上海静安区教育学院附属学校数学轴对称填空选择同步单元检测(Word版 含答案)

上海静安区教育学院附属学校数学轴对称填空选择同步单元检测
（Word版含答案）
一、八年级数学全等三角形填空题（难）
1．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点O是AC的中点，点D在射线BO上，连结OE，EC，则∠ACE＝_____°；若AB＝1，则OE的最小值＝_____．
【答案】301 4
【解析】【分析】
根据等边三角形的性质可得OC＝1
2
AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可
得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.
【详解】
解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，
∴OC＝1
2
AC，∠ABD＝30°
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ACE＝30°＝∠ABD
当OE⊥EC时，OE的长度最小，
∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°
∴OE最小值＝1
2
OC＝
1
4
AB＝
1
4
故答案为：30，1 4
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.
2．如图，在等腰三角形ABC 中，90ABC ∠=，D 为AD 边上中点，多D 点作DE DF ⊥，交AB 于E ，交BC 于F ，若3AE =，2CF =，则ABC ∆的面积为______．
【答案】
252
【解析】
【分析】 利用等腰直角三角形斜边中点D 证明AD=BD ，∠DBC=∠A=45︒，再利用DE DF ⊥证得∠ADE=∠BDF ，由此证明△ADE ≌△BDF ，得到BC 的长度，即可求出三角形的面积.
【详解】
∵90ABC ∠=︒，AB=BC,
∴∠A=45︒，
∵D 为AC 边上中点，
∴AD=CD=BD ，∠DBC=∠A=45︒，∠ADB=90︒，
∵DE DF ⊥,
∴∠EDB+∠BDF=∠EDB+∠ADE=90︒，
∴∠ADE=∠BDF,
∴△ADE ≌△BDF,
∴BF==AE=3，
∵CF=2，
∴AB=BC=BF+CF=5，
∴ABC ∆的面积为
212BC ⋅=252, 故答案为：
252
. 【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质.
3．如图，52A ∠=︒，O 是ABC ∠、ACB ∠的角平分线交点，P 是ABC ∠、ACB ∠外角平分线交点，则BOC ∠=______︒，BPC ∠=_____︒，联结AP ，则
PAB ∠=______︒，点O ____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线AP 上．
【答案】116 64 26 在【解析】
【分析】
∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠OBC+∠OCB= 1
2
（∠ABC+∠ACB）, ∠BOC=180°-
（∠OBC+∠OCB），据此可求∠BOC的度数；
∠BCP= 1
2
∠BCE=
1
2
（∠A+∠ABC），∠PBC=
1
2
∠CBF=
1
2
（∠A+∠ACB），由三角形内角
和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，据此可求∠BPC的度数；
作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，利用角平分线的性质定理可证明PG=PH，于是可证得AP平分∠BAC，据此可求∠PAB的度数；
同理可证OA平分∠BAC，故点O在直线AP上．
【详解】
解：∵O点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB= 1
2
（∠ABC+∠ACB）
= 1
2
（180°-∠A）
=90°- 1
2
∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-90°+ 1
2
∠A
=90°+ 1
2
∠A
=90°+26°=116°；如图，
∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，
∴∠BCP= 1
2
∠BCE=
1
2
（∠A+∠ABC），
∠PBC= 1
2
∠CBF=
1
2
（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得：∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC
=180°- 1
2
[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]
=180°- 1
2
（∠A+180°）
=90°- 1
2
∠A
=90°-26°
=64°．
如图，作PG⊥AB于G，PH⊥AC于H，PK⊥BC于K，连接AP，
∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，PG⊥AB，PH⊥AC，PK⊥BC，
∴PG=PK，PK=PH，
∴PG=PH，
∴AP平分∠BAC，
∴PAB
∠=26°
同理可证OA平分∠BAC，
点O在直线AP上．
故答案是：(1) 116 ；(2) 64；(3) 26；(4) 在.
