必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计算...doc
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高中数学必修2知识点第一章空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征(略)棱柱：棱锥：棱台：圆柱：圆锥：圆台：球：1.2 空间几何体的三视图和直观图1三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3直观图：斜二测画法4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。
5用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和2圆柱的表面积4圆台的表面积S 2 rl2r 2 3 圆锥的表面积S rlr 2 S rl r 2Rl R2 5 球的表面积S 4R26扇形的面积公式S扇形n R21lr （其中l表示弧长，r表示半径）3602（二）空间几何体的体积1柱体的体积 V S底h 2 锥体的体积1S底h V33台体的体积V1S上h4 球体的体积V4R3（下下3S上 S S )3第二章直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的 , 无大小，无厚薄。
2平面的画法及表示450，且横边画成邻边的（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 2 倍长（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等。
3三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A l符号表示为B ll AB公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为： A、B、C 三点不共线有且只有一个平面α，使A∈α、 B∈α、 C∈α。
高中立体几何二面角和距离求法
四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所o o注意：若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。
有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。
（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90；③斜线与平面所成的角：o o α即也就是斜线与它在平面内的射影所成的角。
（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。
方法有：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；注意：还可以用射影法：SS 'cos =θ；其中θ为二面角βα--l 的大小，S 为α内的一个封闭几何图形的面积；'S 为α内的一个封闭几何图形在β内射影图形的面积。
一般用于解选择、填空题。
五、距离的求法： （1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。
求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。
注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；③体积法：利用三棱锥体积公式。
（2）线线距离：关于异面直线的距离，常用方法有：①定义法，关键是确定出b a ,的公垂线段；②转化为线面距离，即转化为a 与过b 而平行于a 的平面之间的距离，关键是找出或构造出这个平面；③转化为面面距离；（3）线面、面面距离：线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化；。
空间几何中的距离公式
空间几何中的距离公式在空间几何中，距离公式是计算两点之间距离的重要工具。
距离公式不仅广泛应用于数学领域，还在物理学、工程学等各个领域发挥重要作用。
本文将详细介绍空间几何中的距离公式，包括二维空间和三维空间中的情况。
一、二维空间中的距离公式在二维空间中，我们可以使用欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中，d表示两点之间的距离。
以一个例子来说明。
假设有两个点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式，我们有：d = √((5 - 2)² + (7 - 3)²)= √(3² + 4²)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位长度。
二、三维空间中的距离公式在三维空间中，我们可以使用三维欧几里得距离公式来计算两点之间的距离。
假设有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离可以通过以下公式来计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)以一个例子来说明。
假设有两个点A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，我们可以使用距离公式计算它们之间的距离。
根据公式，我们有：d = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²)= √(3² + 3² + 3²)= √(9 + 9 + 9)= √27= 3√3因此，点A和点B之间的距离为3√3个单位长度。
距离公式在空间几何中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算两点之间的距离，比如在导航系统中计算两地之间的距离，或者在建筑工程中计算两个点之间的距离等。
立体几何空间距离与角高一
立体几何空间距离与角高一立体几何是研究空间中点、线、面、体之间的位置关系与数量关系的一门数学学科。
在立体几何中，距离是一个重要的概念，它是指两个点之间的长度，可以用于测量空间中的物体之间的远近关系。
而角高是指一个立体体的顶点到它所在的底面的垂直距离。
本文将介绍立体几何空间中的距离与角高的计算方法和应用。
空间距离在立体几何中，空间距离是指两点之间的直线距离。
对于平面上的点，我们可以直接计算其距离，而在空间中，我们需要考虑三维坐标系中的点之间的距离计算。
常用的空间距离计算方法有以下几种：欧氏距离欧氏距离是最常见的空间距离计算方法，它是指两点之间的直线距离。
在三维坐标系中，欧氏距离的计算公式如下：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别是两点的坐标。
曼哈顿距离曼哈顿距离是指两点之间的垂直距离加水平距离。
在三维坐标系中，曼哈顿距离的计算公式如下：d = |x2 - x1| + |y2 - y1| + |z2 - z1|切比雪夫距离切比雪夫距离是指两点之间的最大距离。
在三维坐标系中，切比雪夫距离的计算公式如下：d = max(|x2 - x1|, |y2 - y1|, |z2 - z1|)根据不同的应用需求，选择合适的距离计算方法可以提高计算的准确性和效率。
角高角高是指一个立体体的顶点到它所在的底面的垂直距离。
在立体几何中，角高通常用于计算体积和表面积等问题。
角高的计算方法取决于不同的几何体类型，下面将介绍几种常见几何体的角高计算方法。
圆柱的角高圆柱是一种常见的几何体，它由一个圆面和一个平行于圆面的矩形面组成。
圆柱的角高等于它的顶点到底面的垂直距离，即圆柱的高度。
圆柱的角高计算方法非常简单，只需直接测量圆柱的高度即可。
锥体的角高锥体是一种类似于圆柱的几何体，它由一个圆锥面和一个平行于圆锥面的底面组成。
高中数学优质课件【立体几何中的向量方法——求空间角与距离】
面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为________．
1 4
解析：设等边三角形的边长为 2.取 BC 的
中点 O，连接 OA，OD.因为等边三角形 ABC 和
BCD 所在平面互相垂直，所以 OA，OC，OD 两
两垂直，以 O 为坐标原点，OD，OC，OA 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系．
则 A(0,0， 3)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D( 3，0,0)， 所以A→B＝(0，－1，－ 3)，C→D＝( 3，－1，0)， 所以 cos〈A→B，C→D〉＝|AA→→BB|·|CC→→DD|＝2×1 2＝14， 所以异面直线 AB 和 CD 所成角的余弦值为14.
1 2 3 45
4．在空间直角坐标系 Oxyz 中，平面 OAB 的一个法向量为 n＝(2，
－2,1)，已知点 P(－1,3,2)，则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于( )
A．4
B．2
C．3
D．1
B 解析：P 点到平面 OAB 的距离为 d＝|O→|Pn·|n|＝|－2－96＋2|＝2.
12345
B1(1,1， 3)，所以A→D1＝(－1，0， 3)，D→B1＝(1,1， 3)．设异面直线
AD1 与 DB1 所成的角为 θ，
所以 cos θ＝|AA→→DD11|·|DD→→BB11|＝2×2
5＝5 5.Fra bibliotek所以异面直线
AD1
与
DB1
所成角的余弦值为
5 5.
