2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用章末课件 新人教A版选修2-2

第一章 导数及其应用
热点透视·专题突破 热点一 数形结合思想 例1 如图是y＝f(x)的导数的图象，①f(x)在(－2，－1)上是增函 数；
②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x＝2是f(x)的极小值点． 以上正确的序号是________．
由图可知，图形M的面积S＝1(－x2＋2x－x2)dx 0
＝01(－2x2＋2x)dx＝－ 23x3＋x201 ＝－23＋1－0 ＝13.
【专题突破】 1．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y ＝f(x)的图象最有可能的是( )
∵y′＝x＋1 a.
∴x0＋1 a＝1，即x0＋a＝1. ∴x0＋1＝ln1＝0. ∴x0＝－1，∴a＝2. 答案：B
3．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为( ) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：f(x)＝x2－2x－4lnx，∴f′(x)＝2x－2－
热点五 定积分及其应用 例5 设曲线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求M的面积． 分析：不规则图形的面积可用定积分求解，解题关键是确定积分 的上、下限和被积函数，积分的上、下限一般是两条曲线交点的横坐 标．
解析：曲线y＝－x2＋2x，y＝x2在同一平面直角坐标系中所围成 的图形如图的阴影部分所示．
A
B
C
D
解析：由函数y＝f′(x)的图象可以看出，当0＜x＜2时，f′(x)＜ 0，此时f(x)单调递减，立即排除A、B、D，故选C.
答案：C
2．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，y0＝ln(x0＋a)，则x0＋1 ＝ln(x0＋a)．
在x＝e时取到最大值h(e)＝1e＞0， 当x→0时，h(x)＝lnxx→－∞， 当x→＋∞时，h(x)＝lnxx→0， ∴h(x)图象如图．
所以由图可知：a≤0时，f(x)有1个零点， 0＜a＜1e时，f(x)有2个零点， a＝1e时，f(x)有1个零点， 综上所述：a≤0或a＝1e时，f(x)有1个零点， 0＜a＜1e时，f(x)有2个零点．
解析：(1)f′(x)＝x－1－a g′(x)＝ex－a 由题意：f′(x)≤0对x∈(1，＋∞)恒成立 即a≥x－1对x∈(1，＋∞)恒成立，∴a≥1. ∵g(x)在(1，＋∞)上有最小值． a≤0时，g′(x)＞0恒成立，g(x)在(1，＋∞)无最值． a＞0时，由题意lna＞1，a＞e. 综上：a的范围是a＞e.
＝
31－cos1
－
－13－cos－1＝13－cos1＋13＋cosx，g(x)＝ex－ax，其中a为实数． (1)若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最 小值，求a的取值范围； (2)若g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数， 并证明你的结论．
知f′(0)＝f′(1)＝0，结合f′
1 2
＝
3 2
，求出f(x)的解析式；(2)f(x)≤x在
[0，m]上恒成立⇔f(x)－x≤0在[0，m]上恒成立⇔[0，m]是f(x)≤x的解
集的子区间，当f(x)－x的最值不好求时，可进行适当转化．
解析：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由已知得f′(0)＝f′(1)＝0，
热点四 利用导数证明不等式
例4 设函数f(x)＝x2＋aln(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2. (1)求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性； (2)证明：f(x2)＞1－42ln2.
解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域是{x|x＞－1}，f′(x)＝ 2x2＋1＋2xx＋a，且f′(x)＝0有两个不同的根x1，x2，
热点三 求参数的取值范围
例3 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(－
∞，0)，(1，＋∞)上是减函数，且f′21＝32. (1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[0，m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．
分析：本题主要考查导数的意义与恒成立问题．(1)由单调区间
解析：f′(x)＝1－xa2. (1)由导数的几何意义得f′(2)＝3，即1－a4＝3，∴a＝－8. 由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，得f(2)＝3×2＋1＝7，则－2 ＋b＝7，解得b＝9， ∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x－8x＋9(x≠0)．
(2)当a≤0时，显然f′(x)＞0(x≠0)， 这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝± a. 当x＜－ a或x＞ a时，f′(x)＞0； 当－ a＜x＜0或0＜x＜ a时，f′(x)＜0. ∴f(x)在(－∞，－ a)，( a，＋∞)上是增函数， 在(0， a)，(－ a，0)上是减函数.
则g′(t)＝－2(1＋2t)ln(1＋t)．
当t＝－12时，g′(t)＝0；当t∈－12，0时，g′(t)＞0， ∴g(t)在区间－12，0上是增函数， ∴当t∈－12，0时，g(t)＞g－12＝1－42ln2， ∴f(x2)＝g(x2)＞1－42ln2.
f′(x) ＋
0
－
0
＋
f(x)
↗ 极大值 ↘ 极小值
↗
∴f(x)在区间(－1，x1)和(x2，＋∞)上单调递增， 在区间(x1，x2)上单调递减．
(2)证明：由题设和①，知－12＜x2＜0，a＝－2x2(1＋x2)， ∴f(x2)＝x22－2x2(1＋x2)ln(1＋x2)． 设函数g(t)＝t2－2t(1＋t)ln(1＋t)，
解析：①在(－2，－1)上，f′(x)＜0，故f(x)是减函数，①错 误；②x＝－1两侧导数值由负变正，即函数f(x)由减函数变为增函
数，x＝－1是极小值点，②正确；③f(x)在 2，72 上是减函数，在
27，4 上是增函数，不能说f(x)在(2,4)上是减函数，③错误；④x＝2两 侧导数值由正变负，故x＝2是极大值点，④错误，故填②.
(2)∵g(x)在(－1，＋∞)上是单调增函数， ∴g′(x)≥0对x∈(－1，＋∞)恒成立， 即a≤ex对x∈(－1，＋∞)恒成立， ∴a≤e－1，
令f(x)＝0，则a＝lnxx， 则有f(x)的零点个数即为y＝a与y＝lnxx图象交点的个数， 令h(x)＝lnxx(x＞0)， 则h′(x)＝1－x2lnx， 易知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
4 x
＞0，整理有
x＋1x－2 x
＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，又因为f(x)的定义域为{x|x
＞0}，故选C项．
答案：C
4．计算定积分1 (x2＋sinx)dx＝________. -1
解析： 1 -1
(x2＋sinx)dx＝

x33－cosx
1 －1
答案：②
热点二 分类讨论思想
例2 已知函数f(x)＝x＋xa＋b(x≠0)，其中a，b∈R. (1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数 f(x)的解析式； (2)讨论函数f(x)的单调性． 分析：(1)根据导数的几何意义及切线方程，用待定系数法求出 函数解析式；(2)求出导函数，通过分析导函数的正负来讨论函数的 单调性．
∴方程2x2＋2x＋a＝0的判别式Δ＝4－8a＞0，即a＜12， 且x1＝－1－ 2 1－2a，x2＝－1＋ 2 1－2a.① 又∵x1＞－1，∴a＞0，∴a的取值范围是0，12.
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x (－1，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
得3c＝a＋0，2b＋c＝0， 解得bc＝＝0－，32a.
∴f′(x)＝3ax2－3ax.
∵f′21＝34a－32a＝－34a＝32，∴a＝－2， ∴b＝3， ∴f(x)＝－2x3＋3x2.
(2)令f(x)≤x，即－2x2＋3x2－x≤0， ∴x(2x－1)(x－1)≥0，∴0≤x≤12或x≥1. 又f(x)≤x在区间[0，m](m＞0)上恒成立， ∴m的取值范围是0＜m≤12.