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质定理和判定定理及三角形内角和定理，熟知定理并正确作
出辅助线是解题关键．
4．如图，点D、E、F、B在同一直线上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=__．
【答案】6
【解析】
【分析】
由于AB//CD、AE/CF，根据平行线的性质可以得到∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，然后利用已知条件就可以证明△AEF≌△CFD，最后利用全等三角形的性质和已知条件即可求解.【详解】
解：∵AB//CD、AE/CF，
∴∠B=∠D，∠AEF=∠CFD，而AE=CF，
∴△AEF≌△CFD，
∴DF=EB，
∴DE=BF，
∴EF=BD-2BF=6.
故答案为：6.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题时首先利用平行线的性质构造全等条件证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质即可解决问题.
5．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是_________；
【答案】17
【解析】
【分析】
首先作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,再证明△ABD≌△BCE，因此可得BE=AD=3，再结合勾股定理可得AC的长.
【详解】
作AD⊥l3于D,作CE⊥l3于E,
∵∠ABC=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,
又∠DAB+∠ABD=90°,
∴∠BAD=∠CBE,
又AB=BC,∠ADB=∠BEC.
∴△ABD≌△BCE,∴BE=AD=3,
在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BC=34,
在Rt△ABC中,根据勾股定理,
得AC=22342217
+=⨯=
AB CB
故答案为217
【点睛】
本题主要考查直角三角形的综合问题，关键在于证明三角形的全等，这类题目是固定的解法，一定要熟练掌握.
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°．E为AB中点，D为AC上一点，BF∥AC交DE的延长线于点F．AC=6，BC=5．则四边形FBCD周长的最小值是______．
【答案】16
【解析】
⊥时，四边形FBCD周长最小为5+6+5=16
四边形FBCD周长=BC+AC+DF；当DF BC
7．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC 的长度是___________.
【答案】2
【解析】
【分析】
过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造得出BE=AF
利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积
为1进行计算即可.
【详解】
过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,
∴∠BEA=∠AFD=90°
∴∠2+∠3=90°
∵∠BAD=90°
∴∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3
∵AB=AD
∴
∴BE=AF
∵AD=CD，DF⊥AC
∴AF=
∴BE=AF=
∴
∴AC=2
故答案为：2
【点睛】
本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.
8．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【详解】
当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE＝1
2
PC＝
1
2
×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边
的一半），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
9．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．
【答案】40°
【解析】
【分析】
做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设
∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.
【详解】
如图，
过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABD
∴EH=EF
∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°
∴∠FAE=∠CAD=50°
∴EF=EG
∴EG=EH
∴ED平分∠CDG
∴∠HED=∠DEG
设∠DEG=y，∠GEB=x，
∵∠EFA=∠EGA=90°
∴∠GEA=∠FEA=40°
∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF
∴∠FEB=∠HEB
∴2y+x=80-x,
2y+2x=80
y+x=40
即∠DEB＝40°.
故答案为：40°.
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.
