2021-2022学年浙江省台州市仙居县九年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年浙江省台州市仙居县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中，是必然事件的是( )
A. 射击运动员射击一次，命中靶心
B. 掷一次骰子，向上一面的点数是6
C. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
D. 将油滴在水中，油浮在水上面
3.抛物线y=(x−2)2+3的顶点坐标是( )
A. (2,3)
B. (−2,3)
C. (2,−3)
D. (−2,−3)
4.用配方法解方程x2+1=8x，变形后的结果正确的是( )
A. (x+4)2=15
B. (x+4)2=17
C. (x−4)2=15
D. (x−4)2=17
5.用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判断该工件一定是半圆的是( )
A. B. C. D.
6.已知正六边形的边长为4，则这个正六边形外接圆的半径为( )
A. 2
B. 2√3
C. 4√3
D. 4
7.正比例函数y=kx与反比例函数y=k
(k是常数，且k≠0)在同一平面直角坐标系的图象
x
可能是( )
A. B.
C. D.
8.某服装店在“元旦”期间搞促销活动，一款服装原价400元，连续两次降价a%后售价为
225元，下列所列方程中，正确的是( )
A. 400(1+a%)2=225
B. 400(1−2a%)=225
C. 400(1−a%)2=225
D. 400(1−a2%)=225
9.已知二次函数y=−x2+2x+a(a<0)，当x=n时，y>0，则当x=n−2时，y的取值
范围为( )
A. y>0
B. y<0
C. y=0
D. 不能确定
10.对于平面上的点P和一条线l，点P与线l上各点的连线中，最短的线段的长度叫做点P到线l
的距离，记为d(P,l).以边长为6的正方形ABCD各边组成的折线为l，若d(P,l)=2，则满足这样条件的所有P点组成的图形(实线图)是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11.抛物线y=x2−1与y轴的交点坐标是______．
12.如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果．由此可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，
“凸面向上”的概率是______(精确到0.001)．
13.如图，把一个半径为24cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆
锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm．
14.已知反比例函数y=3
，若y>−1，则x的取值范围是______．
x
15.如图，在一块长22m，宽为14m的矩形空地内修建三条宽
度相等的小路，其余部分种植花草．若花草的种植面积为
240m2，则小路宽为______m.
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.把△ABC绕点B逆时针旋转得到△DBE，连
接AE.当旋转角α(0°≤α≤180°)为______度时，AE//BC．
三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
解方程：
(1)5x(x−3)=2(x−3)；
(2)x2−4x+5=0．
18.(本小题8.0分)
小明和爸爸玩“石头”、“剪刀”、“布”的游戏．游戏规则：每局游戏每人用一只手可以出石头、剪刀、布三种手势中的一种；石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；若两人出相同手势，则算平局．
(1)在一局游戏中，小明决定出“剪刀”，求他赢爸爸的概率；
(2)用列举法求一局游戏中两人出现平局的概率．
19.(本小题8.0分)
如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，∠BED=30°．
(1)求∠AOD的度数；
(2)若OA=2，求AB的长．
20.(本小题8.0分)
一条抛物线由抛物线y=2x2平移得到，对称轴为直线x=−1，并且经过点(1,1)．
(1)求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；
(2)该抛物线由抛物线y=2x2经过怎样平移得到？
21.(本小题10.0分)
如图，在边长为1的正方形网格中，线段AB绕某点顺时针旋转90°得到线段A1B1，点A与点A1是对应点，点B与点B1是对应点．
(1)在图中画出旋转中心O(保留画图痕迹)；
(2)求旋转过程中点A经过的路径长．
22.(本小题12.0分)
如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中点30cm处挂一个重9.8牛的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧秤与中点O的距离L(单位：cm)，看弹簧秤的示数F(单位：牛，精确到0.1牛)有什么变化．小慧在做此《数学活动》时，得到下表的数据：
