苏教版高三二轮复习讲义第21讲-直线和圆锥曲线 1(数学)

第21讲：直线和圆锥曲线 1
昆山震川高级中学 张勇
一．高考要求
能正确熟练地解决关于直线和圆锥曲线关系问题，高考题型有大题也有小题，要能够把研究直线和圆锥曲线关系问题转化为研究方程组的解的问题，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，能够运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线位置关系． 二．两点解读
重点：①联解直线和圆锥曲线的方程组；②涉及到弦中点问题时，常用一元二次方程根与系数的关系或用“点差法”；③与向量知识结合；④与函数、不等式知识结合；⑤注意分类讨论；⑥弦长的计算．
难点：①最值、范围的研究，条件的合理转化；②利用圆锥曲线的性质简化运算． 三．课前训练
1．已知直线10x y --=与抛物线2
y ax =相切，则______.a =
2．直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的交点个数只有一个，则k= ．
3．椭圆
22
1369
x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是( ) (A )20x y -= (B )2100x y +-= (C )280x y +-= (D )220x y --=
4．过原点的直线l 与双曲线13
42
2-=-y x 交于两点，则l 的斜率的取值范围是（ ）
（A ）
(
2-
,23) （B ）(,∞-2
)(
Y )+∞,2
3
（C ）
[
,2
3] （D ）(,∞-][
Y )+∞,2
3
四．典型例题
例1 在抛物线2
x y =上到直线42-=x y 距离最短的点的坐标是________ （A ）()1,1 （B ）()4,2 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41 （D ）⎪⎭
⎫
⎝⎛49,23
例2 若椭圆2
2
1(0,0)mx ny m n +=>>与直线1y x =-交于,A B 两点，过原点与线段
AB ，则n
m
的值为 （ ）
（A （B ）
2
（C ）
2
(D)
9
例3 过双曲线1:22
2
=-b
y x M 的左顶点A 作斜率为1的直线l , 若l 与双曲线M 的
两条渐近线分别相交于点C B ,, 且||||BC AB =, 则双曲线M 的离心率是 （ ）
（A ）
10 （B ）5 （C ）
310 （D ）2
5
例4 直线y = x - 2与抛物线y 2 = 2x 相交与点A 、B ，求证：OA ⊥OB ．
例5 直线y - ax - 1 = 0与双曲线3x 2 - y 2 = 1交于A ,B 两点．
()1当a 为何值时,A ,B 在双曲线的两支上．当a 为何值时,A ,B 在双曲线的同一支上． ()2当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点．
例6 在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2
y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→
--OA →
--⋅OB ＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
第21讲 直线和圆锥曲线 1 过关练习
1．过点)
(2,1的直线与双曲线2
x 2
3
y -=1只有一个公共点，这样的直线有____条．
2．抛物线y 2= 4x 被直线2x + y = 1所截得弦长是 ．
3．双曲线
116
92
2=-x y 的一条准线被它地两条渐近线所截线段的长为 ．
4．若直线2-=kx y 与抛物线x y 82
=交于B A ,两点，且AB 的中点的横坐标为2， 则k = （ ） （A ） 2或1- （B ）1- （C ）2 （D ）15±
5．对一切实数k ，直线y = kx + 1与椭圆 52x +m
y 2
=1恒有公共点，则m 的取值范围
是 ．
6．直线l 过抛物线x y 42
=的焦点，与抛物线交于B A ,两点，若AB =8，求直线l 的
方程．
7．已知点)1,2(P 在双曲线12
22
2=-b y a x 上，且它到双曲线一个焦点F 的距离是1，
(1) 求双曲线方程；
(2) 过F 的直线1l 交双曲线于A 、B 两点，若弦长AB 不超过4，求1l 的倾斜角的范围．
第21讲：直线和圆锥曲线 1 参考答案 课前训练部分
1．14
． 2．1k =±
或3．C ．4．B ． 典型例题部分
例1设抛物线上一点00(,)x y
，到直线的距离是d =
当01x =时d 最小，故选A 。

例2 设1122(,),(,),A x y B x y AB 中点为00(,)x y ，则由221122
2
211mx ny mx ny ⎧+=⎪
⎨+=⎪⎩两式相减得
0121201x y y m x x n y -=-=--
，00
x
n m y ∴== A.
例3 直线线l 的方程为1y x =+，与渐近线方程为y bx =联解得1(
,)11
b
C b b --， 11(,)22(1)2(1)
b
B b b ∴-+--，代入y bx =-，解得3b =，故选A 。

例4 设1122(,),(,)A x y B x y ，由22
2y x y x =-⎧⎨=⎩得2640x x -+=，有12126,4x x x x +=⋅=，
得到 124y y =-，12120OA OB x x y y ∴⋅=+=u u u r u u u r
，∴OA OB ⊥。

例5 （1）由22
131y ax x y =+⎧⎨-=⎩
得22
(3)220a x ax ---= A,B 在双曲线的两支上时：120x x ⋅<
，解得：x A,B 在双曲线的同一支上时：12
0x x ∆>⎧⎨⋅>⎩
解得：a <
a
（2）由0OA OB ⋅=u u u r u u u r
，得1a =±
例6（1）由2(3)2y k x y x =-⎧⎨=⎩
得2
260y y k --=，126y y ∴⋅=-，21212()94y y x x ⋅⋅==
12123OA OB x x y y ∴⋅=⋅+⋅=u u u r u u u r ，又当AB x ⊥u u u r
轴时，易得→--OA →--⋅OB ＝3
（2）逆命题“如果→--OA →
--⋅OB ＝3，那么直线l 过点T （3，0）”，是假命题。

设:()l y k x m =-，与2
y ＝2x 联解得：22
20y y m k
-
-=，122y y m ∴⋅=-，22
1212()4
y y x x m ⋅⋅==，代入12123OA OB x x y y ∴⋅=⋅+⋅=u u u r u u u r ，得223m m -=，结得
3m =或1m =-，说明直线l 可以过点T （1-，0）。

过关练习
1．4．23．
24
5
．4．A ．5．[1 , 5 ,5()⋃ +)∞ 6．由AB =8,结合定义知AB 的中点的横坐标为3，设直线l ：(1)y k x =-，与x y 42
=联解得，
2
2
2
2
(24)0k x k x k -++=，2122
24
6k x x k +∴+==，得1k =±，
直线l 的方程为：(1)y x =±-
7．（1）由1PF =，而P 点的纵坐标为1，故PF x ⊥轴，c ∴=2
221
1a b
-=，联解得
221,1a b ==，得双曲线方程为：221x y -=，
（2）设1:(l y k x =，代入221x y -=得2222(1)210k x x k -+--=，
212122
21
,1
k x x x x k +∴+=⋅=-，
代入124AB x =-
解得23k ≥或213
k ≤，1l 的倾斜角的范围是：2
5[0,][,][,)6
33
6
πππππ⋃⋃。