10．如图所示，在平行四边形ABCD 中，2AD AB =，F 是AD 的中点，作CE AB ⊥，垂足E 在线段上，连接EF 、CF ，则下列结论
2BCD DCE ①∠=∠；EF CF =②；3DFE AEF ③∠=∠，2BEC CEF S
S =④中一定
成立的是______ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)
【答案】②③
【解析】
分析：由在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，易得AF=FD=CD ，继而证得①∠DCF=12
∠BCD ；然后延长EF ，交CD 延长线于M ，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF ≌△DMF （ASA ），得出对应线段之间关系，进而得出答案．
详解：①∵F 是AD 的中点，
∴AF=FD ，
∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，
∴AF=FD=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠FCB ，
∴∠DCF=∠BCF ，
∴∠DCF=12
∠BCD ， 即∠BCD=2∠DCF ；故此选项错误；
②延长EF ，交CD 延长线于M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，
∴∠A=∠MDF ，
∵F 为AD 中点，
∴AF=FD ，
在△AEF 和△DFM 中，
A FDM AF DF
AFE DFM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ， ∴△AEF ≌△DMF （ASA ），
∴FE=MF ，∠AEF=∠M ，
∵CE ⊥AB ，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF ，
∴FC=FM ，故②正确；
③设∠FEC=x ，则∠FCE=x ，
∴∠DCF=∠DFC=90°-x ，
∴∠EFC=180°-2x ，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x ，
∵∠AEF=90°-x ，
∴∠DFE=3∠AEF ，故此选项正确．
④∵EF=FM ，
∴S △EFC =S △CFM ，
∵MC ＞BE ，
∴S △BEC ＜2S △EFC
故S △BEC =2S △CEF 错误；
综上可知：一定成立的是②③，
故答案为②③．
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF ≌△DME 是解题关键．
二、八年级数学全等三角形选择题（难）
11．如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，△ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF ⊥AD 交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA ；③PH=PD ；④连接CP ，CP 平分∠ACB ，其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
【答案】D
【解析】
分析：根据三角形内角和定理以及角平分线定义判断①；根据全等三角形的判定和性质判断②③；根据角平分线的判定与性质判断④．
详解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE=（∠BAC+∠ABC）=45°，
∴∠APB=135°，故①正确．
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH=∠FPD=90°，∠PAH=∠BAP=∠BFP，PA=PF，
∴△APH≌△FPD，
∴PH=PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选D．
点睛：本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理．掌握相关性质是解题的关键．
12．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；
④QP∥AB．其中一定正确的是( )
A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C
【解析】
试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，
即AP平分∠BAC，故①正确；
∴∠PAR=∠PAQ，
∵AQ=PQ，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴∠APQ=∠PAR，
QP AB
∴，故④正确；
在△APR与△APS中,
AP AP PR PS
=
⎧
⎨
=
⎩，
(HL)
APR APS
∴≌，∴AR=AS，故②正确；
△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.
故选C.
13．已知OD平分∠MON，点A、B、C分别在OM、OD、ON上(点A、B、C都不与点O重合)，且AB=BC, 则∠OAB与∠BCO的数量关系为（）
A．∠OAB+∠BCO=180°B．∠OAB=∠BCO
C．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCO D．无法确定
【答案】C
【解析】
根据题意画图，可知当C处在C1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO；当点C处在C2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.
故选C.
14．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结
论:①45ADC ∠=︒;②12
BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】
试题解析：如图，
过E 作EQ ⊥AB 于Q ，
∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，
∴CE=EQ ，
∵∠ACB=90°，AC=BC ，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∵EQ ⊥AB ，
∴∠EQA=∠EQB=90°，
由勾股定理得：AC=AQ ，
∴∠QEB=45°=∠CBA ，
∴EQ=BQ ，
∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，
∴③正确；
作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，
∵∠CAD=
12
∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ，
∴∠DBC=∠CAD ，
在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BC
ACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，
∴CN=CD ，AN=BD ，
∵∠ACN+∠NCE=90°，
∴∠NCB+∠BCD=90°，
∴∠CND=∠CDA=45°，
∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ，
∴AN=CN ，
∴∠NCE=∠AEC=67.5°，
∴CN=NE ，
∴CD=AN=EN=
12AE ， ∵AN=BD ，
∴BD=12
AE ， ∴①正确，②正确；
过D 作DH ⊥AB 于H ，
∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，
∠DBA=90°-∠DAB=67.5°，
∴∠FCD=∠DBA ，
∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ，
∴DF=DH ，
在△DCF 和△DBH 中
90 F DHB
FCD DBA
DF DH
∠∠︒
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝＝
＝
＝
，
∴△DCF≌△DBH，
∴BH=CF，
由勾股定理得：AF=AH，
∴
2
,2 AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF
+++++++
====，
∴AC+AB=2AF，
AC+AB=2AC+2CF，
AB-AC=2CF，
∵AC=CB，
∴AB-CB=2CF，
∴④正确．
故选D
15．如图，点P、Q分别是边长为6cm的等边ABC
△边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论：
①BQ AM
=②ABQ
△≌CAP
△③CMQ
∠的度数不变，始终等于60︒④当第2秒或第4秒时，PBQ
△为直角三角形，正确的有（）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
∵点P、Q速度相同，
∴AP BQ
=．
在ACP
△和ABQ
△中，
60
AP BQ
CAP ABQ
AC BA
=
⎧
⎪
∠==︒
⎨
⎪=
⎩
，
∴ACP △≌BAQ △，故②正确．
则AQC CPB ∠=∠．
即B BAQ BAQ AMP ∠+∠=∠+∠．
∴60AMP B ∠=∠=︒．
则60CMQ AMP ∠=∠=︒，故③正确．
∵APM ∠不一定等于60︒．
∴AP AM ≠．
∴BQ AM ≠．故①错误．
设时间为t ，则AP=BQ=t ，PB=4-t
①当∠PQB =90°时，
∵∠B =60°，
∴PB =2BQ ，得6-t =2t ，t =2 ；
②当∠BPQ =90°时，
∵∠B =60°，
∴BQ =2BP ，得t =2（6-t ），t =4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ 为直角三角形．
∴④正确.