2．有公共边的等边三角形 ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，则异
l1与l2所成的角θ
a与b的夹角β
范围
高一必修二空间角度及距离
1高一必修二空间角度及距离例1. 已知正六边形ABCDEF 的边长为a ，PA ⊥平面AC ，PA ＝a ．求：⑴ P 到直线BC 的距离；⑵ P 到直线CD 的距离．例2．如图， 直线l 上有两定点A 、B ， 线段AC ⊥l ，BD ⊥l ， AC ＝BD ＝a ，且AC 与BD 成120°角，求AB 与CD 间的距离．变式1：ABCD 是边长为a 的正方形，M 、N 分别为DA 、BC 边上的点，且MN ∥AB 交AC 于O 点，沿MN 折成直二面角．⑴ 求证：不论MN 怎样平行移动(AB ∥MN)，∠AOC 的大小不变； ⑵ 当MN 在怎样的位置时，点M 到平面ACD 的距离最大？ 并求出这个最大值．例3. 已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC＝2，求点B 到平面EFG 的距离．变式训练3：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，Ｅ、F 分别是BB 1、CD 的中点. ⑴ 求证：AD ⊥D 1F ；⑵ 求证：AE 与D 1F 所成的角； ⑶ 求点F 到平面A 1D 1E 的距离．AE BCGDF ＡBCD Ａ1C 1D 1B 1 E F2例4如图，四面体ABCD 中，△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形． （1）若点D 到平面ABC 的距离不小于3，求二面角A—BC—D 的取值范围； （2）当二面角A—BC—D的平面角为时，求点C 到平面ABD 的距离．例5. 如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求EF 与平面PAD 所成角的大小； （2）求EF 与CD 所成角的大小；（3）若∠PDA ＝45°，求：二面角F—AB—D 的大小．例6如图，ABCD—A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，若二面角C 1 —BD—C 的大小为60°，求异面直线BC 1与AC 所成 的角的余弦值．例7已知四边形ABCD 内接于半径为R 的⊙O ，AC 为⊙O 的直径，点S 为平面ABCD 外一点，3ABDC A 1B 1 D 1C 1D ABCDS3且SA ⊥平面ABCD ，若∠DAC ＝∠ACB ＝∠SCA ＝30°，求：⑴ 二面角S －CB －A 的大小； ⑵ 直线SC 与AB 所成角的大小．例8：正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 中点． ⑴ 求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1； ⑵ 求证：AB 1∥平面BEC 1； ⑶ 若，求二面角E －BC 1－C 的大小．221 AB A A B BAECCA。
论空间角和距离的计算问题
因 此
∞ ＝ Ｅ ・ ｉ４ 。 ２× 二 ： ， Ａ ｓ ５ ＝ ｎ
于是
从而
Ｄ（一 ２， ， ） √ ２ ０．
ｃ 户＝（ 一２ ， ０， ２ ） ｃ ， Ｄ＝（一 ， ０ ． Байду номын сангаас， ）
设 ｍ ＝（ Ｙ ｚ 是平 面 Ｐ Ｄ 的一个 法 向量 ， ， ，） Ｃ 则
・
２ ・ ４
ｍ ・（尸 ＝０． ・ＣＤ ＝０． ｍ
中学教 研 （ 学 ） 数
ｔ Ｉ ・ＢＡ ＝０ 。 ‘ＢＥ ＝０ ． ｔ Ｉ
解 得
＝ ， ： ０ Ｙ＝ ．
取 Ｙ＝１ 得 ｍ ＝（ ， ， ） 从而 ， ０ １１ ，
Ｂ Ｐ＝（一 ￣ ， ， √ ） ２／ ０ ２ ２ ． ２
第 １期
严 兴 光 ： 空 间 角和 距 离的 计 算 问题 论
・２ ・ ３
论 空 间 角 和 距 离 的 计 算 问 题
●严 兴光 １ 考试要 求 （ 西湖高级 中学 浙江杭州 ３００ ） １０２
线 与平 面所 成 的角 、 平面 与平 面所 成 的角 的计 算． 例 １ 如 图 ２ 在 五棱 锥 Ｐ Ａ Ｃ Ｅ 中 ， Ａ上平 ， —Ｂ Ｄ Ｐ
又Ａ ２ ／Ａ Ｃ＝ ５ ，Ｅ ／ Ｃ 得 Ｅ＝ ， Ｂ ４ 。 ／Ｂ ， Ａ
ｆ ＿ＢＡＥ ＝ １ ５。， ３ ＝４５。 ，
一
解． 如果 在 教学 中一 味 地 强 调 坐 标 法求 角 ， 么 在 那 考试 中的得分 一 定不 会 高． ４ 典例 剖析 题 型 １ 空 间角 的计算 空 间角 的计算 主要包 括 异面直 线 所成 的角 、 直
（） １ 能借 助 空 间几 何 体 内 的位 置关 系 求 空 间 的夹 角和距 离 ； （） ２ 会用 向量方 法 解 决 异 面直 线 所 成 角 、 线 直
必学二高中数学立体几何专题_空间几何角和距离的计算
立体几何专题：空间角和距离的计算一 线线角1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值。
B 12．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角，（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小；D二．线面角1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2，（1）求直线D 1F 和AB 和所成的角；（2）求D 1F 与平面AED 所成的角。
12．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC1B 1所成角的大小。
B 1三．二面角1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点，（1）证明AB 1∥平面DBC 1；（2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小。
B 12．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小；（2）求SC 与面ABCD 所成的角。
B C3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小。
1四 空间距离计算（点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是BC 的中点，DP 交AC 于M ，B 1P 交BC 1于N ，（1）求证：MN 上异面直线AC 和BC 1的公垂线；（2）求异面直线AC 和BC 1间的距离；C1A（点到线，点到面的距离）2．点P 为矩形 ABCD 所在平面外一点，PA ⊥面ABCD ，Q 为线段AP 的中点，AB=3，CB=4，PA=2，求（1）点Q 到直线BD 的距离；（2）点P 到平面BDQ 的距离；3．边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC=600，PC ⊥平面ABCD ，E 是PA 的中点，求E 到平面PBC 的距离。
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3.2.3 利用空间向量求空间角、空间距离问题1．空间角及向量求法(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．( )(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．( )(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．( )答案 (1)× (2)√ (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________．(2)(教材改编P 111A 组T 11)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中点，P 是A 1B 1上的任意点，则直线BM 与OP 所成的角为________．(3)已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为________．答案 (1)45°或135° (2)π2 (3)103解析 (2)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2 ，则O (1,1,0)，P (2，x,2)，B (2,2,0)，M (0,2,1)，则OP→＝(1，x －1,2)，BM →＝(－2,0,1)．所以OP →·BM →＝0，所以直线BM 与OP 所成角为π2. 探究1 利用空间向量求线线角例1 如图1，已知两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高分别为1和2，AB ＝4.求异面直线AQ 与PB 所成角的余弦值．[解] 由题设知，ABCD 是正方形，连接AC ，BD ，交于点O ，则AC ⊥BD .连接PQ ，则PQ 过点O .由正四棱锥的性质知PQ ⊥平面ABCD ，故以O 为坐标原点，以直线CA，DB，QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图2)，则P(0,0,1)，A(22，0,0)，Q(0,0，－2)，B(0,22，0)，∴AQ→＝(－22，0，－2)，PB→＝(0,22，－1)．于是cos〈AQ→，PB→〉＝AQ→·PB→|AQ→||PB→|＝39，∴异面直线AQ与PB所成角的余弦值为3 9 .拓展提升两异面直线所成角的求法(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．(2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|求向量a、b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a、b用一组基底表示出来，再求有关的量．(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法①建立恰当的空间直角坐标系；②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角．【跟踪训练1】如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠VDC ＝θ.当θ＝π3时，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值．解 由于AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，D (1,1,0)．当θ＝π3时，在Rt △VCD 中，CD ＝2，故有V (0,0，6)．所以AC →＝(－2,0,0)，VD →＝(1,1，－6)．所以cos 〈AC →，VD →〉＝AC →·VD→|AC →||VD →|＝－22×22＝－24.所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为24.探究2 利用空间向量求线面角例2 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．[解] 建立如下图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0, 2a )，C 1⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，a2， 2a ， 取A 1B 1的中点M ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫0，a2，2a ，连接AM ，MC 1，有MC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，0，0， AB →＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a )．∴MC 1→·AB →＝0，MC 1→·AA 1→＝0， ∴MC 1→⊥AB →，MC1→⊥AA 1→， 即MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1，又AB ∩AA 1＝A ， ∴MC 1⊥平面ABB 1A 1 .∴∠C 1AM 是AC 1与侧面A 1ABB 1所成的角．由于AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，2a ，∴AC 1→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24，|AC 1→|＝3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ， |AM →|＝a 24＋2a 2＝32a ， ∴cos 〈AC1→，AM →〉＝9a 243a ×3a 2＝32. ∴〈AC 1→，AM →〉＝30°，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. [解法探究] 此题有没有其他解法？解 与原解建立相同的空间直角坐标系，则AB →＝(0，a,0)，AA1→＝(0,0，2a )，AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，a 2，2a . 设侧面ABB 1A 1的法向量n ＝(λ，x ，y )，∴n ·AB →＝0且n ·AA1→＝0.∴ax ＝0且2ay ＝0.∴x ＝y ＝0.故n ＝(λ，0,0)．∵AC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，a 2，2a ， ∴cos 〈AC 1→，n 〉＝n ·AC1→|n ||AC 1→|＝－λ2|λ|.∴|cos 〈AC 1→，n 〉|＝12. ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.[条件探究] 此题中增加条件“E ，F ，G 为AB ，AA 1，A 1C 1的中点”，求B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0，a ，2a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，0，22a ，G ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－34a ，a 4，2a ， 于是B 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－a ，－22a ，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，－a 2，22a ， EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34a ，－a 4，2a . 设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 2y ＋22az ＝0，－34ax －a 4y ＋2az ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2z ，x ＝6z ，令z ＝1，得x ＝6，y ＝2，所以平面GEF 的一个法向量为n ＝(6，2，1)， 所以|cos 〈B 1F →，n 〉|＝|n ·B 1F →||n ||B 1F →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2a －22a 9×a 2＋a 22＝33. 所以B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为33.拓展提升求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量AB →； (3)求平面的法向量n ；(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|n ·AB→||n ||AB→|.【跟踪训练2】 如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值．解 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN .由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC ，从而AE ⊥AD ，且AE ＝AB 2－BE 2＝AB2－⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＝ 5.以A 为坐标原点，AE →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题意知，P (0,0,4)，M (0,2,0)，C (5，2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎪⎫52，1，2， PM →＝(0,2，－4)，PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，1，－2，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，1，2. 设n ＝(x ，y ，z )为平面PMN 的法向量，则⎩⎨⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1)．于是|cos 〈n ，AN →〉|＝|n ·AN →||n ||AN →|＝8525，则直线AN 与平面PMN所成角的正弦值为8525.探究3 利用空间向量求二面角例3 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D －AF －E 与二面角C －BE －F 都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值．[解] (1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，GF→的方向为x轴正方向，|GF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝3，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，3)．由已知，AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，故AB∥CD，CD∥EF.由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，所以∠CEF为二面角C－BE －F的平面角，∠CEF＝60°.从而可得C(－2,0，3)．连接AC，则EC→＝(1,0，3)，EB→＝(0,4,0)，AC→＝(－3，－4，3)，AB→＝(－4,0,0)．设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则⎩⎨⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3z ＝0，4y ＝0，所以可取n ＝(3,0，－3)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AC →＝0，m ·AB →＝0，同理可取m ＝(0，3，4)．则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－21919.故二面角E －BC －A 的余弦值为－21919.拓展提升二面角的向量求法(1)若AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB →与CD →的夹角(如图①)．(2)利用坐标法求二面角的步骤设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图②.用坐标法的解题步骤如下：①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系． ②求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n 1，n 2.③计算：求n1与n2所成锐角θ，cosθ＝|n1·n2| |n1||n2|.④定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.【跟踪训练3】若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC ＝2，求二面角A－PB－C的余弦值．解 解法一：如下图所示，取PB 的中点D ，连接CD .∵PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB .∴作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A －PB －C 的大小就等于异面直线DC 与EA 所成的角θ的大小．∵PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12，∴DE ＝PD －PE ＝12，又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC →＝AE →＋ED →＋DC →，且AE →⊥ED →，ED →⊥DC→，∴|AC →|2＝|AE →|2＋|ED →|2＋|DC →|2＋2|AE →|·|DC →|·cos(π－θ)， 即1＝34＋14＋1－2×32×1×cos θ，解得cos θ＝33.故二面角A －PB －C 的余弦值为33.解法二：由解法一可知，向量DC →与EA →的夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小，如图，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A (1,0,0)，B (0，2，0)，C (0,0,0)，P (1,0,1)，D 为PB的中点，D ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，22，12. ∵PE EB ＝AP 2AB 2＝13，即E 分PB →的比为13，∴E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫34，24，34，EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，－24，－34， DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，－22，－12，|EA →|＝32，|DC →|＝1，EA →·DC →＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－24×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12.∴cos 〈EA →，DC →〉＝EA →·DC →|EA →||DC →|＝33. 故二面角A －PB －C 的余弦值为33.解法三：如右图所示，建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)，CB →＝(2，0,0)，CP →＝(0，－1,1)，设平面PAB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·AP →＝0，m ·AB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z ·0，0，1＝0，x ，y ，z ·2，1，0＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，z ＝0，令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)，设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则⎩⎨⎧n ·CB →＝0，n ·CP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′，y ′，z ′·2，0，0＝0，x ′，y ′，z ′·0，－1，1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝33.∴二面角A －PB －C 的余弦值为33.探究4 利用空间向量求距离例4 已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．[解] 解法一：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0，0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0.设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则DH →＝xDE →＋yDF →＋zDP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y ，12x ＋y ，z ·(x ＋y ＋z ＝1)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，PF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－1.∴DH →·PE →＝x ＋12y ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y －z ＝54x ＋y －z ＝0.同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0，又x ＋y ＋z ＝1，∴可解得x ＝y ＝417，z ＝917.∴DH →＝317(2,2,3)．∴|DH →|＝31717.因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)设AH ′⊥平面PEF ，垂足为H ′，则AH ′→∥DH →，设AH ′→＝λ(2,2,3)＝(2λ，2λ，3λ)(λ≠0)，则EH ′→＝EA →＋AH ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0＋(2λ，2λ，3λ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ，2λ－12，3λ.∴AH ′→·EH ′→＝4λ2＋4λ2－λ＋9λ2＝0，即λ＝117.∴AH ′→＝117(2,2,3)，|AH ′→|＝1717， 又AC ∥平面PEF ，∴AC 到平面PEF 的距离为1717.解法二：(1)由解法一建立的空间直角坐标系知EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，设平面PEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＝0，x ＋12y －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，z ＝32x ，令x ＝2，则n ＝(2,2,3)， ∴点D 到平面PEF 的距离d ＝|DE →·n ||n |＝|2＋1|4＋4＋9＝31717.(2)∵AC ∥EF ，∴直线AC 到平面PEF 的距离也即是点A 到平面PEF 的距离．又AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴点A 到平面PEF 的距离为 d ＝|AE →·n ||n |＝117＝1717.