大学线性代数试题及答案

大学线性代数试题及答案
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 设矩阵A是一个n阶方阵，若A的行列式|A|=0，则矩阵A
A. 可逆
B. 不可逆
C. 一定是对角矩阵
D. 一定是单位矩阵
答案：B
2. 向量组α1, α2, ..., αn线性无关的充分必要条件是
A. 它们的坐标成比例
B. 它们的坐标不成比例
C. 它们的线性组合系数不全为零
D. 它们的线性组合系数全为零
答案：B
3. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则AB一定是
A. m阶方阵
B. n阶方阵
C. m阶方阵或n阶方阵
D. 零矩阵
答案：A
4. 若矩阵A满足A^2=A，则称矩阵A为幂等矩阵，那么幂等矩阵
A. 一定是对角矩阵
B. 一定是单位矩阵
C. 一定是对称矩阵
D. 以上都不对
答案：D
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 设A是3阶方阵，且|A|=2，则|2A|=______。

答案：4
2. 若向量α=(1, 2, 3)，β=(4, 5, 6)，则向量α与β的点积为
______。

答案：22
3. 设矩阵A的特征值为λ1, λ2, ..., λn，则矩阵A^T的特征值为______。

答案：λ1, λ2, ..., λn
4. 设A是3阶方阵，且A^(-1)存在，则A^(-1)A=______。

答案：E
三、简答题（每题10分，共30分）
1. 简述线性方程组有唯一解的条件。

答案：线性方程组有唯一解的条件是系数矩阵的行列式不为零。

2. 解释什么是特征值和特征向量，并给出求特征值和特征向量的方法。

答案：特征值是方阵A的标量λ，使得存在非零向量x，满足
Ax=λx。

特征向量是与特征值对应的非零向量x。

求特征值和特征向量的方法是先求矩阵的特征多项式，然后解方程求得特征值，再将特征
值代入方程组求得特征向量。

3. 说明什么是矩阵的秩，并简述求矩阵秩的方法。

答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关行（列）的最大数目。

求矩阵
秩的方法通常是通过初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后计算非
零行的数量。

四、计算题（每题15分，共30分）
1. 计算矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]的行列式，并求其逆矩阵。

答案：行列式|A|=-2，逆矩阵A^(-1)=\[\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 1.5 & -0.5\end{pmatrix}\]。

2. 设A=\[\begin{pmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求A的特征值和特征向量。

答案：特征值λ1=3，λ2=1，对应的特征向量为
v1=\[\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}\]，
v2=\[\begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}\]。