数学模拟试卷及解析2

数学模拟试卷及解析（2）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{|230}A x x x =--<，{|}B x x a =>，若{|1}A
B x a x a =<<+，则(a =
) A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
2．已知复数12z i =-+，1
2z z i
=
，在复平面内，复数1z 和2z 所对应的两点之间的距离是( )
A
B C ．5
D ．10
3．在数列{}n a 中，11a =，数列11n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是公比为2的等比数列，则(n a = )
A ．
1
12
n - B ．
1
21
n - C ．112n
+
D ．
1
12n
+ 4．某班级要从5名男生、3名女生中选派4人参加学校组织的志愿者活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案有( ) A ．20种
B ．30种
C ．35种
D ．65种
5．若将函数()sin()(0)4f x x πωω=->的图象向右平移3
π
个单位长度后所得图象关于y 轴对
称，则ω的 最小值为( ) A ．1
8
B ．
34 C ．38
D ．
94
6．设1a >，1b >，则“a b >”是“a b be ae >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．设()f x 为定义在R 上的函数，对任意的实数x 有()(1)(f x f x e e +=为自然对数的底数），当01x <时，()x f x e =，则方程2()log f x x =的解有( ) A ．4个
B ．5个
C ．6个
D ．7个
8．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左，右焦点分别是1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 是椭圆C
上一点，满足1212||||PF PF PF PF +=-，若以点P 为圆心，r 为半径的圆与圆
2221:()4F x c y a ++=，圆2222:()F x c y a -+=都内切，其中0r a <<，则椭圆C 的离心率为( ) A ．
12
B ．
34
C ．
104
D ．
154
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中。

有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。

9．2020年1月18日，国家统计局公布了2020年度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图，已知2020年度和2019年度居民在“其他用品及服务”中人均消费支出大约分别为462元和524元，现结合2019年度居民人均消费支出情况，下列结论中正确的是( )
A ．2020年度居民在“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率比2019年度的高
B ．2019年度居民人均消费支出约为21833元
C ．2019年度和2020年度居民在“生活用品及服务”项目上的人均消费支出相等
D ．2020年度居民人均消费支出比2019年度居民人均消费支出有所降低 10．已知0a >，0b >，a b ab +=，则( ) A ．2322a b ++ B ．228a b +
C ．1
5ab ab
+
D 2a
b
11．已知02
π
αβ<<<，且tan α，tan β是方程220x mx -+=的两个实根，则下列结论正
确的是( )
A ．tan tan m αβ+=-
B ．22m >
C ．tan 4m α+
D ．tan()m αβ+=-
12．矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，将ABD ∆沿BD 折起，使A 到A '的位置，A '在平面
BCD 的射影E 恰落在CD 上，则( )
A ．三棱锥A BCD '-的外接球直径为5
B ．平面A BD '⊥平面A B
C ' C ．平面A B
D '⊥平面A CD ' D ．A D '与BC 所成角为60︒
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某产品的零售价x （元)与每天的销售量（个)统计如下表：
据上表可得回归直线方程为ˆˆ 6.4y
x α=-+，ˆα= .（用数字作答） 14．设(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，则(sin )3f π
的值为 ．
15．定义在(0,)+∞的函数()f x 满足1
()()f x xf x x
'+=
，f （1）1=，则()f x 的零点是 ．
16．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 是抛物线C 上一点，以F 为圆心，p
为半径的圆与MF 交于点Q ，过点M 作圆F 的切线，切点为A ，若||MA =，OMQ ∆的
，则p = ． 四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17
．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos sin C c A -． （1）求A ；
（2）若2c =，且BC b ．
18．设公差不为零的等差数列{}n a 满足34a =-，且2a ，1a ，3a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}
1
3n n a --的前n 项和为n S ，求使得20n S -成立的最小正整数n ．