拓展提升1.向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题，即利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法．(2)直接套用点线距公式求解，其步骤为直线的方向向量a →所求点到直线上一点的向量PP ′→及其在直线的方向向量a 上的投影→代入公式．注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 2．点面距、线面距、面面距的求解方法线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．点面距的求解步骤：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．【跟踪训练4】 正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，求点A 到平面EFG 的距离．解 如图，建立空间直角坐标系，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)，∴EF →＝(1，－2,1)，EG →＝(2，－1，－1)，GA →＝(0，－1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，则⎩⎨⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝0，∴x ＝y ＝z ，可取n ＝(1,1,1)， ∴d ＝|GA →·n ||n |＝13＝33，即点A 到平面EFG 的距离为33.探究5 与空间有关的探索性问题例5 如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所成的平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝∠CEF ＝90°，AD ＝3，EF ＝2.(1)求证：AE ∥平面DCF ；(2)当AB 的长为何值时，二面角A －EF －C 的大小为60°？[解] 如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz .设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ，则C (0,0,0)，A (3，0，a )，B (3，0,0)，E (3，b,0)，F (0，c,0)．(1)证明：AE →＝(0，b ，－a )，CB →＝(3，0,0)，BE →＝(0，b,0)，∴CB →·AE →＝0，CB →·BE →＝0， 从而CB ⊥AE ，CB ⊥BE . 又AE ∩BE ＝E ， ∴CB ⊥平面ABE . ∵CB ⊥平面DCF ，∴平面ABE ∥平面DCF .又AE ⊂平面ABE ， 故AE ∥平面DCF .(2)∵EF →＝(－3，c －b,0)，CE →＝(3，b,0)， 且EF →·CE →＝0，|EF→|＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3＋b c －b ＝0，3＋c －b2＝2，解得b ＝3，c ＝4.∴E (3，3,0)，F (0,4,0)．设n ＝(1，y ，z )与平面AEF 垂直， 则n ·AE →＝0，n ·EF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1，y ，z ·0，3，－a ＝0，1，y ，z ·－3，1，0＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，3，33a.又∵BA ⊥平面BEFC ，BA →＝(0,0，a )，∴|cos 〈n ，BA →〉|＝|n ·BA →||n ||BA →|＝334a 2＋27＝12， 解得a ＝92或a ＝－92(舍去)．∴当AB ＝92时，二面角A －EF －C 的大小为60°.拓展提升利用向量解决存在性问题的方法策略求解存在性问题的基本策略是：首先，假定题中的数学对象存在；其次，构建空间直角坐标系；再次，利用空间向量法把存在性问题转化为求参数是否有解问题；最后，解方程，下结论．利用上述思维策略，可使此类存在性难题变为常规问题．【跟踪训练5】 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点，且AEEB＝λ. (1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)是否存在λ，使得二面角D 1－EC －D 的平面角为π4？并说明理由．解 (1)证明：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,2,1)，C 1(0,2,1)，D 1(0,0,1)．因为AEEB ＝λ，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，0， 于是D 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1，A 1D →＝(－1,0，－1)，所以D 1E →·A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1·(－1,0，－1)＝－1＋0＋1＝0，故D 1E ⊥A 1D .(2)因为DD 1⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，设平面D 1EC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，又CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ－2，0，CD 1→＝(0，－2,1)， 则⎩⎨⎧n 1·CE →＝0，n 1·CD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ－2，0＝0，n 1·0，－2，1＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ·21＋λ＝0，－2y ＋z ＝0，取y ＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，1，2. 因为二面角D 1－EC －D 的平面角为π4，所以22＝|n ·n 1||n ||n 1|，即22＝21＋4＋⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ2，解得λ＝233－1. 故存在λ＝233－1，使得二面角D 1－EC －D 的平面角为π4.1.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线，把立体几何问题转化为向量问题.(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及相应的距离和夹角等问题.(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. 2.利用法向量求直线AB 与平面α所成的角θ的步骤 (1)求平面α的法向量n .(2)利用公式sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|＝|AB →·n ||AB →||n |，注意直线和平面所成角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.3.利用法向量求二面角的余弦值的步骤 (1)求两平面的法向量.(2)求两法向量的夹角的余弦值.(3)由图判断所求的二面角是锐角、直角，还是钝角，从而下结论.在用法向量求二面角的大小时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.4.点面距的求解步骤(1)求出该平面的一个法向量.(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量. (3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.1．若两异面直线l 1与l 2的方向向量分别为a ＝(0,4，－3)，b ＝(1,2,0)，则直线l 1与l 2的夹角的余弦值为( )A.32B.8525C.4315D.33答案 B解析 设l 1，l 2的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|＝0×1＋4×2＋－3×05×5＝8525.2．直角△ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P 到斜边AB 的距离是( )A ．5B ．3C ．3 2 D.125答案 B解析 以C 为坐标原点，CA ，CB ，CP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A (4,0,0)，B (0,3,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，95，所以AB →＝(－4,3,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，0，95， 所以AP →在AB →上的投影长为|AP →·AB →||AB →|＝165，所以点P 到AB 的距离为d ＝|AP →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＝16＋8125－25625＝3.故选B.3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，O 是正方形中心，则折起后，∠EOF 的大小为( )A ．(0°，90°)B ．90°C ．120°D ．(60°，120°)答案 C解析 OE →＝12(OA →＋OD →)，OF →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →·OF →＝14(OA →·OB →＋OA →·OC →＋OD →·OB →＋OD →·OC →)＝－14|OA →|2.又|OE →|＝|OF →|＝22|OA →|，∴cos 〈OE →，OF →〉＝－14|OA →|212|OA →|2＝－12.∴∠EOF ＝120°.故选C. 4．平面α的法向量n 1＝(1,0，－1)，平面β的法向量n 2＝(0，－1,1)，则平面α与β所成二面角的大小为________．答案π3或2π3解析 设二面角的大小为θ，则cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋0×－1＋－1×12·2＝－12，所以cos θ＝12或－12，∴θ＝π3或2π3.5．如图，在长方体AC 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝2，点E ，F 分别是平面A 1B 1C 1D 1、平面BCC 1B 1的中心．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．试用向量方法解决下列问题：(1)求异面直线AF 和BE 所成的角；(2)求直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值．解 (1)由题意得A (2,0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，2，22，B (2,2,0)，E (1，1，2)，C (0,2,0)．∴AF →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1，2，22，BE →＝(－1，－1，2)， ∴AF →·BE →＝1－2＋1＝0.∴直线AF 和BE 所成的角为90°.(2)设平面BEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又BC→＝(－2,0,0)，BE →＝(－1，－1，2)，则n ·BC →＝－2x ＝0，n ·BE →＝－x －y ＋2z ＝0，∴x ＝0，取z ＝1，则y ＝2，∴平面BEC 的一个法向量为n ＝(0，2，1)．∴cos 〈AF →，n 〉＝AF →·n|AF →||n |＝522222×3＝53333.设直线AF 和平面BEC 所成的角为θ，则sin θ＝53333，即直线AF 和平面BEC 所成角的正弦值为53333.。
高二数学 立体几何选修1-1：第六节 空间角与距离 含解
