北京桥梓中学2018年高三数学理联考试题含解析

北京桥梓中学2018年高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，且、都是全集的子集，则
右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（）
A． B．
C．D．
参考答案：
C
2. 已知集合，，则为（）A． B．C．
D．
参考答案：
D
试题分析：，由，等价得，且得，，
，故答案为D.
考点：集合的交集.
3. 如果数列，，，…，，…是首项为1，公比的等比数列，则
等于（）
A．32 B．64 C．-32 D．-64
参考答案：
A
4. 运行右图所示框图的相应程序,若输入a,b的值分别为和,则输出M的值是( )
A.0
B.1
C. 2
D. -1
参考答案：
C
略
5. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出一列四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，则；
④若，，则.
其中正确命题的序号是
A.①和②
B.②和③
C.③和
④ D.①和④
参考答案：
A
6. 设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，有下列四个命题：
①若；②若∥∥
③若④若∥。

其中正确命题的序号（）
A．①③B．①② C．③④D．②③
参考答案：
D
略
7. 设全集则上图中阴影部分表示的集合
（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
8. 若函数在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为
增函数，则实数a的取值范围是 ( )
A．a≤2 B．5≤a≤7 C．4≤a≤6 D．a≤5或a≥7
参考答案：
B
略
9. 已知函数f（x）的定义域是R，f′（x）是f（x）的导数，f（1）=e，g（x）=f′（x）﹣f（x），g（1）=0，g（x）的导数恒大于零，函数h（x）=f（x）﹣e x
（e=2.71828…是自然对数的底数）的最小值是( )
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
参考答案：
B
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用．
【分析】根据条件判断f′（x）与f（x）的关系，构造函数求出函数的最值，进行比较即可．
【解答】解：∵f（1）=e，g（x）=f′（x）﹣f（x），g（1）=0，
∴g（1）=f′（1）﹣f（1）=0，则f′（1）=f（1）=e，
g′（x）＞0恒成立，
即g（x）为增函数，
则当x＞1时，g（x）＞g（1）=0，
即f′（x）﹣f（x）＞0，
当x＜1时，g（x）＜g（1）=0，
即f′（x）﹣f（x）＜0，
构造函数m（x）=，
则m′（x）==，
则当x＞1时，m′（x）＞0，此时递增，
当x＜1时，m′（x）＜0，此时递减，
即函数m（x）取得极小值同时也是最小值m（1）===1
即m（x）=≥1，
则f（x）≥e x，
则h（x）=f（x）﹣e x≥e x﹣e x=0，
即h（x）的最小值为0．
故选：B
【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据导数之间的关系，利用构造法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
10. 已知两个单位向量，满足，则的夹角为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
∵，∴，∴，
∴，∴．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个三位数字的密码键,每位上的数字都在到这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为___
参考答案：
解析：
12. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，则圆C的半径为．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】设出圆心坐标，利用圆C与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且与直线x﹣y+1=0相切，建立方程，即可求得圆C的半径．
【解答】解：由题意，设圆心坐标为（2，b）（b＞0），则
=，∴b2+6b﹣7=0
∵b＞0，∴b=1
∴圆C的半径为
故答案为：
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
13.
在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积是 .
参考答案：
答案：
14. 已知向量与的夹角是，，，则向量与的夹角
为．
参考答案：
15. 若函数，若对任意不同的实数、、，不等式
恒成立，则实数m的取值范围为．
参考答案：
要使对任意的，成立，也即是最小值的两倍要大于它的最大值.，当，即时，，由基本不等式得，
根据上面的分析，则有，解得，即；当，即时，，有基本不等式得，根据上面的分析，则有，解得
，即.综上所述.
16. 已知，，若，则实数_______．
参考答案：
–2
因为，所以，解得。

