2020年湖北省十堰市中考数学试卷（有详细解析）

2020年湖北省⼗堰市中考数学试卷（有详细解析）
2020年湖北省⼗堰市中考数学试卷
班级：___________姓名：___________得分：___________⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，共30.0分）
1.1
4
的倒数是()
A. 4
B. ?4
C. 1
4D. ?1
4
2.某⼏何体的三视图如图所⽰，则此⼏何体是()
A. 圆锥
B. 圆柱
C. 长⽅体
D. 四棱柱
3.如图，将⼀副三⾓板重叠放在起，使直⾓顶点重合于点O.
若∠AOC=130°，则∠BOD=()
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
4.下列计算正确的是()
A. a+a2=a3
B. a6÷a3=a2
C. (?a2b)3=a6b3
D. (a?2)(a+2)=a2?4
5.
鞋的尺码/cm2222.52323.52424.525销售量双12511731若每双鞋的销售利润相同，则该店主最应关注的销售数据是下列统计量中的()
A. 平均数
B. ⽅差
C. 众数
D. 中位数
6.已知平⾏四边形ABCD中，下列条件：①AB=BC；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC
平分∠BAD，其中能说明平⾏四边形ABCD是矩形的是()
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
7.某⼚计划加⼯180万个医⽤⼝罩，第⼀周按原计划的速度⽣产，⼀周后以原来速度
的1.5倍⽣产，结果⽐原计划提前⼀周完成任务．若设原计划每周⽣产x万个⼝罩，则可列⽅程为() A. 180?x
x =180?x
1.5x
+1 B. 180?x
x
=180?x
1.5x
1
C. 180
x =180
1.5x
+2 D. 180
x
=180
1.5x
2
8.如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂⾜为E.若∠ADC=30°，
AE=1，则BC=()
A. 2
B. 4
C. √3
D. 2√3
9.根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n=()
A. 17
B. 18
C. 19
D. 20
10.如图，菱形ABCD的顶点分别在反⽐例函数y=k1
x 和y=k2
x
的图象上，若∠BAD=
120°，则|k1
k2
|=()
A. 1
3B. 3 C. √3 D. √3
3
⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，共18.0分）
11.已知x+2y=3，则1+2x+4y=______．
12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC
的周长为______．
13.某校即将举⾏30周年校庆，拟定了A，B，C，D四种活动⽅案，为了解学⽣对⽅
案的意见，学校随机抽取了部分学⽣进⾏问卷调查(每⼈只能赞成⼀种⽅案)，将调查结果进⾏统计并绘制成如图两幅不完整的统计图．若该校有学⽣3000⼈，请根据以上统计结果估计该校学⽣赞成⽅案B的⼈数为______．
14.对于实数m，n，定义运算m?n=(m+2)2?2n.若2?a=4?(?3)，则a=______．
15.如图，圆⼼⾓为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，
连接AB.若阴影部分的⾯积为(π?1)，则AC=______．
16.如图，D是等边三⾓形ABC外⼀点．若BD=8，CD=6，
连接AD，则AD的最⼤值与最⼩值的差为______．
三、计算题（本⼤题共1⼩题，共5.0分）
17.计算：(1
2
)?1?|?2|+20200．
四、解答题（本⼤题共8⼩题，共97.0分）
18.先化简，再求值：1?a?b
a+2b ÷a2?b2
a2+4ab+4b2
，其中a=√3?3，b=3．
19.如图，要想使⼈安全地攀上斜靠在墙⾯上的梯⼦的顶端，梯⼦与地⾯所成的⾓α⼀
般要满⾜50°≤α≤75°，现有⼀架长为6m的梯⼦，当梯⼦底端离墙⾯2m时，此时⼈是否能够安全使⽤这架梯⼦(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，
sin75°≈0.97，cos75°=0.26)？
20.某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、
《长征》三种，⼩⽂和⼩明从中随机选取⼀种诵读，且他们选取每⼀种读本的可能性相同．