故选C.
点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．
16．在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt △AB C ≌Rt △A′B′C′的是( )
A ．A
B ＝A′B′＝5，B
C ＝B′C′＝3
B ．AB ＝B′C′＝5，∠A ＝∠B′＝40°
C ．AC ＝A′C′＝5，BC ＝B′C′＝3
D ．AC ＝A′C′＝5，∠A ＝∠A′＝40°
【答案】B
【解析】
∵在Rt △ABC 和Rt △A′B′C ′中，∠C=∠C′=90°
A 选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，
符合直角三角形全等的判定条件HL ，
∴A 选项能使Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′；
B 选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，
不符合符合直角三角形全等的判定条件，
∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；
∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，
∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；
故选：B．
点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．
17．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明
△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.
【详解】
∵∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
又∵AC=BC，CE=CD，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，
∴∠BAE=120°，
∴∠EAD=60°，②正确，
∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，
∴∠ACD=∠ADC=30°，
∴AC=AD，
∵CE=DE，
∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，
当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，
∵∠AEC=∠BDC，
∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，
∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED
∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，
如图，当点D在AB上时，
∵△BCD≌△∠ACE，
∴∠CAE=∠CBD=60°，
∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，
∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误
故正确的结论有①②④，
故选C.
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握
18．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是( )①；②；③；④若，且，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.
【详解】 解：∵与都是等边三角形
∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC
即∠DAC=∠EAB
∴
∴
，①正确； ∵
∴∠ADO=∠ABO
∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确
∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB ∴∠BDA -∠ADC≠∠CEA -∠AEB
∴
,③错误 ∵
∴∠DAC+∠BCA=180° ∵∠DAB=60°，
∴∠BCA=180°-∠DAB -∠BAC=30°
∵∠ACE=60°
∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°
∴
④正确 故由①②④三个正确， 故选：C
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
19．在ABC 中，2,72A B ACB ∠=∠∠≠︒，CD 平分ACB ∠，P 为AB 的中点，则下列各式中正确的是（ ）
A ．AD BC CD =-
B ．AD B
C AC =- C ．A
D BC AP =-
D ．AD BC BD =-
【答案】B
【解析】
【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系．
【详解】
解：∵∠A=2∠B ， ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC
∴可在BC 上截取CE=CA ，连接DE(如图)，
∵CD 平分ACB ∠，∴∠ACD=∠BCD
又∵CD=CD，CE=CA
∴△ACD ≌△ECD ，
∴AD=ED ，∠CED=∠A=2∠B
又 ∠CED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴AD=DE=BE ，
∴BC=BE+EC=AD+AC
所以AD=BC-AC
故选：B
若A 选项成立，则CD=AC ，
∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB
∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°
即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°
∴∠A=72°， ∠B=36°
∴∠ACB=72°与已知∠ACB ≠72°矛盾，故选项A 不正确;
假设C 选项成立，则有AP=AC ，作∠BAC 的平分线，连接FP ，
∴△CAF ≌△PAF ≌△PBF ，
∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°
∠B=30°，∠ACB=90°
当∠ACB=90°时，选项C才成立，
∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；
假设D选项成立，则AD=BC-BD
由图可知AD=BA-BD
∴AB=BC
∴∠A=∠ACB=2∠B
∴∠A+∠ACB+∠B=180°
∴∠B=36°，∠ACB=72
这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．
故选：B
【点睛】
本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．
,,
20．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．
【详解】
解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
所以t=1，
因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16-2t=2，
解得t=7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．