19．如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，90ASD ∠=︒，AS SD =且2SC =．
（1）证明：平面SAD ⊥平面ABCD ；
（2）当四棱锥S ABCD -的体积最大时，求二面角B SC D --的余弦值．
20．甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y （单位：)kg 与身高x （单位：)cm 是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到如下表格： 身高/cm 160 166 172 173 173 182 体重/kg
44
50
55
55
56
64
根据表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89． （1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高（单位：)cm 的数据绘制成如图的茎叶图．①估计体重超过60kg 的频率p ，②视频率为概率，从抽出的10名男生中再选2人，记这2人中体重超过60kg 的人数为X ，求X 的分布列及其数学期望（用（1）中的回归方程估测这10位男生的体重）．
21．已知抛物线：2:2(0)x py p Γ=>的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，A 为抛物线Γ上位于第一象限内一点，直线AO 与l 交于点D ，直线AF 与抛物线的另一个交点为B ． （1）试判定直线BD 与y 轴的位置关系，并说明理由；
（2）过点B 作抛物线的切线交y 轴于点E ，与直线AO 交于点G ，连接DE ．记ABG ∆，DEG ∆的面积分别为1S ，2S ，当122S S =时，若点A 的横坐标为2
21-Γ的
方程．
22．已知函数()4x f x ae x =-，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当1a =时，求证：2()10f x x ++>．
答案
1．解：
{|13}A x x =-<<，{|}B x x a =>，{|1}A
B x a x a =<<+，
13a ∴+=，解得2a =．
故选：A ．
2．解：12z i =-+，∴21222(2)()212z i i i z i i i i i i
-+-+-=
===-+=+-， ∴复数1z 和2z 所对应的两点的坐标分别为(2,1)-，(1,2)，
两点间的距离为d ． 故选：B ．
3．解：因为数列{}n a 中，11a =，数列11n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是公比为2的等比数列，
所以
1
1
12a +=，112n n a +=，
故1
21
n n a =
-． 故选：B ．
4．解：若选2名女生共有223530C C =种，
若选3名女生共有31
3
55C C =种， 所以共有30535+=种， 故选：C ．
5．解：将函数()sin()(0)4f x x πωω=->的图象向右平移3
π
个单位长度后，
所得函数sin()34
y x ωπ
π
ω=-
-的图象关于y 轴对称， ∴
3
4
2
k ωπ
π
π
π+
=+
，k Z ∈，
则当0k =时，ω取得最小值为3
4
， 故选：B ．
6．解：设()x e f x x =，则2(1)
()x e x f x x -'=，
当1x >时，2
(1)
()0x e x f x x -'=
>， ∴当1x >时，()f x 单调递增，
1a b
a b e e a b be ae a b
∴>>⇔>⇔>．
故选：C ． 7．解：
()f x 为定义在R 上的函数，对任意的实数x 有()(1)f x f x e +=，
(1)(2)f x f x e ∴++=，
故()(2)f x f x =+， 故函数周期是2，
方程2()log f x x =的实数根的个数即两函数()y f x =与2log y x =的图象的交点个数， 如图，
由图知，两函数有四个交点，
即方程2()log f x x =的实数根的个数为4， 故选：A ． 8．解：如图，
由1212||||PF PF PF PF +=-，可得12PF PF ⊥，
又以点P 为圆心，r 为半径的圆与圆2221:()4F x c y a ++=，圆2222:()F x c y a -+=都内切， 1||2PF r a ∴+=，2||PF r a +=，
即12||||PF PF a -=，又由椭圆定义可得，12||||2PF PF a +=， 联立可得13||2
a
PF =
，21||2PF a =，
在Rt △12PF F 中，由12PF PF ⊥，可得2221212||||||PF PF F F +=， 即222
91444a a c +=，可得101)e e =>． 故选：C ．
9．解：对于A ，2020年度居民在“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率为30.2%，
2020年度居民在“食品烟酒”项目的人均消费支出所占总额的百分率为28.2%30.2%<，故选项A 正确；
2019年度居民人均消费支出约为
524
218332.4%
≈元，故选项B 正确； 2019年度居民在“生活用品及服务”项目上的消费约为524
5.9%12882.4%
⨯=元， 2020年度居民在“生活用品及服务”项目上的消费约为462
5.9%123912882.2%
⨯=≠元，故选项C 错误；
2020年度居民人均消费支出为462
210002.2%
=元，2019年度居民人均消费支出为524
218332.4%
≈元， 因为2100021833<，故选项D 正确． 故选：ABD ．
10．解：0a >，0b >，a b ab +=， 所以
11
1a b
+=， 所以112(2)()3322b a a b a b a b ++=+
++，当且仅当2b a
a b =且a b ab +=时取等号，A 正确； 因为11()()2224b a b a
a b a b a b a b a b