(1)⼩⽂诵读《长征》的概率是______；
(2)请⽤列表或画树状图的⽅法求出⼩⽂和⼩明诵读同⼀种读本的概率．
21.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2?4x?2k+8=0有两个实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若x13x2+x1x23=24，求k的值．
22.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上⼀点，AD与
过点C的切线垂直，垂⾜为D，AD交半圆O于点E．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AE=2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边
形的形状，并说明理由．
23.某企业接到⽣产⼀批设备的订单，要求不超过12天
完成．这种设备的出⼚价为1200元/台，该企业第
⼀天⽣产22台设备，第⼆天开始，每天⽐前⼀天多
⽣产2台．若⼲天后，每台设备的⽣产成本将会增
加，设第x天(x为整数)的⽣产成本为m(元/台)，m
与x的关系如图所⽰．
(1)若第x天可以⽣产这种设备y台，则y与x的函
数关系式为______，x的取值范围为______；
(2)第⼏天时，该企业当天的销售利润最⼤？最⼤利润为多少？
(3)求当天销售利润低于10800元的天数．
24.如图1，已知△ABC≌△EBD，∠ACB=∠EDB=90°，点D在AB上，连接CD并
延长交AE于点F．
(1)猜想：线段AF与EF的数量关系为______；
(2)探究：若将图1的△EBD绕点B顺时针⽅向旋转，当∠CBE⼩于180°时，得到图
2，连接CD并延长交AE于点F，则(1)中的结论是否还成⽴？若成⽴，请证明；
若不成⽴，请说明理由；
(3)拓展：图1中，过点E作EG⊥CB，垂⾜为点G.当∠ABC的⼤⼩发⽣变化，其它
条件不变时，若∠EBG=∠BAE，BC=6，直接写出AB的长．
25.已知抛物线y=ax2?2ax+c过点A(?1,0)和C(0,3)，与x轴交于另⼀点B，顶点为
D．
(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
(2)如图1，E为线段BC上⽅的抛物线上⼀点，EF⊥BC，垂⾜为F，EM⊥x轴，
垂⾜为M，交BC于点G.当BG=CF时，求△EFG的⾯积；
(3)如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上⽅的抛物线上是否存在点P，使∠OPB=∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.A
解：1
4
的倒数是4
2.B
解：∵主视图和左视图都是长⽅形，
∴此⼏何体为柱体，
∵俯视图是⼀个圆，
∴此⼏何体为圆柱，
3.C
解：∵∠AOC=130°，
∴∠BOC=∠AOC?∠AOB=40°，
∴∠BOD=∠COD?∠BOC=50°．
4.D
解：A、a与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a6÷a3=a3，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、(?a2b)3=?a6b3，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、(a?2)(a+2)=a2?4，原计算正确，故此选项符合题意，
5.C
解：因为众数是在⼀组数据中出现次数最多的数，
⼜根据题意，每双鞋的销售利润相同，鞋店为销售额考虑，应关注卖出最多的鞋⼦的尺码，这样可以确定进货的数量，所以该店主最应关注的销售数据是众数．
6.B
解：A.AB=BC，邻边相等的平⾏四边形是菱形，故A错误；
B.AC=BD，对⾓线相等的平⾏四边形是矩形，故B正确；
C.AC⊥BD，对⾓线互相垂直的平⾏四边形是菱形，故C错误；
D.AC平分∠BAD，对⾓线平分其每⼀组对⾓的平⾏四边形是菱形，故D错误．
7.A
解：∵原计划每周⽣产x万个⼝罩，⼀周后以原来速度的1.5倍⽣产，
∴⼀周后每周⽣产1.5x万个⼝罩，
依题意，得：180?x
x =180?x
1.5x
+1．
解：连接OC，如图，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA⊥BC，
∴CE=BE，
在Rt△COE中，OE=1
2
OC，CE=√3OE，
∵OE=OA?AE=OC?1，
∴OC?1=1
2
OC，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴CE=√3，
∴BC=2CE=2√3．
