专题 函数的定义域和值域

专题：函数的定义域、值域之南宫帮珍创作
A 一、基本知识
①函数的定义域：函数自变量的取值范围。

此定义包涵以下内容：⑴自变量即是函数方程中的某一个未知数，可以是x ，也可以是其他字母b a ,；如：12++=ax ax y 的定义域是[]1,1-，无法确定是x 或a 的范围，但1)(2++=ax ax x f 和1)(2++=ax ax a g 就非常明确；⑵复合函数的定义域：①)1(+x f 的定义域是[]1,1-[]1,1-∈⇒x ，不是[]1,11-∈+x ；②)]([x g f 的内函数的值域是外函数定义域的子集。

⑶分段函数的定义域：分段函数各子函数的定义域交集为
φ，值域为各子函数的并集。

题型一、惯例函数的定义域 例1、求下列函数的定义域 1．（1）x
x x x x x f +-+
+-=0
2)1(65)(； （2）1132
---=x x x y ；
2.函数)1lg(11)(++-=x x
x f 的定义域是 （ ）
A ．(-∞,-1)
B ．(1,+∞)
C ．(-1,1)∪(1,+∞)
D ．R
3. 函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是 （ ） A ．（∞-，
3
1-
） B ．(
3
1-
，3
1） C ．(
3
1-
，1）
D ．(
31
-
，∞+）
4．若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是（ ）
A ．[,]a b
B ．[,]b a --
C ．[,]b b -
D ．[,]a a -
5. 已知()f x =
1
1
+x ，则函数(())f f x 的定义域是 ( ) A ．{|1}x x ≠- B ．
{|2}
x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且
D ．{|12}x x x ≠-≠-或
6. 函数＝y R ，则k 的取值范围是（）
A.09k k ≥≤-或
B.1k ≥
C.91k -≤≤
D. 01k <≤ 7．已知函数2
2(3)1
x
y ax a x -=
--+的定义域是R , 则实数a 的范围是
_________________.
题型二、抽象函数的定义域 例2、
1．若函数()f x 的定义域为[－2，2]，则函数
f 的定义域是（ ）
A ．[－4，4]
B ．[－2，2]
C ． [0，2]
D ． [0，4]
2．已知函数)(x f 的定义域为[0，4]，求函数)()3(2x f x f y ++=的定义域为（ ）
A ．[2,1]--
B ．[1,2]
C ．[2,1]-
D ．[1,2]-
3.若函数)2(+x f 的定义域为[－2，2]，则函数)12(-x f 的定义域是_________________. B 一、基本知识 ①函数的值域：
在定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有取值所组成的集合。

此定义包涵以下内容：⑴定义域优先的原则；⑵定义域和对应法则共同决定值域；⑶这是一种“映射”关系，在对应法则不变的情况下，定义域的改变会可能会导致值域的改变；⑷值域的发生依赖于定义域，二者存在因果和一定的反解关系； ②函数的最值：
函数的最大值：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足：⑴对于任意I x ∈,都有M x f ≤)(；⑵存在I x ∈0，使得
M x f =)(0，那么称M
为函数的最大值（Maximum Value ）。

函数的最小值：一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足：⑴对于任意I x ∈,都有M x f ≥)(；⑵存在I x ∈0，使得
M x f =)(0，那么称M
为函数的最小值（Minimum Value ）。

③高中罕见函数的族谱分类和说明
1、 基础函数：
此类函数是高中数学中的基础或者尺度函数，它们是一切其他复杂函数的源头。

它们可以通过平移、伸缩，翻折变换为我们经罕见到的其他函数，因此，其他函数都会或多或少保存着它们的性质和特征。

一般来说，如下的映射变换是我们经常遇见的： ①加减常数：a x x +→，作用：导致左右平移，一般不改变函数的值域；
②乘除常数：ax x →作用：扩大或者缩小x 的取值，但一般不改变值域；特别地，如果．．0<a ，则会改变函数的单调性．．．．．．．．．．．
；
③取倒数：x
x 1
→ 作用：改变定义域，发生分式，函数不连续，也改变相应区间．．．．．．函数．．的单调性．．．．
；
④取平方：2x x → 作用：平方的运算级别是高中数学中考察最多的部分。

平方的出现从函数形态来讲，就是为发生对称轴做准备．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的．
，一般来说，因其具备偶函数的特征即会发生增减单调区间，也会发生最值。

另外，平方作为一个非负形式，在求解范围（或值域）是首先考虑的对象。

⑤取绝对值：x x →，作用：绝对值尽管从函数形态来说，因其具
备偶函数的特征会使函数有对称轴，也是非负的，也会发生增减区间，但真正考察最多的仍然是绝对值的讨论．．．．．．．．．．．．．．．．，即打开绝对值，作为分段函数考虑问题的部分；
⑥取二次根式：x x → 作用：二次根式的作用首先是要改变函数的定义域，其次才是其非负性对于解题的作用，当然在满足定义域的情况下，二次根式是不改变函数的单调性；需要说明的是，x 与．x 通过换元实际是二次．．．．．．．．．关系．．。

⑦取指数：x a x → 作用：从运算角度来说，指数多在乘除；具备恒正的特征，也因其a 的不确定性，改变其单调性。

⑧取对数：x x a log → 作用：从运算角度来说，对数多在加减；真数要求改变了函数的定义域，也因其a 的不确定性，改变其单调性。

2、 罕见函数的值域 ① 一次函数：形如)0(≠+=k b kx y 的函数。

值域为R . ②
二次函数：形如c bx ax y ++=2)0(≠a 的函数。

当,0>a 值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ；当,0<a 值域为⎥⎦⎤ ⎝
⎛-∞-a b ac 44,2；当给定区间求值域时，考虑开口方向、对称轴与区间关系和区间端点与对称轴的距离。

