辽宁省重点六校协作体《平面向量及其应用》单元测试题 百度文库

一、多选题1．题目文件丢失！
2．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60°
3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列
ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>
B ．若a b >，则cos2cos2A B <
C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径
D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
4．在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6
A a c π
===则角C 的大小
是( ) A ．
6
π B ．
3
π C ．
56
π D ．
23
π 5．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=
D ．()
4BC a b ⊥+
6．下列结论正确的是（ ）
A ．在ABC 中，若A
B >，则sin sin A B >
B ．在锐角三角形AB
C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形
D ．在ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S = 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ）
A ．
B ．
C ．8
D ．
8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =
30A =︒，则B =（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．135︒
D ．150︒
9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC ∆是钝角三角形
C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ∆ 10．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（ ）
A ．
B ．
23
C ．23
-
D ．
3
11．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-
C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-
⎪⎝⎭
e D ．()12,6=e ，()21,3=--e
12．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =
B ．a b =
C ．a 与b 的方向相反
D ．a 与b 都是单位向量
13．对于菱形ABCD ，给出下列各式，其中结论正确的为（ ） A ．AB BC =
B ．AB B
C =
C ．AB C
D AD BC -=+
D ．AD CD CD CB +=-
14．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-
C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b
D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 15．化简以下各式,结果为0的有( ) A ．AB BC CA ++ B ．AB AC BD CD -+- C ．OA OD AD -+
D ．NQ QP MN MP ++-
二、平面向量及其应用选择题
16．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1
2
MP MN =
，则P 点的坐标为( )
A ．(－8,1)
B ．31,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(8，－1)
17．已知,a b 是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( ) A ．0a b -=
B ．1a b ⋅=
C ．a b =
D ．0a b ⋅=
18．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大
的数），则m 的最小值为（ ） A ．M
B ．N
C ．22
D ．1
19．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )
A ．302m
B ．203m
C ．60m
D ．20m
20．如图，在ABC 中，60,23,3C BC AC ︒===，点D 在边BC 上，且
27
sin BAD ∠=
，则CD 等于（ ）
A 23
B 3
C 33
D 43
21．在ABC 中，若()()
0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ）
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
22．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A 62
B ．
1
(62)2 C 62D ．
1
(62)2 23．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．
1
()2
a b + B ．1
()2
a b - C ．
1
2
a b + D ．12
a b +
24．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，且1
||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形
D ．等边三角形
25．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，
3
cos 5
A =
，则b 等于（ ） A ．
35 B ．
107
C ．
57
D ．
52
14
26．题目文件丢失！
27．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．
3
π B ．
23
π C ．
56
π D ．
6
π 28．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，1AD =，则
BD AC ⋅=（ ）
A ．2-
B ．3-
C ．2
D ．5
29．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则
ABC ∆为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
30．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+
，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +> C ．612abc ≤≤
D ．1224abc ≤≤
31．如图，在ABC 中，14AD AB →
→=，12
AE AC →→
=，BE 和CD 相交于点F ，则向量
AF →
等于（ ）
A ．1277A
B A
C →→
+
B ．1377AB A
C →→
+
C ．121414
AB AC →→
+ D ．131414
AB AC →→
+ 32．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，
B S ，
C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的
结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点
O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则必有（ ）
A ．sin sin sin 0A OA
B OB
C OC ⋅+⋅+⋅= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=
D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=
33．ABC 中，a ，b ，c 分别为A ∠，B ，C ∠的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，
30B ∠=︒，ABC 的面积为3
2
，那么b 等于（ ）
A ．
13
2
+ B ．13+
C ．
22
3
+ D ．23+34．题目
文件丢失！
35．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角为45︒，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S 点，又测得山顶的仰角为75︒，则山高BC =（ ）
A ．500米
B ．1500米
C ．1200米
D ．1000米
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、多选题 1．无 2．ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，
且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5
3
λ>-
且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则2
2
3()||||2
a a
b a a b a ⋅+=+⋅=
， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故2
3||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===
+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
3．ABD 【分析】
对于A ，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【
解析：ABD 【分析】
对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得
sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 1
2
s S ab C =和正弦定
理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】
对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得
()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；
对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即
cos2cos2A B <，故B 正确；
对于C ，2
11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错
误；
对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B C
A B C B C
+=-+=--⋅，则
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．
4．BD 【分析】
由正弦定理可得,所以,而,可得,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得, ,而, , , 故或. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握
解析：BD 【分析】
由正弦定理可得sin sin a c A C =,所以sin sin c C A a ==,而a c <,可得A C <,即可求得答案. 【详解】 由正弦定理可得
sin sin a c
A C
=,
∴ sin sin c C A a ==而a c <,
∴ A C <, ∴
566
C π
π<<,
故3C π
=
或
23
π. 故选:BD. 【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
5．ABD 【分析】 A.