9.B
解：根据图形规律可得：
上三⾓形的数据的规律为：2n(1+n)，若2n(1+n)=396，解得n不为正整数，舍去；下左三⾓形的数据的规律为：n2?1，若n2? 1=396，解得n不为正整数，舍去；下中三⾓形的数据的规律为：2n?1，若2n?1=396，解得n不为正整数，舍去；下右三⾓形的数据的规律为：n(n+4)，若n(n+4)=396，解得n=18，或n=?22，舍去
10.B
解：根据对称性可知，反⽐例函数y=k1
x ，y=k2
x
的图象是中⼼对称图形，菱形是中⼼对称图形，∴菱形ABCD的对⾓线AC与BD的交点即为原点O，OD⊥OC，
如图：作CM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N.连接OD，OC．
∵DO⊥OC，
∴∠COM+∠DON=90°，∠DON+∠ODN=90°，∴∠COM=∠ODN，
∵∠CMO=∠DNO=90°，
∴△COM∽△ODN，
∴S△COM
S△ODN =(CO
OD
)2=
2
|k2|
1
2
|k1|
=|k2|
|k1|
，
∵菱形ABCD的对⾓线AC与BD的交点即为原点O，∠BAD=120°，∴∠OCD=60°，∠COD=90°，∴tan60°=DO
CO
=√3，
∴CO
DO =√3
3
，
∴(CO
OD )2=|k2|
|k1|
=(√3
3
)2=1
3
，
∴|k1
k2
|=3．
11.7
解：∵x+2y=3，
∴2(x+2y)=2x+4y=2×3=6，
∴1+2x+4y=1+6=7，
12.19
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，
∴AC=2AE=6，AD=DC，
∵AB+BD+AD=13，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BD+AD+AC=13+6=19．
13.1800⼈
解：根据条形统计图和扇形统计图可知赞成C⽅案的有44⼈，占样本的22%，
∴样本容量为：44÷22%=200(⼈)，
∴赞成⽅案B的⼈数占⽐为：120
200
×100%=60%，
∴该校学⽣赞成⽅案B的⼈数为：3000×60%=1800(⼈)，
14.?13
解：∵m?n=(m+2)2?2n，
∴2?a=(2+2)2?2a=16?2a，4?(?3)=(4+2)2?2×(?3)=42，
∵2?a=4?(?3)，
∴16?2a=42，
解得a=?13，
15.2
解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空⽩分别为S3，S4，连接DC，如下图所⽰：由已知得：三⾓形ABC为等腰直⾓三⾓形，S1+S2=π?1，
∵BC为直径，
∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，
故CD=DB=DA，
∴D点为BC?中点，由对称性可知CD?与弦CD围成的⾯积与S3相等．
设AC=BC=x，
则S扇ACB?S3?S4=S1+S2，
其中S
扇ACB =90?π?x2
360
=πx2
4
，
S4=S△ACB?S△BCD?S3=1
2?x2?1
2
xx
2
S3=x2
4
S3，
故：πx2
4?S3?(x2
4
S3)=π?1，
求解得：x1=2，x2=?2(舍去)
故答案：2．
16.12
解：如图，以CD为边向外作等边△CDE，连接BE，
∵△CDE和△ABC是等边三⾓形，
∴CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
在△ECB和△DCA中，{CE=CD
∠ECB=∠DCA CB=CA
，
∴△ECB≌△DCA(SAS)，
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴在△BDE中，BD?DE
即8?6
∴2
∴2
∴则AD的最⼤值与最⼩值的差为14?2=12．
17.解：(1
)?1?|?2|+20200
=2?2+1
=1．
18.解：原式=1?a?b
a+2b ÷(a+b)(a?b)
(a+2b)2
=1?a?b
a+2b ?(a+2b)2 (a+b)(a?b)
=1?a+2b
a+b
=a+b?a?2b
a+b
=?b
a+b
，
当a=√3?3，b=3时，原式=
√3?3+3
=?√3．
19.解：在Rt△ABC中，
∵cosα=AC
AB
，
∴AC=AB?cosα，
当α=50°时，AC=AB?cosα≈6×0.64≈3.84m；
当α=75°时，AC=AB?cosα≈6×0.26≈1.56m；
所以要想使⼈安全地攀上斜靠在墙⾯上的梯⼦的顶端，梯⼦底端与墙⾯的距离应该在1.56m～3.84m之间，故当梯⼦底端离墙⾯2m时，此时⼈能够安全使⽤这架梯⼦．
20.1
3