17. i为虚数单位，设复数z满足，则z的虚部是
参考答案：
；
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （14分）设函数．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）当实数x∈[0，1]，证明：．
参考答案：
【分析】（1）由已知条件可以推知，结合该函数的单调性求解；（2）把证明不等式成立问题转化为判断函数单调性问题解决，利用（1）的结论即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意知，函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，
∵，当f'（x）≥0时，解得x≤0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
∴，f（x）max=f（0）=2，
∴函数f（x）的值域为．
（2）设，x∈[0，1]，h（0）=0，
∵，=，
∵=，
∴h'（x）≤0．
∴h（x）在（0，1）上单调递减，又h（0）=0，
∴．
【点评】本题主要考查函数单调性的判断及证明不等式恒成立问题，考查利用导数研究函数的性质，逻辑性强，属难题．
19. （本小题满分15分）在平面直角坐标系中，给定三点，点P 到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。

（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k的取值范围。

参考答案：
（1）,
(2)
知识点：轨迹方程的求法;斜率的取值范围;分类讨论思想.
解析：解：（1）直线AB、AC、BC的方程依次为。

点到AB、AC、BC的距离依次为。

依设，
，即
，化简得点P的轨迹方程为圆S：
（2）由前知，点P的轨迹包含两部分
圆S：①
与双曲线T：②
因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。

的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S 上。

直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为
③
（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。

(10)
分
（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。

这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。

代入方程②得，解得。

表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。

故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。

情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。

即方程组有且只有一组实数解，
消去y并化简得
该方程有唯一实数解的充要条件是④
或⑤
解方程④得，解方程⑤得.
综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集.
思路点拨：(1)先求直线AB、AC、BC的方程，在求出点到AB、AC、BC的距离依次为d1，d2，d3．由此能求出点的轨迹方程．
(2)点P的轨迹包含圆：与双曲线：
．△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由，
解得．设的方程为．再分情况讨论能够求出直线的斜率的取值范围．
20. 已知e是自然对数的底数，函数与的定义域都是(0,+∞)．（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：函数只有一个零点，且．
参考答案：
（1）（2）见证明
【分析】
（1）利用导数求得斜率，求得切点的坐标，由此求得切线方程.（2）首先根据零点存在性定理判断出在区间上存在零点.然后利用的导数，证得在
上是减函数，由此证得函数在区间上只有一个零点.
【详解】（1）解：∵
∴切线的斜率，，
∴函数在点处的切线方程为
（2）证明：∵，，
∴，，
∴
∴存在零点，且
∵
∴当时，
当时，由
∴在上是减函数，
∴若，，，则
∴函数只有一个零点，且.
【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，考查利用导数研究函数的零点，考查零点的存在性定理，综合性较强，属于中档题.
21. （本题满分15分）已知椭圆Γ：的离心率为，其右焦点与椭圆Γ的左顶点的距离是3．两条直线交于点，其斜率满足．设
交椭圆Γ于A、C两点，交椭圆Γ于B、D两点．
（I）求椭圆Γ的方程；
（II）写出线段的长关于的函数表达式，并求四边形面积的最大值．
参考答案：
（Ⅰ）设右焦点（其中），
依题意，，所以
．……………3分
所以，故椭圆Γ的方程是．……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F（1,0）．将通过焦点F的直线方程代入椭圆Γ的方程，可得，
其判别式．
特别地，对于直线，若设，则
，. ………………10分
又设，由于B、D位于直线的异侧，
所以与异号．因此B、D到直线的距离之和
．
………12分
综合可得，四边形ABCD的面积．
因为，所以，于是
当时，单调递减，所以当，即时，
四边形ABCD的面积取得最大值． (15)
分
22. 右图是某一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S、D、A、Q及P、D、C、R共线．
（Ⅰ）沿图中虚线将它们折叠起来，使P、Q、R、S四点重合为点P，请画出其直观图；
（Ⅱ）求二面角P-AB-D的大小；
（Ⅲ）试问需要几个这样的几何体才能拼成一个棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1？参考答案：
（2）由（1）得，，，得
∴，而，
∴……………………………………………………………4分∴
∴…………………………………6分
又在中，，故
∴二面角的平面角为……………………………………………8分。