根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长
解析：ABD 【分析】
A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；
B.根据2AB a =，
2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1
,2
a AB
b BC =
=，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】
A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；
B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；
C. 因为1,2a AB b BC =
=，所以11
22cos120122
a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()
2
444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()
4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
6．AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
中，，由得，A 正确； 锐角三角形中，，∴，B 正确； 中，
解析：AB 【分析】
由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D ． 【详解】
ABC 中，A B a b >⇔>，由
sin sin a b A B
=得sin sin A B >，A 正确； 锐角三角形ABC 中，222
cos 02b c a A bc
+-=>，∴2220b c a +->，B 正确；
ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B +=︒，即A B =或90A B +=︒，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错；
ABC 中，若3b =，60A =︒，三角形面积S =11
sin 3sin 6022
S bc A c ==⨯︒=4c =，∴2222cos 13a b c bc A =+-=，
a =，
∴2sin sin 603a R A =
==
︒，3
R =，D 错． 故选：AB ． 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．
7．AC 【分析】
利用余弦定理：即可求解. 【详解】
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基
解析：AC 【分析】
利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解.
在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，
由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，
即216310a a -+=
，解得8a =
故选：AC
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.
8．BC
【分析】
用正弦定理求得的值，由此得出正确选项.
【详解】
解：根据正弦定理得： ，
由于，所以或.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
解析：BC
【分析】
用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项.
【详解】 解：根据正弦定理sin sin a b A B =得：
1sin 2sin 12
b A B a ===，
由于1b a =
>=，所以45B =或135B =.
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题. 9．ACD
【分析】
先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.
【详解】
因为
所以可设：（其中），解得：
所以，所以A 正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大，
又 ，所以角为
【分析】
先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.
【详解】
因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；
由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大， 又222222(4)(5)(6)1cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错误；
由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小， 又222222(6)(5)(4)3cos 22654
c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯， 所以21cos22cos 18
A A =-=，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,
2C π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =
，又sin C ==
所以2R =
，解得：R =D 正确. 故选:ACD.
【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.
10．AD
【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.
【详解】
由正弦定理，可得，
，则，所以，为锐角或钝角.
因此，.
【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：AD
【分析】
利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值.
【详解】 由正弦定理sin sin b a B A =，可得120sin 22sin 153
b A B a ⨯===， b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.
因此，cos B ==. 故选：AD.
【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题. 11．ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；
B 中，不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属
解析：ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可.
【详解】
A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；
B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
12．AC
【分析】
根据共线向量的定义判断即可.
【详解】
对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，
【分析】
根据共线向量的定义判断即可.
【详解】
对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意； 对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意.
故选：AC.
【点睛】
本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.
13．BCD
【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.
【详解】
菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以B 结论正确，A 结论错误；
因为，，且，
所以，即C 结论正确；
因为，
解析：BCD
【分析】
由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解. 【详解】
菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的，但它们的模是相等的，
所以B 结论正确，A 结论错误； 因为2AB CD AB DC AB -=+=，2AD BC BC +=，且AB BC =， 所以AB CD AD BC -=+，即C 结论正确；
因为AD CD BC CD BD +=+=，
||||CD CB CD BC BD -=+=，所以D 结论正确.
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查了向量加法、减法的运算，菱形的性质，属于中档题.
【分析】
若，则反向，从而；
若，则，从而可得；
若，则同向，在方向上的投影为
若存在实数使得，则共线，但是不一定成立.
【详解】
对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；
对于选
解析：AB
【分析】
若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；
若a b ⊥，则0a b ⋅=，从而可得||||a b a b +=-；
若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a
若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立.
【详解】
对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=；
对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ⋅=，
222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-； 对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ; 对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB.
【点睛】
本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
15．ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可.
【详解】
;
;
;
.
故选：ABCD
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
解析：ABCD
【分析】
根据向量的线性运算逐个选项求解即可.
【详解】
0AB BC CA AC CA ++=+=;
()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-=;
()0OA OD AD OA AD OD OD OD -+=+-=-=;
0NQ QP MN MP NP PM MN NM NM ++-=++=-=.
故选：ABCD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.
二、平面向量及其应用选择题
16．B
【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.
【详解】
解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ＝12(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选B.
【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.
17．C
【分析】
取,a b 夹角为
3π，计算排除ABD ，得到答案. 【详解】
取,a b 夹角为
3π，则0a b -≠，12
a b ⋅=，排除ABD ，易知1a b ==. 故选：C .
【点睛】
本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.
18．C
当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ， 1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项.