解：(1)P(⼩⽂诵读《长征》)=1
3
；
故答案为：1
3
(2)记《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》分别为A、B、C，
列表如下：
由表格可知，共有9种等可能性结果，其中⼩⽂和⼩明诵读同⼀种读本的有3种结果，
∴⼩⽂和⼩明诵读同⼀种读本的概率为3
9=1
3
．
21.解：(1)由题意可知，△=(?4)2?4×1×(?2k+8)≥0，整理得：16+8k?32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
(2)由题意得：x13x2+x1x23=x1x2[(x1+x2)2?2x1x2]=24，由韦达定理可知：x1+x2=4，x1x2=?2k+8，
故有：(?2k+8)[42?2(?2k+8)]=24，
整理得：k2?4k+3=0，
解得：k1=3，k2=1，
⼜由(1)中可知k≥2，
∴k的值为k=3．
故答案为：k=3．
22.解：(1)证明：连接OC，如下图所⽰：
∵CD为圆O的切线，∴∠OCD=90°，
∴∠D+∠OCD=180°，
∴OC//AD，
∴∠DAC=∠ACO，
⼜OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠DAB．
(2)四边形EAOC为菱形，理由如下：
连接EC、BC、EO，过C点作CH⊥AB于H点，如下图所⽰，由圆内接四边形对⾓互补可知，∠B+∠AEC=180°，⼜∠AEC+∠DEC=180°，
∴∠DEC=∠B，
⼜∠B+∠CAB=90°，
∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠CAB=∠DCE，
⼜∠CAB=∠CAE，
∴∠DCE=∠CAE，且∠D=∠D，
∴△DCE∽△DAC，
设DE=x，则AE=2x，AD=AE+DE=3x，
∴CD
AD =DE
CD
，∴CD2=AD?DE=3x2，
∴CD=√3x，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=DC
AD =√3x
3x
=√3
3
，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAO=2∠DAC=60°，且OA=OE，
∴△OAE为等边三⾓形，
由同弧所对的圆周⾓等于圆⼼⾓的⼀半可知：∠EOC=2∠EAC=60°，
∴△EOC为等边三⾓形，
∴EA=AO=OE=EC=CO，
即EA=AO=OC=CE，
∴四边形EAOC为菱形．
23.y=2x+201≤x≤12
解：(1)根据题意，得y与x的解析式为：y=22+2(x?1)=2x+20(1≤x≤12)，故答案为：y=2x+20，1≤x≤12；
(2)设当天的销售利润为w元，
则当1≤x≤6时，
w=(1200?800)(2x+20)=800x+8000，
∵800>0，
∴w随x的增⼤⽽增⼤，
∴当x =6时，w 最⼤值=800×6+8000=12800．当6
设m =kx +b ，将(6,800)和(10,1000)代⼊得： {800=6k +b 1000=10k +b ，解得：{k =50
b =500
，
∴m 与x 的关系式为：m =50x +500，∴w =[1200?(50x +500)]×(2x +20) =?100x 2+400x +14000 =?100(x ?2)2+14400．∵此时图象开⼝向下，在对称轴右侧，w 随x 的增⼤⽽减⼩，天数x 为整数，∴当x =7时，w 有最⼤值，为11900元，
∵12800>11900，
∴当x =6时，w 最⼤，且w 最⼤值=12800元，
答：该⼚第6天获得的利润最⼤，最⼤利润是12800元． (3)由(2)可得，
1≤x ≤6时，800x +8000<10800，解得：x <3.5
则第1?3天当天利润低于10800元，
当68，
∴第9?12天当天利润低于10800元，
故当天销售利润低于10800元的天数有7天．
24. AF =EF
解：(1)延长DF 到K 点，并使FK =DC ，连接KE ，如图1所⽰，∵△ABC≌△EBD ，
∴DE =AC ，BD =BC ，
∴∠CDB =∠DCB ，且∠CDB =∠ADF ，∴∠ADF =∠DCB ，∵∠ACB =90°，
∴∠ACD +∠DCB =90°，∵∠EDB =90°，
∴∠ADF +∠FDE =90°，∴∠ACD =∠FDE ，
∵FK +DF =DC +DF ，∴DK =CF ，
在△ACF 和△EDK 中，{AC =ED
∠ACF =∠EDK CF =DK ，
∴△ACF≌△EDK(SAS)，∴KE =AF ，∠K =∠AFC ，⼜∠AFC =∠KFE ，∴∠K =∠KFE
∴KE=EF
∴AF=EF，
故AF与EF的数量关系为：AF=EF．