21．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到：②点O 与O '的距离为4；③150AOB ∠=︒；④S 四边形643AOBO ；⑤9634
AOC AOB S S +=+△△．其中正确的结论是（ ）
A ．①②③④
B ．①②③⑤
C ．①②④⑤
D ．①②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】 证明△BO ′A ≌△BOC ，又∠OBO ′＝60°，所以△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
由△OBO ′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO ′是直角三角形；进而求得∠AOB ＝150°，故结论③正确；
643AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=+四边形④正确；
如图②，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S △AOC +S △AOB 转化为S △COO ″+S △AOO ″，计算可得结论⑤正确．
【详解】
解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，
又∵OB ＝O ′B ，AB ＝BC ，
∴△BO ′A ≌△BOC ，又∵∠OBO ′＝60°，
∴△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO ′，
∵OB ＝O ′B ，且∠OBO ′＝60°，
∴△OBO ′是等边三角形，
∴OO ′＝OB ＝4．
故结论②正确；
∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．
在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，
∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，
故结论③正确；
2313446432AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论④正确；
如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．
易知△AOO ″是边长为3的等边三角形，△COO ″是边长为3、4、5的直角三角形，
则23193436324
AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S ∆∆∆''∆''''+==+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．
22．下列两个三角形中,一定全等的是( )
A ．两个等边三角形
B ．有一个角是40︒,腰相等的两个等腰三角形
C ．有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形
D ．有一个角是100︒,底相等的两个等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案．
【详解】
解：A 、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；
B 、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；
C 、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选
项错误；
D、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等，所以由全等三角形的判定定理ASA或AAS证得它们全等，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．
23．如图（1），已知AB AC
=，D为BAC
∠的角平分线上一点，连接BD，CD；如图（2），已知AB AC
=，D，E为BAC
∠的角平分线上两点，连接BD，CD，BE，CE；如图（3），已知AB AC
=，D，E，F为BAC
∠的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（）
A．21 B．11 C．6 D．42
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，
△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB AC
BAD CAD
AD AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等，3=1+2；
同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；
∴第6个图形中有全等三角形的对数是1+2+3+4+5+6=21.
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．
【详解】
∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中，
45
APE CPF
AP PC
EAP C
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠︒
⎩
＝
＝
＝＝
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，故①②正确；
∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，
∴△EFP是等腰直角三角形，故③错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=
1
2
S△ABC．故④正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．
25．如图，在△ABC中，AB=BC，90
ABC
∠=︒，点D 是BC的中点，BF⊥AD，垂足为E，BF交AC于点F，连接DF.下列结论正确的是（）
A．∠1=∠3 B．∠2=∠3 C．∠3=∠4 D．∠4=∠5
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则CG BC
⊥，先根据直角三角形两锐角互余可得BAD CBG
∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质推出1G
∠=∠，又根据三角形全等的判定定理与性质推出3G
∠=∠，由此即可得出答案．
【详解】
如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则CG BC
⊥，即90
BCG
∠=︒,90
AB BC ABC
=∠=︒
45
BAC ACB
∠
∴∠==︒
904545
GCF BCG ACB
∴∠=∠-∠=︒-︒=︒
BF AD
⊥
1190
BAD CBG
∴∠+∠=∠+∠=︒
BAD CBG
∴∠=∠
在BAD
∆和CBG
∆中，
90
BAD CBG
AB BC
ABD BCG
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠=︒
⎩
()
BAD CBG ASA
∴∆≅∆
,1
BD CG G
∴=∠=∠
点D是BC的中点
CD BD CG
∴==
在CDF
∆和CGF
∆中，45
CD CG
DCF GCF
CF CF
=
⎧
⎪
∠=∠=︒
⎨
⎪=
⎩
()
CDF CGF SAS
∴∆≅∆
3G
∴∠=∠
13
∠∠
∴=
故选：A．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键．