重点列表：重点详解：重点1：异面直线所成的角 【要点解读】 两条异面直线所成的角 ①异面直线所成的角已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦.②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是(0,]2π．③向量求法：设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为φ，则有cos |cos |||||||a ba b θϕ⋅==⋅. 【考向】异面直线所成的角【例题】【2017届湖北省沙市高三上学期第二次考试】在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点. （1）求异面直线1DC 、1BC 所成角的余弦值； （2）求二面角11B DC C --的平面角的余弦值.（2）因为(0,2,0)CB = ，(2,0,0)CA =，1(0,0,2)CC = ，所以0CB CA ⋅= ，10CB CC ⋅= ，所以CB 为平面11ACC A 的一个法向量.因为1(0,2,2)BC =-- ，(2,0,1)CD = ，设平面1BDC 的一个法向量为n ， (),,n x y z = .由10,0,n B C n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220,20.y z x z --=⎧⎨+=⎩令1x =，则2,2y z ==-，()1,2,2n =-.所以42cos(,).323||||n CB n CB n CB ⋅===⨯所以二面角11B DC C --的余弦值为.32【名师点睛】异面直线所成的角，通过作平行线，转化为相交直线所成的角.具体地，有以下两种方法：一是在其中一条上的适当位置选一点，过该点作另一条的平行线；二是在空间适当位置选一点，过该点作两条异面直线的平行线.求异面直线所成的角，点的选取很重要.运用空间向量坐标运算求异面直线所成的角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．注意：两异面直线所成的角不一定是直线的方向向量的夹角. 重点2：直线与平面所成的角 【要点解读】平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． ①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|e ·n ||e ||n |.【考向】直线与平面所成的角 【例题】【2017届湖北黄石市高三9月调研】如图，正方形AMDE 的边长为2，B C 、分别为线段AM MD 、的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD PC、分别交于点G H 、．（1）求证：//AB FG ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．（2）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以,PA AE PA AB ⊥⊥，如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()()()()1,0,0,2,1,0,0,0,2,0,1,1B C P F ，()1,1,0BC =．设平面ABF 的法向量为(),y,z n x =，则00n A B n A F ⎧=⎨=⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1z =，则1y =-，所以()0,1,1n =-．设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则1sin cos ,2n BC n BC n BCα===，因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为6π【名师点睛】直线与平面所成的角就是直线与其在该平面内的射影所成的角.求线面角的关键是找出斜线在平面内的射影，一般在斜线上的某个特殊的位置找一点，过该点平面的垂线，从而作出射影；运用空间向量坐标运算求直线与平面所成的角的一般步骤：①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论．注意：直线与平面所成的角的正弦等于直线与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值.重点3：二面角【要点解读】如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.(4)等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.求二面角的大小(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD〉．(2)如图2、3，12,n n分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小12,n n θ=<>(或12,n n π-<>)． 【考向】二面角的求法 【例题】【2017届河南省豫北重点高三联考】如图所示，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，侧面11ABB A 为菱形，1DAB DAA ∠=∠． （1）求证：1A B AD ⊥； （2）若012,A 60A D A BB C A B==∠=，点D 在平面11ABB A 上的射影恰为线段1AB 的中点，求平面11DCCD 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值．（2）设线段1A B 的中点为O ，连接1DO AB 、，由题意知DO ⊥平面 11ABB A ，因为侧面11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥，故可分别以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -.设22AD AB BC a ===，由0160A AB ∠=可知1,OB a OA OB ===，所以OD a ==，从而()()()()10,,0,,0,0,,0,0,0,A B a B D a，所以()11,0CC BB a ==-．由12BC AD =可得1,,22C a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1,,22DC a a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．设平面11DCC D 的一个法向量为()000,,m x y z = ，由10,0m CC m DC ==，得0000001022ax ax az ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩取01y =，则00x z ==m =．又平面11ABB A 的法向量为()0,0,OD a =，所以cos ,OD m OD m OD m===【名师点睛】二面角的范围[]0,π，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；②射影面积法.利用射影面积公式cos θ＝S S'；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. ③空间向量法:法一: ,AB CD 是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=〈〉．法二：设1n ,2n是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面角l αβ--的平面角12cos cos ,u u θ=〈〉 或12cos cos ,u u θ=-〈〉. 重点4：空间距离【要点解读】（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过b 且与a 平行的平面，则直线a 到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与b ，a 分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．④根据异面直线间的距离公式EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）求距离.（2）点到平面的距离点Ｐ到直线a 的距离为点Ｐ到直线a 的垂线段的长，常先找或作直线a 所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作a 的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a 的距离.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可.常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面α的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为n m :，则点Ａ，Ｂ到平面α的距离之比也为n m :．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面α的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离. 点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.【考向】空间距离的求法【例题】【2017届广东珠海市高三9月摸底考试】如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥，1PD D C BC ===，2AB =，//,90AB DC BCD ∠=o．⑴ 求证：PC BC ⊥；⑵ 求点A 到平面PBC 的距离．【名师点睛】1.求距离的关键是化归.即空间距离向平面距离化归，具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形.（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法.（3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之.2.用法向量球距离：（1）用法向量求异面直线间的距离：如右图所示，a 、b 是两异面直线，是a 和b 的法向量，点E ∈a ，F ∈b ，则异面直线 a 与b之间的距离是d =；（2）用法向量求点到平面的距离：如右图所示，已知AB 是平面α的 一条斜线，n 为平面α的法向量，则 A 到平面α的距离为d =；（3）用法向量求直线到平面间的距离：首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题；（4）用法向量求两平行平面间的距离：首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题.【趁热打铁】1.【2017届河南商丘第一高级年高三上开学摸底】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,AB AC AB AA AC ⊥===过BC 的中点D 作平面1ACB 的垂线，交平面11ACC A 于E ，则BE 与平面11ABB A 所成角的正切值为（ ）A2. 【2017届山西临汾一中高三10月月考】如图,在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2,AB AC AB AA AC ⊥==过BC 的中点D 作平面1ACB 的垂线，交平面11ACC A 于E ，则点E 到平面11BB C C 的距离为（ ）A ．2B ．3C ． 3D ．23.【2017届湖北襄阳四中高三七月周考】AB 是O 的直径，点C 是O 上的动点，过动点C 的直线VC 垂直于O 所在的平面，,D E 分别是,VA VC 的中点．（1）试判断直线DE 与平面VBC 的位置关系，并说明理由；（2）若已知2,AB VC ==当三棱锥V ABC -体积最大时，求点C 到面VBA 的距离．4. 【2017届宁夏石嘴山三中高三上学期月考】在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求棱1A A 的长；（2）若11AC 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.5. 【2017届山西怀仁县一中高三上学期开学考】在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，AB BC kPA ==，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ．（1）求证：//OD 平面PAB ； （2）当12k =时，求直线PA 与平面PBC 所成的角的正弦值；（3）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？6. 【2017届广东珠海市高三9月摸底】在如图所示的圆台中，C A 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆/O 的直径，FB 是圆台的一条母线.（1）已知H G ，分别为FB E ,C 的中点，求证：ABC GH 面//；（2）已知221===AC FB EF ，BC AB =，求二面角O BC F --的余弦值.。
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法
高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。
在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。
本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。
一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。
空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。
2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。
设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。
接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。
二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。
2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。
设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。
比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。
在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。
