2019届甘肃省静宁县第一高三上学期第三次模拟考试数学（文）试卷

2019届甘肃省静宁县第一中学高三上学期第三次模拟考试数学
（文）试卷（解析版）
一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.集合，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，，
所以，A={0，1，2，3，4，5，6},B={x|x<0或x>3},，故选B。

考点：本题主要考查不等式的解法，集合的运算。

点评：简单题，这类题目较多地出现在高考题中。

先明确集合中元素是什么，再进行集合运算。

2.复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求．
【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.已知向量，且，则
A. B. C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查向量的坐标运算，解题时根据向量垂直的充要条件得到数量积为零，进而得到关于的方程是解题的关键，属于基础题．
4.已知为锐角，且，则的值( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由正切的诱导公式得，故，由公式得，
，因为为锐角，所以，故选B
考点：诱导公式正弦余弦正切之间的关系
5.下列说法错误
．．的是
A. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”；
B. “”是“”的充分不必要条件；
C. 若为假命题，则均为假命题；
D. 若命题“，使得”，则“，均有”。

【答案】C
【解析】
【分析】
对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得错误的结论．
【详解】对于A，由逆否命题的概念可得A正确．
条件，所以B正确．
对于C，当为假命题时，则至少有一个为假命题，所以C不正确．
对于D，由含有一个量词的命题的否定可得D正确．
故选C．
【点睛】本题考查运用逻辑的基本知识判断命题的真假，考查综合运用知识解决问题的能力，解题时根据相关知识分别对每个命题的真假进行判断即可，属于基础题．
6.在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）
A. 58
B. 88
C. 143
D. 176
【答案】B
【解析】
试题分析：等差数列前n项和公式，．
考点：数列前n项和公式．
视频
7.若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
由得：，
即平移后的图象的对称轴方程为，
故选：B．
8.当时，函数和的图象只能是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
略
9.在平行四边形中，对角线与交于点，且，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形，以为基底将向量进行分解后可得结果．
【详解】画出图形，如下图．
选取为基底，则，
∴．
故选C．
【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
10.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题意求出数列的首项后可得第3天织布的尺数．
【详解】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5，
设首项为，前n项和为，
则由题意得，
∴，
∴，
即该女子第3天所织布的尺数为．
故选A．
【点睛】本题以中国古文化为载体考查等比数列的基本运算，解题的关键是正确理解题意，将问题转化成
11.某船开始看见灯塔在南偏东方向,后来船沿南偏东的方向航行后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出相应的图形，得到为等腰三角形，利用正弦定理求出BC的长，即为船与灯塔的距离．【详解】根据题意画出相应的图形，如下图所示，其中为灯塔，为某船开始的位置，为船航行
后的位置．
由题意可得，在中，，
所以，
在中，由正弦定理得，
∴，
即船与灯塔的距离是．
故选C．
【点睛】解三角形应用题的常用解法
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件足够的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，
12.已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设
，，，则、、的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意得到>0, 函数F（x）是单调递增函数，则F（1）>F(ln2)>F(0),化简后得到结果.
【详解】函数是定义在上的函数，且满足,设>0,故函数F （x）是单调递增函数，则F（1）>F(ln2)>F(0),,>>..
故答案为：A.
【点睛】本题考查了函数单调性的应用，解抽象函数不等式问题，通常需要借助于函数的单调性和奇偶性和周期性，或者需要构造函数再求导,两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.
二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.曲线在点处的切线方程是______.
【答案】x－y－2＝0
【解析】
试题分析：根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
解：y'=﹣2+3x2
y'|x=﹣1=1
而切点的坐标为（1，﹣1）
∴曲线y=x3﹣2x在x=1的处的切线方程为x﹣y﹣2=0
故答案为：x﹣y﹣2=0
14.已知平面向量，满足，若，则向量的夹角为______.
【分析】
由得到，然后根据数量积可得夹角的余弦值，进而得到所求夹角的大小．
【详解】∵，，
∴，
∴．
设向量的夹角为，
则，
又，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查向量数量积的计算及应用，解题时容易出现的错误是忽视向量夹角的范围，属于容易题．
15.设函数的部分图象如图所示，则的表达式______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图象的最高点得到，由图象得到，故得，然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到，进而可得函数的解析式．
【详解】由图象可得，
∴．
又点在函数的图象上，
∴，
∴，
∴．
又，
∴．
∴．
故答案为．
【点睛】已知图象确定函数解析式的方法
（1）由图象直接得到，即最高点的纵坐标．
（2）由图象得到函数的周期，进而得到的值．
（3）的确定方法有两种．
①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出的值；
②运用“五点法”求解，即由函数最开始与轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令
，)确定．
16.已知函数，
① 当时，有最大值；
② 对于任意的，函数是上的增函数；
③ 对于任意的，函数一定存在最小值；
④ 对于任意的，都有．
其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）
【分析】
由题意利用导函数研究函数的性质即可.
【详解】由函数的解析式可得：，
当时，，，
单调递增，且，
据此可知当时，单调递增，函数没有最大值，说法①错误；
当时，函数均为单调递增函数，则函数是上的增函数，说法②正确；
当时，单调递增，且，
且当，据此可知存在，
在区间上，单调递减；
在区间上，单调递增；
函数在处取得最小值，说法③正确；
当时，，
由于，故，，说法④错误；
综上可得：正确结论的序号是②③.
【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的最值，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.在中，角的对边分别为.
（1）求角的大小；
（2）若，求的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由，得. ……3分
∴.
∵，∴. ……6分
（Ⅱ）由正弦定理,得. ……9分
∵,,
∴. ∴. ……11分
∴. ……12分
考点：本小题主要考查正弦定理和余弦定理的应用。

