉伸或压缩的杆件中，由于外力P 的作用，在横截面上将产生的内力是轴力，作用线与杆轴一致。

当杆件受拉伸时，为轴向拉力（为正），当杆件受压缩时，为轴向压力（为负）。

为了表明杆内的轴力随截面位置的改变而变化的情况，需要做轴力图。

若杆件的横截面面积为A ，横截面上的轴力为N ，则应力为：N
A
σ=
，称为正应力。

反映了轴向力N 在横截面上的分布集度。

方向与轴力方向一致，正负与轴力规定一致。

杆件四种基本变形的公式及应用
四种基本变形应力公式都可写成：
=
内力应力截面几何性质
对扭转的最大应力：截面几何性质取抗扭截面模量
max ρ=
ρI W p
对弯曲的最大应力：截面几何性质取抗弯截面模量max y I W Z Z =
四种基本变形的变形公式，都可写成：
=
⨯内力长度
变形刚度
因剪切变形为实用计算方法，不考虑计算变形。

弯曲变形的曲率 2
21dx y d x ±=ρ）（，一段长为 l 的纯弯曲梁有：
z x
EI l M x l
=ρ=θ）（
6、拉伸与压缩：指简单拉伸与简单压缩，即拉力或压力与杆的轴线重合；若外荷载作用线不与轴线重合，就成为拉（压）与弯曲的组合变形问题；杆的压缩问题，要注意它的长细比λ（柔度）。

这里的简单压缩是指“小柔度压缩问题”。

7、剪切：
实用性的强度计算法，作了剪应力在受剪截面上均匀分布的假设。

要注意有不同的受剪截面：
a.单面受剪：受剪面积是铆钉杆的横截面积；
b.双面受剪：受剪面积有两个：考虑整体结构，受剪面积为2倍销钉截面积；运用截面法，外力一分为二，受剪面积为销钉截面积。

c.圆柱面受剪：受剪面积以冲头直径d 为直径，冲板厚度 t 为高的圆柱面面积。

8、关于扭转
表中公式只实用于圆形截面的直杆和空心圆轴。

等直圆杆扭转的应力和变形计算公式可
近似分析螺旋弹簧的应力和变形问题是应用杆件基本变形理论解决实际问题的很好例子。

9、关于纯弯曲
纯弯曲，在梁某段剪力 Q=0 时才发生，平面假设成立。

横力弯曲（剪切弯曲）可以视作剪切与纯弯曲的组合，因剪应力平行于截面，弯曲正应力垂直于截面，两者正交无直接联系，所以由纯弯曲推导出的正应力公式可以在剪切弯曲中使用。

10、关于横力弯曲时梁截面上剪应力的计算问题
为计算剪应力，作为初等理论的材料力学方法作了一些巧妙的假设和处理，在理解矩形截面梁剪应力公式时，要注意以下几点：
（1）无论作用于梁上的是集中力还是分布力，在梁的宽度上都是均匀分布的。

故剪应力在宽度上不变，方向与荷载（剪力）平行。

（2）分析剪应力沿梁截面高度分布变化规律时，若仅在截面内，有Q
bdh h n
=τ⎰)(，
因
)(h τ=τ 的函数形式未知，无法积分。

但由剪应力互等定理，考虑微梁段左、右内力
的平衡，可以得出：
b I QS z Z *
=
τ 剪应力在横截面上沿高度的变化规律就体现在静矩z S 上， *
z S 总是正的。

剪应力公式及其假设：
a.矩形截面
假设1：横截面上剪应力τ与矩形截面边界平行，与剪应力Q 的方向一致； 假设2：横截面上同一层高上的剪应力相等。

剪应力公式：
b I y QS y z z )()(*
=τ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22*22y y b y S Z ）（）（，平均ττ2323max =⋅=bh Q
b. 非矩形截面积
假设1： 同一层上的剪应力τ作用线通过这层两端边界的切线交点，剪应力的方向与剪力的方向。