L/cm510152025303540
F/牛58.860.219.614.711.89.88.47.4
结果老师发现其中有一个数据明显有错误．
(1)你认为当L=______cm时所对应的F数据是明显错误的；
(2)在已学过的函数中选择合适的模型求出F与L的函数关系式；
(3)若弹簧秤的最大量程是60牛，求L的取值范围．
23.(本小题12.0分)
⏜上的一动点，如图，在⊙O中，弦AB与半径OA形成的夹角∠A=60°，OA=2，点C是优弧APB
切线CD与射线AB相交于点D．
(1)∠O与∠D满足的数量关系是______；
(2)当∠D=90°时，求阴影部分的面积；
(3)当∠AOC是多少度时，△BCD为等腰三角形？通过推理说明理由．
24.(本小题14.0分)
蔗糖是决定杨梅果实中糖度的主要成分．某果农种植东魁杨梅，5月26日检测到杨梅果实中的蔗糖含量为2%.从5月27日开始到6月1日，测量出蔗糖含量数据，并根据这些数据建立蔗糖含量变化率y(蔗糖含量变化率=当天的蔗糖含量−上一天的蔗糖含量/上一天的蔗糖含量
×100%)与生长天数x(x=0表示5月26日)的函数关系是：y=−0.0021x2+0.063x−0.21.根据这一函数模型解决下列问题：
(1)这种杨梅果实中蔗糖含量增长最快的是哪一天？请说明理由；
(2)求出这种杨梅果实中蔗糖含量在哪一天最高；
(3)当蔗糖含量高时，杨梅口感最好．计划用6天时间采摘完这批杨梅，请给这位果农提出采摘日期的合理化建议．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.射击运动员射击一次，命中靶心，这是随机事件，故A不符合题意；
B.掷一次骰子，向上一面的点数是6，这是随机事件，故B不符合题意；
C.经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，这是随机事件，故C不符合题意；
D.将油滴在水中，油浮在水上面，这是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：y=(x−2)2+3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2,3)．
故选：A．
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴是x=ℎ．
【解析】解：∵x2+1=8x，
∴x2−8x=−1，
∴x2−8x+16−16=−1，
∴(x−4)2=15，
故选：C．
先移项得到x2−8x=−1，然后进行配方得到(x−4)2=15，据此选项正确选项．
本题主要考查了配方法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤，此题难度一般．
5.【答案】B
【解析】解：因为90°的圆周角所对的弦是直径，所以选项B中的圆弧为半圆形．
故选：B．
根据90°的圆周角所对的弦是直径进行判断．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
6.【答案】D
【解析】解：如图，AB为⊙O内接正六边形的一边；
=60°，
则∠AOB=360°
6
∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AO=AB=4．
∴这个正六边形外接圆的半径为4，
故选：D．
如图，求出圆心角∠AOB=60°，得到△OAB为等边三角形，即可解决问题．
该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、解答．
【解析】解：k>0时，函数y=kx与y=k
同在一、三象限，C选项符合；
x
k<0时，函数y=kx与y=k
同在二、四象限，无此选项．
x
故选：C．
因为k的符号不明确，所以应分两种情况讨论．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．8.【答案】C
【解析】解：依题意得：400(1−a%)2=225，
故选：C．
利用经过两次降价后的价格=原价×(1−每次降价的百分数)2，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：由二次函数y=−x2+2x+a(a<0)知抛物线与
x轴有两个交点．
∴Δ=22+4a>0．
∴a<−1．
又∵该抛物线的对称轴是直线x=1且当x=n时，y>0，
∴0<n<2．
∴n−2<0，
∴当x=n−2时，y的取值范围为y<0．
故选：B．
根据抛物线的对称轴是直线x=1和二次函数的性质解答．
本题主要考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得到n的取值范围．
【解析】解：根据题目条件，此正方形内外均有满足d(P,l)=2的点，因此可排除A选项，
其次，正方形内部满足d(P,l)=2的点应是一个小正方形，可排除D选项，
最后，正方形外部满足d(P,l)=2的点4个角落应是圆弧形，可排除B选项，
故选：C．
首先根据题目给的信息，可以确定正方形内外都有满足条件的点，可排除A选项，再比较BCD选项的不同点进行分析即可选出答案．
本题可用排除法，对比各选项的差异进行分析，即可选出满足题目条件的答案．
11.【答案】(0,−1)