点评：应用正弦定理和余弦定理解三角形时，要灵活选择是用正弦定理还是余弦定理，用正弦定理时有时要注意解的个数问题.
18.已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1),(2).
【解析】
试题分析：根据等差数列首项为1，设公差为，由于成等比数列，列出方程求出公差，注意到公差不为0，根据等差数列通项公式求出；由于，利用分组求和法求出数列的和.
试题解析：
（Ⅰ）由题设，得，即
化简，的
又，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
.
【点睛】本题为数列部分常规考题，利用待定系数法列方程组求出数列中的待定量，写出通项公式；数列
求和常用方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法.
19.已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
【答案】(1) ;(2) 当时，取到最大值3；当时，取到最小值..
【解析】
试题分析：（1）依据题设条件建立方程分析求解；（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：
解：（1）因为，，，
所以.
若，则，与矛盾，故.
于是.
又，所以.
（2）.
因为，所以，
从而.
于是当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值.
20.已知数列的前项和为，且满足．
（1）求
（2）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）直接由数列{a n}满足，对n赋值可得到结果；（2）在数列递推式中取n=n+1得到另一递推式，作差后变形得到，，即说明数列{a n+1}为等比数列；直接由数列{a n+1}
为等比数列写出其通项公式，则可得到数列{a n}的通项公式；
解析：
（1）
（2）证明：当时，，则
两式相减得即
于是又
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以即
所以数列的通项公式为
点睛：这个题目考查了数列中特定项的求法，等比数列的概念和证明；数列通项公式的求法；对于证明数列是等差或等比数列，只能用定义和等差（比）中项来证。

数列通项的求法有构造新数列的方法，递推法等。

21.已知函数，若在区间上有最大值，最小值．
（1）求的值；
（2）若在上是单调函数，求的取值范围.
【答案】（I）(II）
【解析】
试题分析：（1）由于函数，，对称轴为x=1，依据条件利用函数的单调性求得a、b的值．
（2）由（1）可求出g（x），再根据[2，4]上是单调函数，利用对称轴得到不等式组解得即可．
试题解析：
（I），所以，在区间上是增函数,即
所以
(II），则所以，所以，，即故，的取值范围是
22.已知函数（其中常数且）在处取得极值．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在上的最大值为，求的值．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，；单调递减区间为; （Ⅱ）或.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间；
（Ⅱ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果．
试题解析：
（Ⅰ）因为，所以，
因为函数在处取得极值，
当时，，，
由，得或；由，得，
即函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．
（Ⅱ）因为，
令，，，
因为在处取得极值，所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以在区间上的最大值为，
令，解得，
当，，
当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能的在或处取得，而，所以，解得；
当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以最大值1可能在或处取得，
而，
所以，
解得，与矛盾．
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所最大值1可能在处取得，而，矛盾．
综上所述，或．。