假设2：同一层上的剪应力在剪力Q 方向上的分量τy 相等。

剪应力公式：
z z y I y b y QS y )()()(*
=τ，2
322*)
(3
2)(y R y S z -=，
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ℜ
∙=222
134)(R y Q
y y πτ，
平均ττ34
max =
c.薄壁截面
假设1：剪应力τ与边界平行，与剪应力谐调。

假设2：沿薄壁t ，τ均匀分布。

剪应力公式：
z z tI QS *=
τ
11、截面法求内力方程：
内力是梁截面位置的函数，内力方程是分段函数，它们以集中力偶的作用点，分布的起始、终止点为分段点；
（1）在集中力作用处，剪力发生突变，变化值即集中力值，而弯矩不变； （2）在集中力偶作用处，剪力不变，弯矩发生突变，变化值即集中力偶值；
（3）剪力等于脱离梁段上外力的代数和。

脱离体截面以外另一端，外力的符号同剪力符号规定，其他外力与其同向则同号，反向则异号；
（4）弯矩等于脱离体上的外力、外力偶对截面形心截面形心的力矩的代数和。

外力矩及外力偶的符号依弯矩符号规则确定。

12、梁内力及内力图的解题步骤： （1）建立坐标，求约束反力； （2）划分内力方程区段；
（3）依内力方程规律写出内力方程；
（4）运用分布荷载q 、剪力Q 、弯矩M 的关系作内力图； 关系：
()()()()()()⎪⎩⎪⎨
⎧+=+====⎰⎰d c d c C D C D x d x Q M M x d x q Q Q x Q dx dM
x q dx dQ dx M d ，2
2
规定：①荷载的符号规定：分布荷载集度 q 向上为正；
②坐标轴指向规定：梁左端为原点，x 轴向右为正。

剪力图和弯矩图的规定：剪力图的 Q 轴向上为正，弯矩图的 M 轴向下为正。

（5）作剪力图和弯矩图： ① 无分布荷载的梁段，剪力为常数，弯矩为斜直线；Q ＞0，M 图有正斜率（﹨）；Q ＜0，有负斜率（／）； ② 有分布荷载的梁段（设为常数），剪力图为一斜直线，弯矩图为抛物线；q ＜0，Q 图有负斜率（﹨），M 图下凹（︶）；q ＞0，Q 图有正斜率（／），M 图上凸（︵）； ③ Q=0的截面，弯矩可为极值； ④ 集中力作用处，剪力图有突变，突变值为集中力之值，此处弯矩图的斜率也突变，弯矩图有尖角； ⑤ 集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变，突变值为力偶之矩； ⑥ 在剪力为零，剪力改变符号，和集中力偶作用的截面（包括梁固定端截面），确定最大弯矩（
max
M
）；
⑦ 指定截面上的剪力等于前一截面的剪力与该两截面间分布荷载图面积值的和；指定截面积上的弯矩等于前一截面的弯矩与该两截面间剪力图面积值的和。

13、应力状态分析 （1）单向拉伸和压缩
应力状态划分为单向、二向和三向应力状态。

是根据一点的三个主应力的情况而确定的。

如：σ1=σx ，σ2=σ3=0单向拉伸
有：
E X
X σε=，x z Y v εεε-== 主应力只有σ1=σx ，但就应变，三个方向都存在。

若沿α和α+π/2取出单元体，则在四个截面上的应力为：
2
222
cos sin 22sin sin 22x x x x ααππαασσσατασσσατα
++⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，， 看起来似乎为二向应力状态，其实是单向应力状态。