③ 三次函数：形如d cx bx ax y +++=23)0(≠a 的函数。

求导，一般求极值。

④ 分式函数
形如)0(≠++=
c d cx b ax y 的函数；值域⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
≠c a y y |。

⑤对勾函数
形如)0,0(>>+=b a x
b
ax y 的函数。

作为均值不等式的“消防队员”，经常在均值无法求解的时候，帮忙解决问题；值域为
()()
+∞⋃-∞-,2
2,ab ab 。

⑥指数函数 形如x a y =（1,0≠>a a ）的函数；值域为()+∞,0。

⑦对数函数 形如x y a log =1,0≠>a a 的函数；值域为()+∞∞-,。

⑧正弦函数和余弦函数 形如x y sin =,
x y cos =的函数；值域为
[]1.1-。

三角函数的方法此处不详解
二、求解值域及其方法
我们得到一个函数的定义域和解析式，要求出该函数的值域，有需要全面分析该函数所具备的信息。

要学会将一个复杂函数发生的过程在头脑里清晰呈现，才干真正看透函数的实质，消除对函数的畏惧心理。

1、 基础法
熟练记住x
x 1→,2x x →,x x →,x x →变换，尤其是定区间上的取值范围，并总结规律。

例1.当x 在下列区间时，求函数x
y x y x y 1,,2===函数的值域。

1.)1,2(--
2.)2
5,2( 3.()3,2- 4.()2,∞- 5.()2,-∞-
2、 观察法
一般来讲，能够直接观察求解的函数是由几种基本变换得来的，且能够简单作图或者可以直接看出在定义域上的单调性。

例2.函数)1(,11≥++-=x x x y 的值域。

例3.函数x x y 21--=的值域。

例4.已知0x
4
1则y=x
1-x 的最小值是。

3、 对称轴法
有对称轴的函数，主要表示以下一些类型：1、二次函数
)0(2≠++=a c x ax y 或者复合后的二次型，主要方法是配方法；2、
绝对值函数b ax y +=和绝对值变换)(x f y =；3、其他抽象型对称函数。

一般来说，大多数函数关于对称轴对称的图像单调性都是相反的。

另外，有对称轴的函数求值域往往是蕴含在动轴定区间和定轴动区间问题中。

1、二次函数型
32++-=x x y 在下列区间上的值域
1、]1,2[--
2、]2,1[
3、]1,2[-
4、]1,[+t t 例6，求下列函数的值域。

1
、
x
x y 21-+= 2、
1
2++-=x x y 3、
1224-+=x x y 4.1234-⋅+=x x y
5、x x a a x f 221)(-⋅-= (a>0且a ≠1)
6、10
612
++=x x y 7、y ＝
2－
x x 42+-
2、绝对值函数型
例7、求当]3,2[-∈x 时，函数x y 21-=的值域 例8、求函数32++-=x x y 的值域。

例9、求下列函数的值域。

1、13+--=x x y
2、13++-=x x y
3、132++-=x x y 此类函数采取分类讨论与数形结合。

3、抽象型偶函数涉及周期性和对称性的，此处不详解。

4、换元法
发生换元的情况和说明：①函数式自己形态不容易与惯例函数对号入座 ②存在某个非惯例的数式，阻碍思维的前进 ③换元以后式子变的更加简洁和容易与惯例函数对号入座 ④换元结束要包管范围的一致性，即等量代换。

我们经常使用的是局部换元和三角换元。

例6，求下列函数的值域。

1、x x y 21-+=
2、12++-=x x y
3、1224-+=x x y 4.1234-⋅+=x x y
5、x x a a x f 221)(-⋅-= (a>0且a ≠1)
例9.已知函数)4(log )1(22x x f a -=+，则函数)(x f 的值域是。

☆ 例10.求函数21x x y -+=的值域。

☆
x x x x y cos sin cos sin ⋅++=的值域。

5、 分式函数的值域中的方法
1、可化为x
y 1=型 例12.求函数1
52)(+=x x x f 的值域。

（分离常数法、公式法和数形结合）
例13.求函数1
1)(+-=x x
e e x
f 的值域。

x e 可以换为x x x x a x cos ,sin ,,,2（有界
性、反解法）
2、可化为x
x y 1+=型
例14.求下列函数的值域。

1、3
2
22
++=x x y 2、)1(1
2
2>-+-=
x x x x y 3、可化为x
x y 1-=型
例14.求下列函数的值域。

1、)31(1≤≤-=x x x y
2、)2(1
42-≤++=
x x x
x y 4、判别式法
1
2)(2
+=
x x
x f 的值域。

例16. 求函数2
21
22+-+=
x x x y 的值域。

6、 数形结合法
例17.利用函数图像求下列函数的值域
1、132++-=x x y
2、32++-=x x y
3、21x x y -+=
4、
1
52)(+=
x x x f 7、导数法和单调性 此处不详解。

小结：值域的求解是理解函数思想的初步，而且以有解、无解和恒成立问题的形式，渗透在在函数、三角函数、数列、圆锥曲线和导数中，达到函数、方程和不等式的统一，把映射的思想发挥到极致。