故答案为：AF=EF；
(2)仍旧成⽴，理由如下：
延长DF到K点，并使FK=DC，连接KE，如图2所⽰，设BD延长线DM交AE于M点，
∵△ABC≌△EBD，
∴DE=AC，BD=BC，
∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠MDF，
∴∠MDF=∠DCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠EDB=90°，
∴∠MDF+∠FDE=90°，
∴∠ACD=∠FDE，
∵FK+DF=DC+DF，
∴DK=CF，
在△ACF和△EDK中，{AC=ED
∠ACF=∠EDK CF=DK
，
∴△ACF≌△EDK(SAS)，
∴KE=AF，∠K=∠AFC，
⼜∠AFC=∠KFE，
∴∠K=∠KFE，
∴KE=EF，
∴AF=EF，
故AF与EF的数量关系为：AF=EF．
(3)如图3所⽰，延长DF到K点，并使FK=DC，连接KE，过点E 作EG⊥BC交CB的延长线于G，∵BA=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠BAE=∠EBG，
∴∠BEA=∠EBG，
∴AE//CG，
∴∠AEG+∠G=180°，
∴∠AEG=90°，
∴∠ACG=∠G=∠AEG=90°，
∴四边形AEGC为矩形，
∴AC=EG，且AB=BE，
∴Rt△ACB≌Rt△EGB(HL)，
∴BG=BC=6，∠ABC=∠EBG，
⼜∵ED=AC=EG，且EB=EB，
∴Rt△EDB≌Rt△EGB(HL)，
∴DB=GB=6，∠EBG=∠ABE，
∴∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°，
∴∠BAC =30°，
∴在Rt △ABC 中，由30°所对的直⾓边等于斜边的⼀半可知：AB =2BC =12．
25. (1)把点A(?1,0)，C(0,3)代⼊y =ax 2?2ax +c 中，{a +2a +c =0c =3
，解得{a =?1c =3，
∴y =?x 2+2x +3，当x =?b
2a =1时，y =4，
∴D(1,4)；
(2)如图1，∵抛物线y =?x 2+2x +3，令y =0，
∴x =?1，或x =3，∴B(3,0)．
设BC 的解析式为y =kx +b(k ≠0)，将点C(0,3)，B(3,0)代⼊，得{b =3
3k +b =0，
解得{k =?1b =3
，
∴y =?x +3．∵EF ⊥CB ．
设直线EF 的解析式为y =x +b ，设点E 的坐标为(m,?m 2+2m +3)，将点E 坐标代⼊y =x +b 中，得b =?m 2+m +3，∴y =x ?m 2+m +3{y =?x +3
y =x ?m 2+m +3．
∴{x =m 2?m
2
y =
m 2+m+6
2．∴F(
m 2?m 2,
m 2+m+6
2
)．
把x =m 代⼊y =?x +3，得y =?m +3，
∴G(m,?m +3)．∵BG =CF ．
∴BG 2=CF 2，即(m ?3)2+(3?m)2=(
m 2?m 2
)2
+(
m 2?m 2
)2
．解得m =2或m =?3．
∵点E 是BC 上⽅抛物线上的点，∴m =?3，舍去．
∴点E(2,3)，F(1,2)，G(2,1)，EF =√12+12=√2FG =√12+12=√2，
∴S △EFG =1
2×√2×√2=1；
(3)如图2，过点A 作AN ⊥HB ，∵点D(1,4)，B(3,0)，
∴y DB =?2x +6．
∵点A(?1,0)，点C(0,3)，∴y AC =3x +3{y =x +3
y =?2x +6，
∴{x =35y =
245
，∴H(35,24
5
)．
设y AN =1
2x +b ，把(?1,0)代⼊，得b =1
2，∴y =1
2x +1
2{y =1
2x +1
2
y =?2x +6
，
∴{
x =
115
y =85
，
∴N(115,8
5
)，
∴AN 2=(11
5+1)2+(8
5)2=(16
5)2+(8
5)2HN 2=(8
5)2+(16
5)2，∴AN =HN ．∴∠H =45°．
设点p(n,?n 2+2n +3)．
过点P 作PR ⊥x 轴于点R ，在x 轴上作点S 使得RS =PR ，∴∠RSP =45°且点S 的坐标为(?n 2+3n +3,0)．若∠OPB =∠AHB =45°
在△OPS 和△OPB 中，∠POS =∠POB ，∠OSP =∠OPB ，∴△OPS∽△OPB ．∴OP
OB =OS
OP ．
∴OP 2=OB ?OS ．
∴n 2+(n +1)2(n ?3)2=3?(?n 2+2n +3)．∴n =0或n =1±√52．
∴P 1(0,3)，P 2(1+√52
,
5+√52
)，P 3(
1?√52
,5?√5
2)．。