（2）二向应力状态. 有三种具体情况需注意
1）已知两个主应力的大小和方向，求指定截面上的应力
121212cos222sin 22
αασσσσσασστα+-⎧=+⎪⎪⎨
-⎪=⎪⎩ 由任意互相垂直截面上的应力，求另一任意斜截面上的应力
y cos 2sin 222sin 2cos 22
x x y x x y x αασσσσσατασστατα+-⎧=+-⎪⎪⎨
-⎪=+⎪⎩ 由任意互相垂直截面上的应力，求这一点的主应力和主方向
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧σ-στ-=ατ-σ-σ±σ+σ=⎭
⎬⎫σσy
x x
x
y x y x tg 2222022
21）（
（角度α和α0均以逆时针转动为正） 2）二向应力状态的应力圆 应力圆在分析中的应用：
a) 应力圆上的点与单元体的截面及其上应力一一对应；
b) 应力圆直径两端所在的点对应单元体的两个相互垂直的面；
c) 应力圆上的两点所夹圆心角（锐角）是应力单元对应截面外法线间夹角的两倍； d) 应力圆与正应力轴的两交点对应单元体两主应力；
e) 应力圆中过圆心且平行剪应力轴而交于应力圆的两点为最大、最小剪应力及其作用面。

极点法：确定主应力及最大（小）剪应力的方向和作用面方向。

3）三方向应力状态，三向应力圆，一点的最大应力（最大正应力、最大剪应力）
广义虎克定律：弹性体的一个特点是，当它在某一方向受拉时，与它垂直的另外方向就会收缩。

反之，沿一个方向缩短，另外两个方向就拉长。

主轴方向：
[]()[]()[]⎪⎪
⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧σ+σ-σ=εσ+σ-σ=εσ+σ-σ=ε213
31
3223211111v E v E v E ）（ 或()()()()[]()()()()[]()()()()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ε+ε+ε+-+=σε+ε+ε--+=σε+ε+ε--+=σ213313223211121112111211v v v V E v v v v E v v v v E
非主轴方向：
()[]
()[]
()[]
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎨⎧σ+σ-σ=εσ+σ-σ=εσ+σ-σ=εy x z z x z y y
z y x x v E v E v E 111
体积应变：
()32132121σσσεεε++-=
++E v
14、强度理论
1.计算公式.
强度理论可以写成如下统一形式：σr ≤[σ]
其中：σr ：相当应力，由三个主应力根据各强度理论按一定形式组合而成。

[σ]：许用应力，
[]n 0
σσ=
，σ0：单向拉伸时的极限应力，n ：安全系数。

1) 最大拉应力理论（第一强度理论） σr1=σ1， 一般：
[]n b
σσ=
2) 最大伸长线应变理论（第二强度理论）
()3212σσσσ+-=v r ，一般：[]n b
σσ= 3) 最大剪应力理论（第三强度理论） 313σσσ+=r ， 一般：[]n s
σσ= 4) 形状改变比能理论（第四强度理论） ()()()[]
213232221421
σσσσσσσ-+-+-=
r ， 一般：
[]n s σσ= 5) 莫尔强度理论
[][]31σ
σσ-σ=σ-+M ， []n
+=σσ， 0
+σ：材料抗拉极限应力
强度理论的选用： 1) 一般，
脆性材料应采用第一和第二强度理论； 塑性材料应采用第三和第四强度理论。

2) 对于抗拉和抗压强度不同的材料，可采用最大拉应力理论 3) 三向拉应力接近相等时，宜采用最大拉应力理论； 三向压应力接近相等时，宜应用第三或第四强度理论。

15、平面弯曲时，梁的挠曲线是荷载平面内的一条曲线，故称平面弯曲；斜弯曲时，梁的挠曲线不在荷载平面内，所以称斜弯曲。

16、拉（压）与弯曲组合，中性轴一般不再通过形心，截面上有拉应力和压应力之区别 偏心拉压问题，有时要求截面上下只有一种应力，这时载荷的作用中心与截面形心不能差得太远，而只能作用在一个较小的范围内这个范围称为截面的核心。