+=++=++
+⋅=， 所以222228a b a b +⋅，当且仅当a b =时取等号，B 正确； 令t ab =，(4)t ，则11ab t ab t +=+在[4，)+∞上单调递增，故117
4
t t +，C 错误； 2
1111
()2()2a b a b ++=，故
112a b
+，D 正确． 故选：AB ． 11．解：
02
π
αβ<<<
，且tan α，tan β是方程220x mx -+=的两不等实根，
tan tan 0m αβ∴+=>，故A 错误； tan tan 2αβ⋅=，tan tan tan()1tan tan 12
m
m αβαβαβ++=
==--⋅-，故D 正确；
2tan tan 22m αβ∴>⋅=，故B 正确； tan 2tan tan 22tan tan 4m ααβαβ+=+⋅=，
当且仅当2tan tan αβ=时，等号成立，故C 正确． 故选：BCD
．
12．解：对于A ，取BD 中点E ，连接A E '，CE ，
则22435
2
A E BE DE CE +'=====．
∴三棱锥A BCD '-的外接球直径为5，故A 正确；
对于B ，DA BA '⊥'，BC CD ⊥，A F '⊥平面BCD ，BC A F ∴⊥'， 又A F
CD F '=，A F '、CD ⊂平面A CD '，BC ∴⊥平面A CD '，
A D '⊂平面A CD '，DA BC ∴'⊥，
BC
BA B '=，DA ∴'⊥平面A BC '，
DA '⊂平面A BD '，∴平面A BD '⊥平面A BC '，故B 正确；
对于C ，BC AC
⊥'，A B ∴'与A C '不垂直，
∴平面A BD '与平面A CD '不垂直，故C 错误；
对于D ，//DA BC ，ADA ∴∠'是A D '与BC 所成角（或所成角的补角），
1697A C '=-=，374A F ∴'=
，2379
9()44
DF =-=， 29159()44AF =+=，22
1537()()3244
AA '=+=，
9918
cos 0233
ADA +-∴∠'=
=⨯⨯，90ADA ∴∠'=︒，
A D ∴'与BC 所成角为90︒，故D 错误．
故选：AB ．
13．解：1
(6789)7.54x =+++=．
1
(40312421)294
y =+++=．
样本中心(7.5,29)，
样本中心代入回归直线方程，
可得ˆ29 6.47.5α
=-⨯+，ˆ77α=． 故答案为：77．
14．解：令sin cos t αα=+，则212sin cos t αα=+⋅，
故21
sin cos 2t αα-⋅=，
所以21
()2
t f t -=，
故31
(sin )(38
f f π==-．
故答案为：1
8
-．
15．解：令()()F x xf x lnx =-，则1()()()F x f x xf x x
''=+-， 又1()()f x xf x x '+=
，所以1
()()()0F x f x xf x x
''=+-=， 则函数()F x 为常数函数，又F （1）1f =⨯（1）11ln -=， 所以()()1F x xf x lnx =-=， 解得1()lnx f x x
+=
， 令()0f x =，即
10lnx x +=，解得1
x e
=， 所以()f x 的零点是1
e ．
故答案为：1
e
．
16
．解：||MA =，||FA p =，MA FA ⊥，
||3MF p ∴=，
又||FQ p =，||32MQ p p p ∴
=-=， 设O 到MF 的距离为h ，
∴
1
||||221||3||2
MOQ MOF
MQ h
S MQ S MF MF h ∆∆⋅===⋅，
又OMQ ∆
，
∴32MOF S ∆==， 由||32M p MF x p =+=，得5322
M p p
x p =-=，代入22(0)y px p =>，
得||M y =
，则122OFM p S ∆=⨯
解得：p =
17．解：（1）因为3cos sin 3a C c A b -，由正弦定理可得
3sin cos sin sin 3sin A C C A B -，
因为B A C π=--，
3sin cos sin sin 3sin cos 3sin A C C A A C A C -，
可得sin sin 3sin C A A C -，因为sin 0C ≠，所以sin 3A A =-，可得tan 3A =-， 又因为(0,)A π∈，可得23
A π
=
． （2）由余弦定理可得22222cos 42a b c bc A b b =+-=++，①
又在ABC ∆中，22222
4cos 24a c b a b B ac a
+-+-==，设BC 的中点为D ，
在ABD ∆中，2222()124cos 222
a a c AD B a a c +-+==⨯⨯，可得
2
221
4442a a b a a
++-=，可得22420a b +-=，②
由①②可得2280b b --=，解得4b =． 18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为2a ，1a ，3a 成等比数列，所以2123a a a =， 即2111()(2)a a d a d =++，整理得1320a d +=①． 又因为3124a a d =+=-②．
所以联立①②，解得12a =，3d =-． 所以23(1)35n a n n =--=-+．
（2）由（1）可得113(35)3n n n a n ---=-+-，
所以0121(23)(13)(43)[(35)3]n n S n -=-+--+--+⋯+-+-
0121[2(1)(4)(35)](3333)n n -=+-+-+⋅⋅⋅+-+-+++⋯+
022[2(35)]3(13)73317331213222
n n n n n n n n n +-+-----+=-=-=-，
11S =，23S =-，12S S >，
由2
73()2x x f x -=在[2，)+∞是单调减函数，
31
()2
x g x -=-是单调减函数，则{}n S 是单调递减数列．
又316S =-，450S =-，
则能使得20n S -成立的最小正整数为4..