在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。
必修2空间角和空间距离(理科)
空间角和空间距离空间角(1)两条异面直线所成的角：两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线c∥a，d∥b，我们把直线c和d所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。
注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]．②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出．③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法：(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点．(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现．(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角(锐角或直角)，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围．（2）直线与平面所成的角1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角．2)直线与平面垂直时，直线与平面所成的角为．3)直线与平面平行或在平面内时，直线与平面所成的角为．显然，直线与平面所成的角的范围为．4）求一条斜线和平面所成的角：做出这条斜线在平面内的射影，再确定斜线和射影所成角的大小即可。
斜线在平面内的射影：从斜线上除斜足外的任意一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面内的射影，斜线上任意一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
（3）二面角(1)二面角的定义一条直线出发的二个半平面所形成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，二个半平面称为二面角的面．(2)二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做二面角的平面角．注意：①二面角的平面角两边必须都与棱垂直．②二面角的平面角的大小是由二面角的两个面的位置关系所确定的，与定义中棱上任一点的选择无关，也就是二面角的平面角不只一个，但这些平面角的大小是相等的．③二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；相交时；共面时．平面角是直角的二面角叫做直二面角．(3)二面角的平面角的确定与求法①直接法：这种方法的思路是：先作出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出平面角的大小，即为所求的二面角的大小．②公式法：射影面积公式，如果平面多边形的面积为S，它在平面内的射影面积为，平面多边形与平面所夹的锐二面角为，那么．空间距离（1）两条异面直线间的距离：两条异面直线a、b，设A是a上面某点、B是b上面某点，连接AB，使得a⊥AB，b⊥AB，则直线AB叫做异面直线a和b的公垂线，公垂线段AB的长度叫做异面直线a与b之间的距离。
高中数学同步讲义(人教A版必修二)立体几何中空间角的问题和点到平面距离问题(教师版)
A ．217B ．27C ．22121D ．421【答案】C【详解】由题意可知当平面ABC 平面ADC 时四面体因为ABC 为正三角形，AD CD ，2AD CD ，当平面ABC 平面ADC 时，取线段AC 中点E ，则点E 连接BE ，则易知BE 平面所以四面体B ACD 外接球球心在因为ABC 为正三角形，所以四面体B ACD 外接球球心即为【答案】217【详解】因为1,AB BC 1A A 平面ABC ，又1A 所以平面11ACC A 平面面11ACC A ，易得22A B AB AA则1OO 平面ABC ，而正ABC 因PA 平面ABC ，则三棱锥显然过线段PA 中点垂直于线段(1)证明：EF 平面PBC；(2)求点P到平面CEF的距离．【答案】(1)证明见解析(2)2217【详解】（1）∵平面PAC平面ABC，PC∵平面ABC，AB【答案】33/13【详解】设点C 到平面因为1AB BC ，所以DE BE DB 所以12S(1)求证：平面EMN∥平面PQH；(2)求点D到平面PQH的距离．【答案】(1)证明见解析(2)33）分别是DM，DE的中点，QHEMN，ME 平面EMN，PN，AF，AE的中点，PN，DM EF，）如图，取ME的中点O，连接易知四边形DEFM是边长为2平面ADM 平面DEFM，平面 平面DEFM，是AE的中点，1；(1)求证：AD SB因为平面SAD 平面ABCD ，平面所以BO 平面SAD .所以OSB 即为直线SB 与平面因为tan 1OSB 45OSB 又∵四边形ABCD 是菱形，SAD【典例2】（2021下·上海松江DC=b，60o，ADB.【答案】46 3【详解】ACD边长为4，则中线长为点B到平面ACD的距离为【变式2】（2022下·福建泉州边长为2，512FBA.将ABD 【答案】6【详解】ABD 绕AB 旋转一周得到的几何体是圆锥，交平面ECBF 于GH .D 的轨迹在平面的正下方点P 位置时，到平面中，π5ππ21212PHQ,HP πsin 12PQ HP 5π2tan 12 ππππsinsin sin cos题型【典例1】（2024上·辽宁沈阳1111ABCD A B C D 中，12AA AB A ．45B ．45【答案】A【详解】连接11,AC BC 因为11//,AB C D AB 所以11//AD BC ，所以异面直线又因为122AA AB【典例2】（2024·全国若D为PC的中点,EA．113570C．34【答案】A【详解】如图,取CO的中点则//DG PO,且12 DG PO易知PO 平面BOC,所以因为2π3BOC,OG OE【答案】10 5【详解】如图，取OA的中点则AD AEAP AB，则DE PB∥，可知因为60APB，即APB△不妨取4AB ，连接OC，则过点C作CF OB于点F，则连接CE，则 22CE过点D作DM AO，垂足为因为11//CC BB ，所以1BB O 在直角三角形1OBB 中，cos 故选：D【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体A ．55B ．EF 平面在线段1 的中点．（等腰三角形中三线合一）所成的角，102，【变式3】（2024上·上海徐汇形，且2AB ，14AA ，经过顶点者与平面11ABB A 交于2l ，则异面直线【答案】1010A ．100,10B ．210,14C ．30,243D ．60,246【答案】B【详解】设ABC ，ACB ，1AB ，3BC ，设直线AB 与CD 所成角为 ，cos AH HB CD AB CDAB CD AB CD又因为,AH CDcos AH HB CD AB CD HB CD AB CD AB CD AB CD，由此可知HB CD越大，直线AB 与CD 所成角的余弦值越大；(1)求证：1A M 平面ABN；的体积的最大值；(2)求三棱锥B MDN(3)点P在平面ABCD内运动（含边界），当【答案】(1)证明见解析(2)124依题意1A E ∥1BD ，则1EA P 为直线设,02AP t t ，则2111,3,A P t A E PE AE 所以2211111cos 2A E A P PE EA P A E A P222312231t t t A ．31010故选：A.【变式2】（多选）（2023上·安徽黄山12BC CD CC，111B C ，若的余弦值可能是（）A．316B．336【答案】ABC【详解】如图，分别取,,CB CD由三棱台的性质知11//B C 又,E H 为11,CC B G 的中点，所以又,A F 为,BD CD 的中点，所以//HE AF ，HE AF 所以四边形AFEH 为平行四边形，因为,E F 为1,CC CD 的中点，所以【典例2】（2023上·上海普陀·,AC BD 的中点，若异面直线AB 【答案】3或33【详解】取AD 中点为E ，连接因为,,M N E 分别是,AC DB 所以，//ME CD ，//NE AB【典例3】（2023下·广东广州2,AB BC E是AC的中点，【答案】83/223因为E是AC的中点，则令BD a，而,,AB BC BD在等腰BEF△中，BE显然AB 平面BCD，所以四面体的体积为【详解】中点H ，连接EH ，FH ，，F 分别为PA ，BC 的中点，HF ∥，HE PC ∥，HF 所以异面直线PC 与AB 所成角与直线60 时，根据余弦定理得，因为,E F 分别是,AB CD 的中点，所以111,22EG AD FG BC //,//,EG AD FG BC 故EGF 为直线AD 与BC(1)求证：BC 平面CDP；(2)若直线AD与BP所成的角大小为【答案】(1)证明见解析(2)32DP ．【答案】3/60 【详解】因为O ，D 分别是AB ，所以OD 平面1O OD ，AC 平面AC 平面1O AC ，平面1O AC 平面【典例2】（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）直线PC 与平面PAB 所成的角为在PC 上任取一点D 并作DO 过点O 作OE PA ，OF PB ∵DO 平面APB ，,PA PB 因为,,DO OE O DO OE 所以PA 面DOE ，PB 面又DE 面DOE ，DF 面DOF【答案】2【详解】因为PA 底面ABC 由90ACB ，所以BC 又因为PA AC A ∩，且PA 且AD 平面PBC ，则BC 因为AC PA ，可得AD 且BC PC C ，,BC PC 则AMD ∠即为AM 与平面由2AC BC PA ，可得AMD取11A B 的中点G ，连接C ∵111A B C △是等边三角形，∵111ABC A B C -是正三棱柱，∴1AA 平面111A B C ，又∵∴11AA C G ，又∵AA A B A ∩，AA 【答案】6525【详解】作111C E B D 于点E ，连接BE ，1BC ，1111ABCD A B C D 为长方体，所以平面BB 11B D ，平面11BB D D 平面1111A B C D 平面11BB D D ，BE 为直线1BC 与平面11BB D D 所成角，则CDH 为CD 与平面 所成角，同理又DH 平面CDH ，则CH 由题意可得CAH CBH 在Rt CDH △中，sin CDHA ．1,2B ．【答案】D【详解】连接EF 、BF ，设其交点为当O 点在线段GF 上（可在G 点，不可在有2222112B O B G GO x当O 点在线段BG 上（不在两端）时，则22221122B O B G GO因为三棱锥S ABC 外接球的表面积为对直三棱柱11SB C ABC ，其外接球球心在故在1Rt OO A 中，因为4,OA OO 则22224r ，解得23r ；在ABC 中，因为23BAC ，且过C 作1//CM AB ，交11D C 延长线于所以1CM AB ，故1AB MC 为平行四边形，则所以△1CMB 为等腰三角形，过M 综上，1M C B 绕1CB 旋转过程中，图（1）图（2）【变式2】（2023下·浙江绍兴·高二统考期末）已知正（位于平面 的同侧），且在平面 上的射影分别为【详解】B C 的中点为E ，连接,,DE AD AE DAE 即为直线AD 与平面 所成的角边长为2，则3AD ，设BB 22AA BB a b，2AB AB B【典例1】（2024·全国·高三专题练习）内（含边界）的动点，且AB则tan （）A．3B．13所以4PMA，因为2AP ，所以2AM ，所以点M 位于矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2则点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，则2AF ，因为1AB ，3AD ，所以6AFB FAE ，则弧EF 的长度263，所以tan 3 .故选：C.【典例2】（2023下·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）四棱台形，若28EF AB ，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为.因为四棱台ABCD EFGH上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，所以12O O 底面EFGH，又所以CGQ是四棱台ABCD因为28EF AB，所以EG【答案】192/1192【详解】如图，自C点引平面 的垂线，垂足为则,A B两点在以CO为高，以,CA CB为母线的圆锥的底面圆周上，【变式2】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）已知长方体6 BC ，若1AC 与平面11BCC B 所成的角的余弦值为A ．27π2B ．27π【答案】B【详解】连1BC ，因为AB 平面1BCC B 所以1116cos 3BC AC B ACÐ，所以1AC 设1CC x ，则222BC BC CC ，即BC【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知正方体动点，设直线AE 与平面A 【答案】π【详解】解：如图所示，连接AC 平面A 所以AEO ＝ .由25sin 5可得tan 2 在四面体1A A BD 中，BD 所以四面体1A A BD 为正三棱锥，如图所示：又因为2AOEO，A ．32B ．【答案】C【详解】如图所示：O 是BD AB AD ，则AO BD ；AO 平面ABCD ，1A O 平面故1AOA 是二面角1A BD 故选：CA．15B．14C．13【答案】A【详解】如图所示：E为AC中点，连接DE，BE 平面ACD∩平面ACB AC，且DE 平面ACD，故DEB为二面角B AC D的平面角，在ABE中，22AC ，DE在BDE△中，10 cos DEC故选：A因为三棱锥外接球的表面积为21πCM MN OM取AB的中点M，连接,,CM MN都与AB垂直，所以,所以NMG的平面角， 是二面角S AB C3CM MGMN 33,由4,AD BD AB AC 因此COD 是二面角C AB 在COD △中，2,OC OD 由余弦定理得cos COD 【答案】45 /4【详解】由于11//AB D C ，所以而四边形11ABB A 是正方形，所以连接BD 交AC 于O ，则AC 由于11AB B C ，O 是AC 的中点，所以【变式3】（2024上·安徽合肥为正三角形，M N､分别是PB 的余弦值为.【答案】6 6【详解】取MN和BC M∵，N分别是PB，//MN BC,PE MN由于PA PB PC且,, PC PB PA PA AC。