【详解】
当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得1ab c =⨯，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2
2>0c c c ≥，所以2c ≥，
所以+M a b ===≥（当且仅当a b =时，取等号），
当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==， 因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤，
所以+N a b ===≤（当且仅当a b =时，取等号），
当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为（此时，a b =）；
故选：C.
【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题.
19．D
【分析】 由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB
BC 求出AB ．
【详解】 15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒
120CBD
由正弦定理得：sin120sin 45BC 302sin 45
203sin120BC 3tan 30203203AB
BC
故选D 【点睛】
本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．
20．A
首先根据余弦定理求AB，再判断ABC的内角，并在ABD
△和ADC中，分别用正弦定理表示AD，建立方程求DC的值.
【详解】
AB=
3
==，
222
cos
2
AB BC AC
B
AB BC
+-
∴===
⋅
又因为角B是三角形的内角，所以
6
B
π
=，
90
BAC
∴∠=，
sin BAD
∠=
，cos BAD
∴∠==，
sin cos
7
DAC BAD
∴∠=∠=，
在ABD
△中，由正弦定理可得
sin
sin
BD B
AD
BAD
⋅
=
∠
，
在ADC中，由正弦定理可得
sin
sin
DC C
AD
DAC
⋅
=
∠
，
(
)1
7
DC DC
⨯
=
，解得：DC=.
故选：A
【点睛】
本题考查正余弦定理解三角形，重点考查数形结合，转化与化归，推理能力，属于中档题型.
21．C
【分析】
利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB
+2222
)()0
CA CB CA CB b a
-=-=-=，从而可得答案．
【详解】
解：在ABC中，(CA CB
+2222
)()0
CA CB CA CB b a
-=-=-=，
a b
∴=，
ABC
∴为等腰三角形，
故选：C．
本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．
22．A
【分析】
由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理
sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得
AE =-． 【详解】
由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝
DA =
BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．
再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45
°=
， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒
，
∴1
2AE =，∴
AE =）， 故选:A ．
【点睛】
本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．
23．D
【分析】
根据向量的加法的几何意义即可求得结果.
【详解】
在ABC ∆中，M 是BC 的中点，
又,AB a BC b ==， 所以1122
AM AB BM AB BC a b =+=+
=+， 故选D.
【点睛】
该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 24．D
【分析】 先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．
【详解】
解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，
AB AC ∴=， 1cos ||||2
AB AC A AB AC ==， 3A π
∴∠=，
3B C A π
∴∠=∠=∠=，
∴三角形为等边三角形．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．
25．C
【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出．
【详解】
解：
3cos 5
A =，(0,180)A ∈︒︒．
∴4
sin 5
A =
，
34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A
B A B =-+
=--=--=． sin C ∴=
由正弦定理可得：
sin
sin b c B C =， ∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
26．无
27．D
【分析】
根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．
【详解】
∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得22
a b a b +=-，即2222||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ， 则0a b ⋅=，由2a b b +=， 平方得222||24||a b a b b ++⋅=，得2
23a b =，即3a b =则2a b b +=，22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），
则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3223a b a b cos a b a b b
θ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6πθπθ≤≤∴=
， ，
故选D.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 28．A
【解析】
分析：根据向量加法、减法法则将BD AC ⋅转化为()()AD AB AB BC -+即可求解. 详解：由题可得：BD AC ⋅=()()AD AB AB BC -+=
2211()()24222
BC AB AB BC BC AB -+=-=-=-,故选A. 点睛：考查向量的线性运算，将问题转化为已知的信息()()AD AB AB BC -+是解题关键. 29．B
【解析】
【分析】
利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数.
【详解】
逐一考查所给的命题：
①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误；
②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确；
③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，
即()0CB AB AC ⋅+=；
又因为AB AC CB -=，
所以()()0AB AC AB AC -⋅+=，
即||||AB AC =，
所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；
④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误．
综上可得，正确的命题个数为2.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
30．A 【分析】
由条件()()1sin 2sin sin 2A A B C C A B +-+=--+化简得出1sin sin sin 8A B C =，设ABC ∆的外接圆半径为R ，根据12S ≤≤求得R 的范围，然后利用不等式的性质判断即可.
【详解】
ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+， 即()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C A B C +-+++-=， 即()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C A B C +--++-=⎡⎤⎣⎦， 即()12sin cos 2sin cos 2
A A A
B
C +-=， 即()()12sin cos 2sin cos 2
A B C A B C -++-=， 即()()12sin cos cos 4sin sin sin 2
A B C B C A B C --+==⎡⎤⎣⎦，1sin sin sin 8
A B C ∴=， 设ABC ∆的外接圆半径为R ，则2sin sin sin a b c R A B C ===， []2111sin 2sin 2sin sin 1,2
224
S ab C R A R B C R ==⨯⨯⨯=∈，2R ∴≤≤
338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴=⨯=∈⎣，C 、D 选项不一定正确；
对于A 选项，由于b c a +>，()8bc b c abc ∴+>≥，A 选项正确；
对于B 选项，()8ab a b abc +>≥，即()8ab a b +>成立，但(
)ab a b +>成立.