【解析】解：∵抛物线y=x2−1，
∴当x=0时，y=−1，
即抛物线y=x2−1与y轴的交点坐标是(0,−1)，
故答案为：(0,−1)．
将x=0代入抛物线解析式，求出相应的y的值，即可得到抛物线y=x2−1与y轴的交点坐标．本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与y轴的交点就是x=0时y的值．
12.【答案】0.440
【解析】解：由图知，随着抛掷次数的逐渐增大，“凸面向上”的频率逐渐稳定在常数0.440附近，所以可以推断，抛掷该啤酒瓶盖一次，“凸面向上”的概率是0.440，
故答案为：0.440．
根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
13.【答案】8
【解析】解：设圆锥底面半径为r cm，
，
根据题意得2πr=120×π×24
180
解得r=8，
即圆锥底面半径是8cm．
故答案为：8．
，然后解关于r的方程即可．
设圆锥底面半径为rcm，利用弧长公式得到2πr=120×π×24
180
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14.【答案】x<−3或x>0
【解析】解：∵y=3
，
x
∴该函数图象在第一、三象限，当x<0时，y<0；当x>0时，y>0；
∴当y>−1时，则3
>−1，x<0，
x
解得，x<−3或x>0，
故答案为：x<−3或x>0．
由k的值，可以得到该函数图象在第几象限，从而可以得到相应的不等式，从而可以得到x的取值范围．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
15.【答案】2
【解析】解：设小路宽为x m，则种植花草部分的面积等同于长(22−x)m，宽(14−x)m的矩形的面积，
依题意得：(22−x)(14−x)=240，
整理得：x2−36x+68=0，
解得：x1=2，x2=34(不合题意，舍去)．
故答案为：2．
设小路宽为xm，则种植花草部分的面积等同于长(22−x)m，宽(14−x)m的矩形的面积，根据花
草的种植面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】30或150
【解析】解：如图1中，过点E作EQ⊥BC于点Q，根点A作AP⊥BC于点P．
∵AB=AC，AP⊥BC，
∴BP=PC，
∴AP=1
BC，
2
∵AE//BC，AP⊥BC，EQ⊥BC，
BC，
∴EQ=AP=1
2
∵BE=BC，
∴EQ=1
BE，
2
∴∠EBC=30°，
如图2中，当AE//BC时，同法可证∠EBQ=30°，
∴∠CBE=180°−30°=150°，
故答案为：30或150．
BE，可得分两种情形：如图1中，过点E作EQ⊥BC于点Q，根点A作AP⊥BC于点P.证明EQ=1
2
∠EBQ=30°，如图2中，当AE//BC时，同法可证∠EBQ=30°，
此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定，直角三角形30°角的判定等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
17.【答案】解：(1)移项得：5x(x−3)−2(x−3)=0，
分解因式得：(5x−2)(x−3)=0，
所以5x−2=0或x−3=0，
，x2=3；
解得：x1=2
5
(2)法1：∵a=1，b=−4，c=5，
∴△=b2−4ac
=(−4)2−4×1×5
=16−20
=−4<0，
∴原方程无实数根；
法2：方程整理得：x2−4x=−5，
配方得：x2−4x+4=−1，即(x−2)2=−1<0，
则此方程无实数根．
【解析】(1)方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
(2)法1：方程利用公式法求出解即可；
法2：方程利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，以及公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．18.【答案】解：(1)在一局游戏中，小明决定出“剪刀”，则他赢爸爸的概率为1
；
3
(2)列表如下：
总共有9种等可能结果，其中一局游戏中两人出现平局的结果有3种，即(石头，石头)、(剪刀，剪刀)、(布，布)，
∴一局游戏中两人出现平局的概率为3
9=1
3
．
【解析】(1)直接由概率公式求解即可；
(2)用列表法列举出9种等可能结果，其中一局游戏中两人出现平局的结果有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：(1)连接OB，则∠BOD=2∠BED=2×30°=60°，
∵OD⊥AB
∴∠AOD=∠BOD=60°；
(2)∵OD⊥AB，∠AOD=60°，
∴∠OAC=30°，
∴OC=1
2OA=1
2
×2=1，
∴AC=√3，
∴AB=2AC=2√3．
【解析】(1)连接OB，由∠DEB=30°，推出∠DOB=60°，由OD⊥AB，根据垂径定理即可推出∠AOD=60°；
(2)根据(1)所推出的结论，求出OC=1，利用勾股定理求出AC，可得结论．
本题主要考查圆周角定理，垂径定理等知识点，关键在于正确的作出辅助线，推出OA的长度和∠DOB的度数．