必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计算..
立体几何专题：空间角和距离的计算一线线角1．直三棱柱 A 1B 1C1-ABC ，∠ BCA=90 0，点 D1，F1分别是 A 1B1和 A 1C1的中点，若BC=CA=CC 1，求 BD 1与 AF 1所成角的余弦值。
B 1C1D1F1 A1B CA2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=90 0，AD ∥BC，AB=BC=a ，AD=2a ，且 PA⊥面 ABCD ，PD 与底面成 300角，（1）若 AE ⊥ PD，E 为垂足，求证： BE ⊥PD；（2）若 AE ⊥PD ，求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小；PEB CA D二．线面角1．正方体 ABCD-A 1B1C1 D1中， E， F 分别为 BB 1、 CD 的中点，且正方体的棱长为2，（ 1）求直线 D1F 和 AB 和所成的角；（ 2）求 D 1F 与平面 AED 所成的角。
D1C 1A1 B 1EFD CAB2．在三棱柱 A 1B1C1-ABC 中，四边形 AA 1B1B 是菱形，四边形 BCC 1B 1是矩形， C1B 1⊥ AB ，AB=4 ， C1B 1=3，∠ ABB 1=60 0，求 AC 1与平面 BCC 1B 1所成角B 1 的大小。
C 1A1B CA三．二面角1．已知 A1B 1C1-ABC 是正三棱柱， D 是 AC 中点，（ 1）证明 AB 1∥平面 DBC 1；（ 2）设 AB 1⊥BC 1，求以 BC 1为棱， DBC 1与 CBC 1为面的二面角的大小。
B 1C1A1B CDA2． ABCD 是直角梯形，∠ ABC=90 0， SA ⊥面 ABCD ， SA=AB=BC=1 ，AD=0.5 ，（ 1）求面SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小；（ 2）求 SC 与面 ABCD 所成的角。
SADB C3．已知 A 1B1 C1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠ A 1AC=60 0，∠ A 1AB=45 0，求二面角 B —AA 1— C 的大小。
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必修二高中数学立体几何专题——空间几何角和距离的计算..立体几何专题：空间角和距离的计算一线线角1．直三棱柱 A1B1C1-ABC ，∠BCA=90 0，点 D1，F1分别是A1B1和A 1C1的中点，若BC=CA=CC 1，求 BD 1与 AF 1所成角的余弦值。
B 1C1D1F1A1B CA2．在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，∠BAD=90 0，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且 PA⊥面 ABCD ，PD 与底面成 300角，（1）若AE ⊥ PD， E 为垂足，求证： BE ⊥PD；（2）若AE ⊥ PD，求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小；PEBCDA二．线面角1．正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，E，F 分别为 BB1、CD 的中点，且正方体的棱长为 2，（1）求直线 D1F2所成的角。
D1C 1A1B 1EFD CAB2．在三棱柱 A1B1C1-ABC 中，四B 1 C1A1B CA大小。
边形 AA 1B1B 是菱形，四边形BCC 1B1是矩形， C1B1⊥ AB ，AB=4 ， C1B1=3，∠ ABB 1=600，求 AC 1与平面 BCC 1B1所成角的三．二面角1．已知A1B1C1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点，（1）证明AB 1∥平面DBC 1；（2）设AB 1⊥ BC1，求以 BC 1为棱， DBC 1与 CBC 1为面的二面角的大小。
B 1C1A1B CDA2． ABCD是直角梯形，∠ABC=90 0，SA⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1 ，AD=0.5 ，（1）求面SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小；（2）求 SC 与面 ABCD 所成的角。
SADCB3．已知 A1B1C1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠ A1AC=60 0，∠ A1AB=45 0，求二面角 B—AA 1—C 的大小。
B1C1A1B CA四空间距离计算（点到点、异面直线间距离） 1.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A 1B1C1D1中，P 是 BC 的中点， DP 交 AC 于 M ，B1P 交 BC 1于 N，（1）求证： MN 上异面直线 AC 和 BC 1的公垂线；（2）求异面直线 AC 和 BC 1间的距离；D1C1A1B1ND CM AP B（点到线，点到面的距离）2．点P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA⊥面ABCD ，Q 为线段AP 的中点， AB=3 ，CB=4 ，PA=2，求（ 1）点 Q 到直线 BD 的距离；（2）点 P 到平面 BDQ 的距离；3．边长为 a 的菱形 ABCD 中，∠ABC=60 0，PC ⊥平面ABCD ，E 是PA 的中点，求 E 到平面PBC 的距离。
（线到面、面到面的距离） 4. 已知斜三棱柱A1B1C1-ABC 的侧面 A 1ACC 1与底面 ABC 垂直，∠ABC=90 0，BC=2 ，AC=2 3，且 AA 1⊥A1C，AA 1=A 1C，（1）求侧棱 AA 1与底面 ABC 所成角的大小；（2）求侧面 A11与底面 ABC 所成ABB二面角的大小；（3）求侧棱 B1B 和侧面 A1 ACC 1 距离；B 1C 1A 1B CA5．正方形 ABCD 和正方形 ABEF 的边长都是 1，且平面 ABCD 、ABFE 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM=NB=a（0 a 2 ），（1）求MN的长；（2）当a为何值时， MN 的长最小；立体几何中的向量问题空间角与距离基础自1. 已知两平面的法向量分别为m=（0， 1，0），n=（0， 1，1），则两平面所成的二面角为.答案45 °或 135 °2. 二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB. 已知 AB=4，AC=6，BD=8，CD=2 17 ，则该二面角的大小为.答案60°3.如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1 C1 D1中， O是底面 ABCD的中心， E、F 分别是 CC1、AD的中点，那么异面直线OE和 FD1所成角的余弦值等于.15答案54. 如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为 a 的正方体 ABCO— A′B′C′ D′， A′ C 的中点 E与 AB的中点 F 的距离为.答案 2 a25.（ 2008·福建理， 6）如图所示，在长方体ABCD— A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1 =1，则 BC1与平面 BB1D1D所成角的正弦值为.10答案5例 1（2008·海南理，18）如图所示，已知点P 在正方体 ABCD—A′B′ C′D′的对角线BD′上 , ∠ PDA=60°.(1)求 DP与 CC′所成角的大小 ;(2)求 DP与平面 AA′D′ D 所成角的大小 .解如图所示，以 D 为原点， DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz . 则 DA =（1， 0，0）， CC =(0,0,1).连接 BD, B′ D′.在平面 BB′ D′D中 ,延长 DP交 B′D′于 H.设 DH =( m, m,1) ( m＞ 0), 由已知〈 DH , DA 〉=60°,由DA·DH =| DA|| DH |cos 〈 DH , DA 〉,可得 2m= 22 1.m解得 m=2,所以 DH =（ 2 ,2,1）.2 2 22 21 10 02 ,(1) 因为 cos 〈 DH , CC 〉= 2 2 =1 2 2所以〈 DH , CC 〉 =45°,即 DP 与 CC′所成的角为45° .(2) 平面 AA′ D′ D 的一个法向量是DC =(0,1,0).2 21 00 11因为 cos〈 DH , DC 〉 =2 2 = ,1 2 2所以〈 DH , DC 〉=60°,可得 DP与平面 AA′D′ D 所成的角为30°.例 2在三棱锥S—ABC中，△ ABC是边长为4 的正三角形，平面SAC⊥平面 ABC，SA=SC=2 3 ，M、N 分别为 AB、 SB的中点，如图所示 .求点 B 到平面 CMN的距离 .解取 AC的中点 O，连接 OS、 OB.∵SA=SC， AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥ BO.∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC=AC，∴S O⊥平面 ABC，∴ SO⊥ BO.如图所示，建立空间直角坐标系O—xyz ，则 B（ 0，2 3 ， 0），C（-2 ， 0，0），S（ 0， 0，2 2 ），M（1， 3 ，0），N（0， 3 ， 2 ）.∴ CM =（ 3， 3 ，0）， MN =（-1 ， 0， 2 ）， MB =（-1 ， 3 ，0） .设 n=( x, y, z) 为平面 CMN的一个法向量，CM n 3x 3y 0则，取 z=1，则 x= 2 , y=- 6 , ∴n=（ 2 ， -6 ，1）.n MB∴点 B 到平面 CMN 的距离 d=4 2 .n 3例 3 （ 16 分）如图所示，四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA ⊥底面 ABCD ，PA=AB=1，AD=3 ，点F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动 .（ 1）点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由； （ 2）求证：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PE ⊥ AF ；（ 3）当 BE 为何值时， PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°.（1）解当点 E 为 BC 的中点时， EF 与平面 PAC 平行 .∵在△ PBC 中， E 、F 分别为 BC 、 PB 的中点，∴ EF ∥ PC.又 EF 平面 PAC ，而 PC 平面 PAC ，∴EF ∥平面 PAC.4 分（ 2）证明 以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系则P （ 0，0，1）， B （ 0，1， 0），F （0， 1 ， 1），D （ 3 ，0， 0）.2 2设 BE=x ，则 E （ x ， 1，0），PE · AF =（ x ，1， -1 ）·（0，1 ， 1）=0，22∴PE ⊥AF.10 分（3）解设平面 PDE 的法向量为 m=( p, q,1),由（ 2）知 PD =（ 3 ， 0，-1 ）， PE =（ x ， 1，-1 ）m PD1x ,1.12 分由，得 m=,1m PE 033而 AP =（0， 0，1），依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45°, ∴sin45 ° = 2= mAP，2 mAP∴1=1,14 分1221x 13 3得 BE=x= 3 - 2 或 BE=x=3 + 2 ＞ 3 （舍去） .故 BE= 3 - 2 时， PA 与平面 PDE 所成角为 45° .16 分1.如图所示， AF、DE分别是⊙ O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直， AD=8. BC是⊙ O 的直径，AB=AC=6，OE∥ AD.（1）求二面角 B- AD- F 的大小；（2）求直线 BD与 EF 所成的角的余弦值 .解（1）∵ AD与两圆所在的平面均垂直，∴A D⊥AB，AD⊥ AF，故∠ BAF是二面角 B—AD— F 的平面角 .依题意可知， ABFC是正方形，∴∠ BAF=45°.