故选：A.
【点睛】
本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 31．B
【分析】
过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ，由平行线得出三角形相似，得出线段成比例，结合14AD AB →
→=，12AE AC →→=，证出37AM AC →→
=和17
AN AB →
→=，最后由平面向量基本定理和向量的加法法则，即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】 解：过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ，作//FN AC 交AB 于点N ， 已知14AD AB →
→=，12AE AC →→
=， //FN AC ，则MFE ABE △△和MCF ACD △△， 则：MF ME AB AE =且MF MC AD AC
=， 即：2MF ME AB AC =且14
MF MC AC AB =，所以124MC MF ME AB AC AC ==， 则：8MC ME =，所以37
AM AC =， 解得：37
AM AC →→
=， 同理//FM AB ，NBF ABE △△和NFD ACD △△， 则：NF NB AE AB =且NF ND AC AD
=， 即：12NF NB AB AC =且14
NF ND AC AB =，所以142NB NF ND AC AB AB ==， 则：8NB ND =，即()8AB AN AD AN -=-， 所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，即28AB AN AB AN -=-，
得：17AN AB =， 解得：17
AN AB →→=， 四边形AMFN 是平行四边形，
∴由向量加法法则，得AF AN AM →→→=+，
所以1377AF AB AC →
→→
=+. 故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理，考查运算能力. 32．C
【分析】
利用已知条件得到O 为垂心，再根据四边形内角为2π及对顶角相等，得到
AOB C π∠=-，再根据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到
::cos :cos :cos OA OB OC A B C =，进而求出::A B C S S S 的值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】
如图，因为OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，
所以()00OB OA OC OB CA ⋅-=⇒⋅=，同理0OA BC ⋅=，0OC AB ⋅=， 所以O 为ABC ∆的垂心。

因为四边形DOEC 的对角互补，所以AOB C π∠=-，
cos()cos OA OB OA OB C OA OB C π∴⋅=-=-．
同理，||cos OB OC OB OC A ∴⋅=-‖，
||cos OC OA OC OA B ∴⋅=-‖，
∴||cos ||||cos ||||cos OA OB C OB OC A OC OA B ==‖． ∴||cos ||||cos ||||cos ||||||||||||
OA OB C OB OC A OC OA B OA OB OC OA OB OC OA OB OC ==‖‖‖‖， ::cos :cos :cos OA OB OC A B C ∴=． 又11sin()sin 22
A S O
B O
C A OB OC A π=-= 11sin()sin 22B S OA OC B OA OC B π=-= 11sin()sin 22
C S OB OA C OB OA C π=-= sin sin sin ::::A B C A B C S S S OA OB OC ∴=
=sin sin sin ::tan :tan :tan cos cos cos A B C A B C A B C =． 由奔驰定理得tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=.
故选C ．
【点睛】
本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变形运用，属于难题.
33．B
【分析】
由题意可得2b a c =+，平方后整理得22242a c b ac +=-，利用三角形面积可求得ac 的值，代入余弦定理可求得b 的值.
【详解】
解：∵a ，b ，c 成等差数列，
∴2b a c =+，
平方得22242a c b ac +=-，①
又ABC 的面积为
32，且30B ∠=︒， 由11sin sin 3022ABC S ac B ac ==⋅︒△1342
ac ==，解得6ac =， 代入①式可得222412a c b +=-，
由余弦定理得222
cos 2a c b B ac
+-=，
222412312326122
b b b ---===⨯， 解得2423b =+，
∴13b =+.
故选：B .
【点睛】 本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题.
34．无
35．D
【分析】
作出图形，过点S 作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，依题意可求得SE 在BDS ∆中利用正弦定理可求BD 的长，从而可得山顶高BC ． 【详解】
解：依题意，过S 点作SE AC ⊥于E ，SH AB ⊥于H ，
30SAE ∠=︒，1000AS =米，sin30500CD SE AS ∴==︒=米，
依题意，在Rt HAS ∆中，453015HAS ∠=︒-︒=︒，sin15HS AS ∴=︒， 在Rt BHS ∆中，30HBS ∠=︒，22000sin15BS HS ∴==︒，
在Rt BSD ∆中，
sin75BD BS =︒2000sin15sin75=︒︒2000sin15cos15=︒︒1000sin30=⨯︒500=米， 1000BC BD CD ∴=+=米，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．。