17、扭转与弯曲的组合形变：
机械工程中常见的一种杆件组合形变，故常为圆轴。

分析步骤：
根据杆件的受力情况分析出扭矩和弯矩和剪力。

找出危险截面：即扭矩和弯矩均较大的截面。

由扭转和弯曲形变的特点，危险点在轴的表面。

剪力产生的剪应力一般相对较小而且在中性轴上（弯曲正应力为零）。

一般可不考虑剪力的作用。

弯扭组合一般为复杂应力状态，应采用合适的强度理论作强度分析，强度计算公式：
[]
σ≤τ+σ=σ2234r
[]σ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛=σ2
2
3
4P T r W M A P
[]σ≤τ+σ=σ2243r
[]σ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛=σ2
2
4
3P T r W M A P
18、扭转与拉压的组合：
杆件内最大正应力与最大剪应力一般不在横截面或纵截面上，应选用适当强度理论作强度分析。

强度计算公式
[]3
r σσ==
≤
[]
σ≤+=
τ+σ=σ2
22247501
3T r M M W
.
19、压杆稳定性的主要概念
压杆失稳破坏时横截面上的正应力小于屈服极限（或强度极限），甚至小于比例极限。

即失稳破坏与强度不足的破坏是两种性质完全不同的破坏。

临界力是压杆固有特性，与材料的物性有关（主要是E ），主要与压杆截面的形状和尺寸，杆的长度，杆的支承情况密切相关。

计算临界力要注意两个主惯性平面内惯矩 I 和长度系数 μ 的对应。

压杆的长细比或柔度表达了欧拉公式的运用范围。

细长杆（大柔度杆）运用欧拉公式判定杆的稳定性，短压杆（小柔度杆）只发生强度破坏而一般不会发生失稳破坏；中长杆（中柔度杆）既有强度破坏又有较明显失稳现象，通常根据实验数据处理这类问题，直线经验公式是最简单实用的一种。

折剪系数ψ 是柔度 λ 的函数，这是因为柔度不同，临界应力也不同。

且柔度不同，安全系数也不同。

20、动荷载、交变应力及疲劳强度
（1）动荷载分析的基本原理和基本方法：
1）动静法，其依据是达朗贝尔原理。

这个方法把动荷的问题转化为静荷的问题。

2）能量分析法，其依据是能量守恒原理。

这个方法为分析复杂的冲击问题提供了简略的计算手段。

在运用此法分析计算实际工程问题时应注意回到其基本假设逐项进行考察与分析，否则有时将得出不合理的结果。

构件作等加速运动或等角速转动时的动载荷系k d 为：
st d d k σσ=
这个式子是动荷系数的定义式，它给出了k d 的内涵和外延。

k d 的计算式，则要根据构件的具体运动方式，经分析推导而定。

构件受冲击时的冲击动荷系数k d 为：
st d
st d d k ∆∆σσ=
=
这个式子是冲击动荷系数的定义式，其计算式要根据具体的冲击形式经分析推导而定。

两个k d 中包含丰富的内容。

它们不仅能给出动的量与静的量之间的相互关系，而且包含了影响动载荷和动应力的主要因素，从而为寻求降低动载荷对构件的不利影响的方法提供了思路和依据。

（2）交变应力与疲劳失效
基本概念：应力循环，循环周期，最大、最小循环应力，循环特征(应力比)，持久极限，条件持久极限，应力集中系数，构件的尺寸系数，表面质量系数，持久极限曲线等。

应力寿命曲线：表示一定循环特征下标准试件的疲劳强度与疲劳寿命之间关系的曲线，称应力寿命曲线，也称S —N 曲线：
持久极限曲线：
构件的工作安全系数：
m
a r k n σψ+σβεσ=σσ=
σσσ-σ1
max
，构件的疲劳强度条件为：n n ≥σ
21、超静定问题：
总结：分析步骤
关键点：变形协调条件—力力—简单超静定梁问题拉压压杆的超静定问
⎪⎭
⎪
⎬⎫
求解简单超静定梁主要有三个步骤：
1) 解得超静定梁的多余约束而以其反力代替；
2) 求解原多余约束处由已知荷载及“多余”约束反力产生的变形； 由原多余支座处找出变形协调条件，重立补充方程。