即二面角 B—AD— F 的大小为45° ;（2）以 O 为原点， CB、 AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则 O（ 0，0，0），A（ 0，-3 2 ，0）， B（ 3 2 ，0， 0）， D（0，-3 2 ，8），E（ 0，0， 8）， F（0，3 2 ，0），∴ BD =（-3 2 ，-3 2 ， 8）， EF =（0，3 2 ，-8）.cos 〈 BD , EF 〉 = BDEF = 0 18 64 =- 82 . BD EF 100 82 10设异面直线 BD与 EF 所成角为，则cos =|cos 〈 BD , EF 〉 |= 82 .10即直线 BD与 EF 所成的角的余弦值为82 .102. 已知：正四棱柱 ABCD—A1B1 C1 D1中，底面边长为 2 2 ，侧棱长为4，E、 F 分别为棱 AB、 BC的中点 . （1）求证：平面 B1 EF⊥平面 BDD1B1；（2）求点 D1到平面 B1EF 的距离 .（1）证明建立如图所示的空间直角坐标系，则D（ 0，0，0），B（2 2 ，2 2 ，0），E（2 2 ， 2 ，0），F（ 2 ，2 2 ， 0）， D1（ 0， 0，4），B1（2 2 ，2 2 ，4）.EF =（- 2 ， 2 ， 0）， DB =（2 2 ，2 2 ，0）， DD1 =（0，0，4），∴EF · BD =0， EF · DD1 =0.∴E F⊥DB，EF⊥ DD1，DD1∩ BD=D，∴E F⊥平面 BDD1B1.又 EF 平面 B1 EF，∴平面 B1EF⊥平面 BDD1B1.（2）解由（ 1）知D B =（2 2 ，2 2 ，0），1 1EF =（- 2 ， 2 ，0）， B E =（0，-2 ，-4 ）.1设平面 B1 EF 的法向量为 n, 且 n=( x, y, z) 则 n⊥ EF , n⊥ B1 E即 n · EF =（x ，y ， z ）·（ - 2 ， 2 ， 0） =- 2 x+ 2 y=0，n · B 1E =（ x ， y ，z ）·（0， - 2 ，-4 ）=- 2 y -4 z=0，令 x=1, 则 y=1, z=-2 , ∴ n=(1,1,- 2 )44∴D 1 到平面 B 1EF 的距离d=D 1 B 1 n2 22 2= 16 17.=n2 21712 1243. 如图所示，在四棱锥 P — ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，侧棱 PA ⊥底面 ABCD ， AB= 3 ， BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点 .（ 1）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；（ 2）在侧面 PAB 内找一点 N ，使 NE ⊥平面 PAC ，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 . 解 方法一（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A 、 B 、C 、D 、 P 、 E 的坐标为 A （0，0， 0）， B （3 ， 0，0）、C （ 3 ，1， 0）、 D （0，1， 0）、 P （ 0，0，2）、 E(0， 1，1) ，2从而 AC =（ 3 ，1，0）， PB =（ 3 ，0，-2 ）. 设 AC 与 PB 的夹角为 ， 则 cos=ACPB =3 =37，AC PB2 714∴ A C 与 PB 所成角的余弦值为3 7.14（2）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设N 点坐标为（ x,0, z ）, 则 NE =（- x ， 1，1- z ），由 NE ⊥平面 PAC 可2得x, 1 ,1 z (0,0,2) 0NE AP，即2, NE AC 0x, 1,1 z ( 3 ,1,0) 02z 1 0, ∴ x3化简得163 x21z即 N 点的坐标为（3，0， 1），从而 N 点到 AB 、 AP 的距离分别为1， 3.66方法二 （1）设 AC ∩ BD=O ，连接 OE ，AE ，BD ，则 OE ∥ PB ，11∴∠ EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角 .在△ AOE 中， AO=1， OE= 1PB=7，AE= 1PD= 5 ，2222∴由余弦定理得1 7 5 3 74 4cos ∠ EOA=,714212即 AC 与 PB 所成角的余弦值为3 7.14(2) 在平面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F, 则∠ ADF= . 连接 PF, 则在 Rt △ADF 中 ,6 DF= AD=2 3,cos ADF3AF=AD ·tan ∠ADF=3.3设 N 为 PF 的中点，连接 NE ，则 NE ∥ DF.∵ D F ⊥AC ，DF ⊥ PA ，∴ D F ⊥平面 PAC ，从而 NE ⊥平面 PAC.∴ N 点到 AB 的距离为 1AP=1，2N 点到 AP 的距离为 1AF= 3 .26一、填空题1. 在正方体 ABCD — A 1B 1C 1 D 1 中 , M 是 AB 的中点 , 则 sin 〈 DB 1 , CM 〉的值等于.答案210152. 正方体 ABCD — A B C D 的棱长为 1，O 是 A C 的中点，则点 O 到平面 ABCD 的距离为.11 1 1111 1答案243. （ 2008·全国Ⅰ理， 11）已知三棱柱 ABC — A 1B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等， A 1 在底面 ABC 内的射影为△ ABC 的中心，则 AB 1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于 .答案234. P 是二面角 —AB —棱上的一点，分别在 、 平面上引射线 PM 、PN ，如果∠ BPM=∠BPN=45°，∠ MPN=60°，那么二面角 — AB — 的大小为 .答案 90°5. 正方体 ABCD — A 1B 1 C 1 D 1 的棱长为 1，E 、 F 分别为 BB 1、 CD 的中点，则点 F 到平面 A 1D 1E 的距离为 .12答案3 5106. 如图所示，在三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， AA ⊥底面 ABC ， AB=BC=AA ，∠ ABC=90°， 11点 E 、 F 分别是棱 AB 、 BB 的中点，则直线 EF 和 BC 所成的角是.11答案60°7. 如图所示，已知正三棱柱 ABC —A 1B 1 C 的所有棱长都相等， D 是 A C 的中点，则直线 AD111与平面 B 1DC 所成角的正弦值为 .答案458. 正四棱锥 S —ABCD 中 , O 为顶点在底面上的射影 , P 为侧棱 SD 的中点 , 且 SO=OD, 则直线 BC 与平面PAC 所成的角是 .答案 30° 二、解答题9. 如图所示，在几何体 ABCDE 中，△ ABC 是等腰直角三角形，∠ ABC=90°， BE 和 CD 都垂直于平面 ABC ，且 BE=AB=2，CD=1，点 F 是 AE 的中点 . 求 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值 .解 以点 B 为原点， BA 、BC 、BE 所在的直线分别为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （ 0，0， 0）， A （2，0， 0），C （0， 2， 0），D （ 0， 2，1），E （ 0，0，2），F （ 1，0， 1）.∴ BD =（0， 2，1）， DF =（1， -2 ， 0） . 设平面 BDF 的一个法向量为n=（ 2，a ，b ），∵ n ⊥ DF ，n ⊥ BD ，∴n DF 0nBD 0即 (2, a, b) (1, 2,0) 0(2, a, b) ( 0,2,1) 0解得 a=1， b=-2. ∴ n=（ 2，1，-2 ） .设 AB 与平面 BDF 所成的角为，则法向量 n 与 BA 的夹角为- ，2∴cos （- ） = BA n= 2,0,0 2,1, 2 = 2 ,2BA n2 33即 sin=2 , 故 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为 2 .3310. 在五棱锥 P — ABCDE 中， PA=AB=AE=2a ， PB=PE=2 2 a ， BC=DE=a ，∠ EAB=∠ABC=∠ D EA=90° .（ 1）求证： PA ⊥平面 ABCDE ；（ 2）求二面角 A —PD — E 的余弦值 .（1）证明 以 A 点为坐标原点，以 AB 、AE 、AP 所在直线分别为 x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A — xyz ，则由已知得A （ 0，0， 0）， P （0，0， 2a ），B （ 2a ，0，0），C （ 2a ，a ，0），D （ a ，2a ，0），E （ 0，2a ，0） .∴ AP =（0， 0，2a ）， AB =（2a ， 0， 0）， AE =（0， 2a ， 0）， ∴ AP · AB =0· 2a+0· 0+2a ·0=0，∴ AP ⊥ AB.同理 AP ⊥ AE.又∵ AB ∩ AE=A ，∴ PA ⊥平面 ABCDE.（2）解设平面 PAD 的法向量为 m=(1, y, z),则 m · AD =0，得 a+2ay=0，∴ y=- 1.2又 m · AP =0，得 2az=0，∴ z=0.∴ m =（1， - 1， 0）.2再设平面 PDE 的法向量为 n=( x,1, z),而 ED =（a ， 0，0）， PD =（a ，2a ，-2a ），则 n · ED =0，得 ax=0，∴ x=0. 又 n · PD =0，得 ax+2a-2 az=0，∴ z=1. ∴ n =（0， 1， 1）.令二面角 A —PD — E 的平面角为，m n 1 102 = ， 则 cos =-=mn5 2104故二面角 A —PD — E 的余弦值是10.1011. 如图所示，在三棱锥 P — ABC 中， AB ⊥ BC ，AB=BC=kPA ，点 O 、D 分别是 AC 、 PC 的中点，OP ⊥底面 ABC.（1）若 k=1，试求异面直线 PA 与 BD 所成角余弦值的大小；（2）当 k 取何值时，二面角O — PC — B 的大小为 ？3解 ∵OP ⊥平面 ABC ，又 OA=OC ，AB=BC ，从而 OA ⊥OB ，OB ⊥OP ， OA ⊥ OP ，以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系O — xyz .（ 1）设 AB=a ，则 PA=a ， PO= 2a ，2A （2a ，0， 0）， B （0，2a ， 0），22C （ -2a ，0，0）， P （ 0，0， 2a ），22则 D （-2a ， 0，2a ） .4 4∵PA=(2a ， 0， -2a ) ， BD =(-2a ，-2a ，2a) ，224241 a2 1a 2∴cos 〈 PA , BD 〉 = PA BD = 44 =-3 ,PA BD 3 232 a则异面直线 PA 与 BD 所成角的余弦值的大小为3 .3（ 2）设 AB=a ，OP=h ，∵ OB ⊥平面 POC ，∴ OB =(0，2a ，0) 为平面 POC 的一个法向量 .2不妨设平面 PBC 的一个法向量为 n=（ x ，y ， z ）， ∵A(2 a ，0，0) ， B(0 ， 2 a ， 0) ，C(- 2a ， 0，0) ，P(0 ，0， h) ，2 22 ∴ BC =(- 2 a,-2 a,0), PC =(-2 a,0,- h),2 2 2n BC 0x y由2ax h zn PC 02不妨令 x=1，则 y=-1 ，z=-2a ，2h即 n=(1,-1,-2 a), 则 cos OB n=2h 3OBn2 a =12+ a2h= 1a, =2 =42 a 2a 222h 2222h 2∴PA= AO 2PO 2 =1 1 2=3 a,aa224而 AB=kPA, ∴ k=23 3 .故当 k=2 3时, 二面角 O —PC — B 的大小为.3312.(2008 ·湛江模拟 ) 如图所示，已知长方体 ABCD —A 1 B 1 C 1D 1 中， AB=BC=2，AA 1 =4，E 是棱 CC 上的点，且 BE ⊥B C.11（ 1）求 CE 的长；（ 2）求证： A 1C ⊥平面 BED ；（ 3）求 A 1 B 与平面 BDE 所成角的正弦值 .（ 1）解 如图所示，以 D 为原点， DA 、DC 、 DD 1所在直线分别为 x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系 D —xyz .∴D （0， 0，0），A （ 2，0，0），B （ 2，2， 0）， C （ 0，2， 0）， A 1（2， 0，4），B 1（2， 2， 4），C 1（ 0，2， 4），D 1（ 0， 0，4） .设 E 点坐标为（ 0， 2，t ），则 BE =（-2 ，0， t ）， B 1C =（ -2 ， 0，-4 ）.∵B E⊥B1C，∴BE · B1C =4+0-4 t =0. ∴ t =1，故 CE=1.（2）证明由（1）得，E（0，2，1），BE =（-2，0，1），又 A1C =（ -2 ， 2，-4 ）， DB =（ 2，2，0），∴ A1C · BE =4+0-4=0 ，且 A1C · DB =-4+4+0=0.∴A1C ⊥ DB 且 A1C ⊥ BE ，即 A1C⊥ DB， A1C⊥BE，又∵ DB∩ BE=B，∴ A1 C⊥平面 BDE.即 A1 C⊥平面 BED.（3）解由（2）知A1C =（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又A1B =（0，2，-4）,∴cos 〈 A C , A B 〉= A1C A1B= 30 .1 16A1C A1 B∴A1B 与平面 BDE所成角的正弦值为30 .6。