19．解：（1）证明：如图，取AD 的中点O ，连接SO 、CO 、AC ，
60ADC ABC ∠=∠=︒，且AD DC =，
又2AD CD ==，则ACD ∆为正三角形，CO AD ∴⊥，3CO =， 又90ASD ∠=︒，ASD ∴∆为直角三角形，1
12
SO AD ∴==， 在ACS ∆中，222CO SO SC +=，则CO SO ⊥， 又AD
SO O =，AD 、SO ⊂平面ADS ，
CO ∴⊥平面ADS ，
又CO ⊂平面ABCD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ．
（2）90ASD ∠=︒，则点S 在以AD 为直径的圆上，且1SO =， 设点S 到平面ABCD 的距离为d ，1
3S ABCD ABCD V S h -∴=⋅⋅菱形，
而1
22260232
ABCD S sin =⨯⨯⨯⨯︒=菱形
∴当d 取最大值时四棱锥S ABCD -的体积最大，
此时SO ⊥平面ABCD ，
又由（1）可知CO AD ⊥，如图建系，
则(3,2,0)B -，(0S ，0，1)，(3C 0，0)，(0D ，1，0)， 则(3BS =-2，1)，(3SC =0，1)-，(0SD =，1，1)-， 设平面SBC 的法向量为(m x =，y ，)z ，
则32030
m BS x y z m SC x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，则(1m =，03)， 设平面SCD 的法向量为(n a =，b ，)c ，
则300
n SC a c n SD b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1a =，得(1,3,3)n =， 则427
cos ,||||27m n m n m n ⋅<>=
==⋅，
设二面角B SC D --的平面角为θ，经观察θ为钝角， 则||27
cos ||||7
m n m n θ⋅=-
=-⋅，
故二面角B SC D --的余弦值为27
20．解：（1）依题意可知ˆ0.89b
=， 171x =，54y =，
∴ˆˆ540.8917198.19a y bx
=-=-⨯=-， 故y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.8998.19y
x =-． （2）令ˆ0.8998.1960y
x =-=，得177.74x ≈， 故这10位男生的体重有3位体重超过60kg ，
X 的可能取值为0，1，2，
272107
(0)15
C P X C ===，
11732107
(1)15
C C P X C ===，
232101
(2)15
C P X C ===，
则X 的分布列为：
7713()0121515155
E X ∴=⨯
+⨯+⨯=． 21．解：（1）由题意可得(0,)2p F ，准线:2
p
l y =-，
设1(A x ，21)2x p ，2(B x ，2
2)2x p
，则直线AO 的方程为12x y x p =，故D 的横坐标为21D p x x =-， 设直线AB 的方程为2
p
y kx =+，代入22x py =， 可得2220x pkx p --=，
所以2
12x x p =-，则2
21
p x x =-，
所以2D x x =，
所以直线BD 与y 轴平行； （2）由题意可得11221111
||()||()||()222
G G S BD x x BD x x BD x x =⋅--⋅-=⋅-． 222111
||()||()||()222
G G S BD x BD x x BD x =
⋅--⋅-=⋅-． 因为122S S =，所以12G G x x x -=-，即1G x x =-，
又G 在直线AO 上，所以2
1111()22G x x y x y p p =-=-=-，即1(G x -，1)y -， 抛物线在B 处的切线的方程为2
222x x y x p p
=-，
所以22
22222211222x x x x p y x p p p p p p
--=--=--=-，
将2
112x y p
=，221p x x =-，代入上式可得42241120x x p p +-=，
解得221(10x p =-<
，或22211)1)x p ===，可得2p =，
故抛物线的方程为24x y =． 22．（1）解：()4x f x ae '=-，
当0a 时，()0f x '<，()f x 在R 上单调递减；
当0a >时，令()0f x '<，可得4x ln a <，令()0f x '>，可得4
x ln a >，
所以()f x 在4(,)ln a -∞上单调递减，在4
(ln a
，)+∞上单调递增．
（2）证明：当1a =时，()4x f x e x =-， 令22()()141x g x f x x e x x =++=-++，
()42x g x e x '=-+，()20x g x e ''=+>恒成立，
所以()g x '在R 上单调递增，(0)30g '=-<，g '（1）20e =->，
由零点存在性定理可得存在0(0,1)x ∈，使得0()0g x '=，即00420x
e x -+=，
当0(,)x x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，
所以0222
000
00000()()41424165x min g x g x e x x x x x x x ==-++=--++=-+，0(0,1)x ∈， 由二次函数性质可得()min g x g >（1）0=， 所以()0g x >，即2()10f x x ++>，得证．。