湖北省黄冈市麻城实验中学高二数学文期末试卷含解析

湖北省黄冈市麻城实验中学高二数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）
A. (－1,3)为函数的单调递增区间
B. (3,5)为函数的单调递减区间
C. 函数在处取得极小值
D. 函数在处取得极大值
参考答案：
D
【分析】
利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数的导函数的图象可知：
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
所以函数单调递减区间为，递增区间为，
且函数在和取得极小值，在取得极大值，
故选D．
【点睛】本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
2. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）
A B C D
参考答案：
A
略
3. 下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）.
A.，
B.，
C.，
D.，
参考答案：
D
4. 已知函数f（x）=log2x，若在[1，8]上任取一个实数x0，则不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】几何概型．
【专题】概率与统计．
【分析】由题意，本题是几何概型的考查，只要求出区间的长度，利用公式解答即可．
【解答】解：区间[1，8]的长度为7，满足不等式1≤f（x0）≤2即不等式1≤log2x0≤2，解答
2≤x0≤4，对应区间[2，4]长度为2，由几何概型公式可得使不等式1≤f（x0）≤2成立的概率是；故选C．
【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确结合测度，；本题利用区间长度的比求几何概型的概率．
5. 已知是等比数列，，则=( )
A．16（） B．16（） C.（） D．
（）
参考答案：
C
6. 若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）
参考答案：
C
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】由已知条件推导出a≤x+2lnx+，x＞0，令y=x+2lnx+，利用导数性质求出x=1时，y取最小值4，由此能求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤x+2lnx+，x＞0，
令y=x+2lnx+，
则=，
由y′=0，得x1=﹣3，x2=1，
x∈（0，1）时，y′＜0；
x∈（1，+∞）时，y′＞0．
∴x=1时，y min=1+0+3=4．
∴a≤4．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]．
故选：C．7. 圆与圆的位置关系是（）
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 相离
参考答案：
圆，圆心，半径；
圆，圆心，半径.
圆心距，因，故两圆外切. 选B.
8. 算法的三种基本结构是（）
.顺序结构、条件结构、循环结构.顺序结构、流程结构、循环结构
.顺序结构、分支结构、流程结构.流程结构、循环结构、分支结构
参考答案：
A
略
9. 已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前项和为286，则项数为（）
(A) 24 (B)
26 (C) 27 (D) 28
参考答案：
B
略
10. 在区间[0,2]内任取一个实数，则使函数在(0,+∞)上为减函数的概率是
A．B．C．D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知、是双曲线的两个焦点，以线段为边作正△，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率= .
参考答案：
12. 如果
对任意实数
恒成立，则的取值范围是
.
参考答案：
13. 设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．
参考答案：
(x -1)2+y 2=4. 【分析】
由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果. 【详解】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心， 且与l
相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14. 当x ，y 满足条件
时，目标函数z=x+y 的最小值是 ．
参考答案：
2
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；规律型；数形结合；不等式的解法及应用；不等式．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y 的最小值即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．
由z=x+y 得y=﹣x+z ，平移直线y=﹣x+z ， 由图象可知当直线y=﹣x+z 经过点A 时，
，可得A （1，1）．
直线y=﹣x+z 的截距最小，此时z 最小．
即目标函数z=x+y 的最小值为：2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决
此类问题的基本方法．
15. 计算：
= 。

参考答案：
16. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2 ，3 ，则此球的表面积为_ ． 参考答案： 14
_
17. 设的内角的对边分别为，若,则 ．
参考答案：
2
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f （x ）=lg （1+x ）﹣lg （1﹣x ）．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．
参考答案：
【考点】4N：对数函数的图象与性质；4H：对数的运算性质．
【分析】（1）求解函数f（x）的定义域
（2）利用好定义f（x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．判断即可
（3）利用单调性转化求解得出范围即可．
【解答】解：函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．
（1）∵
﹣1＜x＜1
∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）
（2）函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．
∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）．
∴f（x）为奇函数
（3）∵f（x）＞0，
∴求解得出：0＜x＜1
故x的取值范围：（0，1）
19. （Ⅰ）已知某椭圆过两点,求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程．参考答案：
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
，解得，所以椭圆方程为. （Ⅱ）设双曲线方程为，代入点解得
即双曲线方程为.
20. 如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．
参考答案：
（1）见详解；（2）18
【分析】
（1）先由长方体得，平面，得到，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立；
（2）先设长方体侧棱长为，根据题中条件求出；再取中点，连结，证明平面，根据四棱锥的体积公式，即可求出结果.
【详解】（1）因为在长方体中，平面；
平面，所以，
又，，且平面，平面，
所以平面；
（2）设长方体侧棱长为，则，
由（1）可得；所以，即，
又，所以，即，解得；
取中点，连结，因为，则；
所以平面，
所以四棱锥的体积为.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，依据四棱锥的体积，熟记线面垂直的判定定理，以及四棱锥的体积公式即可，属于基础题型.
21. （本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，AA1=AB，
．
（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BC；
（Ⅱ）若AB =2，，且A1C与平面BB1C1C所成的角为30°，求二面角的平面角的余弦值．
参考答案：
解：（Ⅰ）由已知侧面底面，, 底面,得到侧面，又因为侧面,所以,
又由已知，侧面为菱形，所以对角线, 即，，,
所以平面.…………………6分
（Ⅱ）设线段的中点为点，连接,，因为，易知为等边三角形，中线,由（Ⅰ）侧面，所以,得到平面，即为与平面所成的角，,,, ,得到;
以点为坐标原点，为轴,为轴，过平行的直线为，建立空间直角坐标系，
,,,,,,，
由（Ⅰ）知平面的法向量为，设平面的法向量，, 解得,,
二面角为钝二面角，故余弦值为.…………………12分
22. “双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11 日举办的促销活动，当时参与的商家
数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用x（单位：万元）和利润y（单位：十万元）之间的关系，得到下列数据：
（1）请用相关系数r说明y与x之间是否存在线性相关关系（当时，说明y与x之间具有线性相关关系）；
（2）根据（1）的判断结果，建立y与x之间的回归方程，并预测当时，对应的利润为多少（精确到0.1）.
附参考公式：回归方程中中和最小二乘估计分别为
，相关系数
参考数据：
.
参考答案：
（1）见解析；（2）.
试题分析：(1) 由题意得，利用公式求出，从而作出判断；(2)利用最小二乘法求出
与之间的回归方程，进而进行估计.a
试题解析：
（1）由题意得，
又，
所以，
所以与之间具有线性相关关系.
（2）因为，，
所以回归直线方程为，当时，.
点睛：（1）线性回归方程体现了两个变量之间的相关关系，求得两个变量间的回归关系之后可根据回归方程进行估计，以便为下一步的决策提供参考依据。

（2）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，均值的大小也可为下一步的决策提供参考依据。