26．如图，AOB
∆的外角,
CAB DBA
∠∠的平分线,
AP BP相交于点P，PE OC
⊥于E，PF OD
⊥于F，下列结论：（1）PE PF
=；（2）点P在COD
∠的平分线上；（3）90
APB O
∠=︒-∠，其中正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】
【分析】
过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到PE PG PF
==，可判断（1）（2）正确；由
1
2
APB EPF
∠=∠，180
EPF O
∠+∠=︒，得到
1
90
2
APB O
∠=︒-∠，可判断（3）错误；即可得到答案．
【详解】
解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：
∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE OC ⊥，PF OD ⊥，PG ⊥AB ，
∴PE PG PF ==；故（1）正确；
∴点P 在COD ∠的平分线上；故（2）正确；
∵12
APB APG BPG EPF ∠=∠+∠=
∠， 又180EPF O ∠+∠=︒， ∴11(180)9022
APB O O ∠=
⨯︒-∠=︒-∠；故（3）错误； ∴正确的选项有2个；
故选：C ．
【点睛】 本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．
27．如图所示，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD ，有下列四个结论：①∠PBC ＝15°，②AD ∥BC ，③PC ⊥AB ，④四边形ABCD 是轴对称图形，其中正确的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据周角的定义先求出∠BPC 的度数，再根据对称性得到△BPC 为等腰三角形，∠PBC 即可求出；根据题意：有△APD 是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．
【详解】
根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ， BP PC =，
()
PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；
根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，④正确；
∵∠DAB+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD//BC，②正确；
∵∠ABC+∠BCP=60°+15°+15°=90°，
∴PC⊥AB，③正确，
所以四个命题都正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.
28．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．
A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．
【详解】
解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP=2t=2，
所以t=1，
因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP=16-2t=2，
解得t=7．
所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．
故选C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．
29．程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
其中所有正确结论的序号是( )
A ．②③
B ．③④
C ．②③④
D ．①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
分别在以上四种情况下以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，观察弧与直线AM 的交点即为Q 点，作出PAQ ∆后可得答案．
【详解】
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，所以PAQ ∆不唯一，所以①错误．
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以②正确．
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有
两个交点，作出PAQ ∆，发现两个位置的Q 都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以PAQ ∆唯一，所以③正确．
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P 为圆心，PQ 的长度为半径画弧，弧与直线AM 有两个交点，作出PAQ ∆，发现左边位置的Q 不符合题意，所以PAQ ∆唯一，所以④正确．
综上：②③④正确．
故选C ．
【点睛】
本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q 是关键．
30．如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC ，以 AB 为底边作等腰 Rt △ABE ，连接 ED ， EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE ≌△BCE ；②CE ⊥DE ；③BD=AF ；
④S △BDE =S △ACE ，其中正确的有（ ）
A ．①③
B ．①②④
C ．①②③④
D ．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】 ①易证∠CBE=∠DAE ，即可求证：△ADE ≌△BCE ；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．
【详解】
∵AD 为△ABC 的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE ，
在△DAE 和△CBE 中，
AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；
故①正确；
②∵△ADE ≌△BCE ，
∴∠EDA=∠ECB ，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE ⊥DE ；
故②正确；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，
∴∠BDE=∠AFE ，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF ，
在△AEF 和△BED 中，
BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝
∴△AEF ≌△BED （AAS ），
∴BD=AF ；
故③正确；
④∵AD=BC ，BD=AF ，
∴CD=DF ，
∵AD ⊥BC ，
∴△FDC 是等腰直角三角形，
∵DE ⊥CE ，
∴EF=CE ，
∴S △AEF =S △ACE ，
∵△AEF ≌△BED ，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故④正确；
综上①②③④都正确，故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．。