20.【答案】解：(1)设所求抛物线为y=2(x+1)2+k，
∵过(1,1)，
则1=2(1+1)2+k，
解得k=−7，
∴所求抛物线为y=2(x+1)2−7；
∴顶点坐标是(−1,−7)．
(2)所求抛物线y=2(x+1)2−7是由抛物线y=2x2向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到．
【解析】(1)根据平移的规律平移后的抛物线为y=2(x+1)2+k，代入点(1,1)，即可求出解析式；
(2)由抛物线的顶点式即可求得顶点坐标，根据左加右减，上加下减可得出答案．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式及图象的平移，掌握二次函数的顶点式y=a(x−ℎ)2+ k对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．
21.【答案】解：(1)画出线段AA1、BB1的垂直平分线，交点即为点O，
(2)由勾股定理得，OA=√22+22=2√2，
∴点A经过的路线长为90π×2√2
=√2π．
180
【解析】(1)根据旋转的性质可得，点O为线段AA1、BB1的垂直平分线的交点；
(2)根据弧长公式计算即可．
本题主要考查了旋转的性质，扇形弧长公式的计算，准确找出旋转中心是解题的关键．
22.【答案】10
【解析】解：(1)根据杠杆原理知F⋅L=30×9.8．
当L=10cm时，F=29.4牛顿．所以表格中数据错了；
(2)根据杠杆原理知F⋅L=30×9.8．
∴F与L的函数关系式为：F=294
；
L
(3)当F=60牛时，由F=294
得L=4.9，
L
根据反比例函数的图象与性质可得L≥4.9，
∵由题意可知L≤50，
∴L的取值范围是4.9cm≤L≤50cm．
(1)根据表格数据，可发现L与F的乘积为定值294，从而可得答案；
(2)根据FL=294，可得F与L的函数解析式；
(3)根据弹簧秤的最大量程是60牛，即可得到结论．
本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出F与l的积为定值，从而得出函数关系式．
23.【答案】∠O+∠D=210°
【解析】解：(1)∵DC是⊙O的切线，
∴∠C=90°，
∵∠O+∠A+∠D+∠C=360°，
∴∠O+60°+∠D+90°=360°，
∴∠O+∠D=210°，
故答案是：∠O+∠D=210°；
(2)如图1，
连接OB，BC，
∵∠D=90°，∠AOC+∠D=210°，
∴∠AOC=120°．
∵∠A=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形．
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=60°．
∴S
扇形OBC =60π×4
360
π=2
3
π，
连接BC，则△BOC是等边三角形，∴∠BCD=30°，
在Rt△BCD中，BD=1
2
BC=1，∴CD=√3，
∴S△BCD=1
2BD⋅CD=1
2
×1×√3=√3
2
，
∵S△BOC=1
2
×2×√3=√3，
∴S
四边形BOCD =S△BCD+S△BOC=3√3
2
，
∴S
阴=S
四边形BOCD
−S
扇形OBC
=3√3
2
−2
3
π；
(3)如图2，
设∠AOC=x，
连接BC，在APC
⏜上任取一点Q，连接AQ，CQ，∵AC⏜=AC⏜，
∴∠Q=1
2∠AOC=1
2
x，
∵点A、B、C、Q共圆，
∴∠CBD=∠Q=1
2
x，
由(1)可得：∠D=210°−x，
当BD=BC时，
∴∠D=∠BCD，
由∠D+∠BCD+∠CBD=180°得，2∠D+∠DBC=180°，
∴2(210°−x)+x 2
=180°，
∴x =160°，
即：∠BOC =160°，
当CD =BC 时，
∴∠D =∠DBC ，
∴210°−x =x 2，
∴x =140°，
当BD =CD 时，
即：∠BOC =140°，
∴∠DBC =∠DCB ，
∴2∠DBC +∠D =180°，
∴2×x 2+(210°−x)=180°，
综上所述，∠AOC 为140°或160°．
(1)根据切线性质得：∠C =90°，进而根据四边形内角是360°可求得结果；
(2)连接OB ，BC ，可推出△AOB 是等边三角形．进而得出∠BOC =∠AOC −∠AOB =60°.从而求得S 扇形OBC ，连接BC ，则△BOC 是等边三角形，从而求出∠BCD ，进而计算出△BCD 的面积，进一步求得结果；
(3)设∠AOC =x ，连接BC ，在APC ⏜上任取一点Q ，连接AQ ，CQ ，可求得∠CBD =12x ，由(1)可得：∠D =210°−x ，当BD =BC 时，从而2∠D +∠DBC =180°，从而求得，当CD =BC 和当BD =CD 时，同样方法求得结果．
本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形性质，圆的扇形面积公式，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是等腰三角形的正确分类．
24.【答案】解：(1)∵y =−0.0021x 2+0.063x −0.21=−0.0021(x −15)2+0.2625， ∴在第15天，即6月10日，这种杨梅果实中蔗糖含量增长最快；
(2)当蔗糖含量比前一天增加时，y >0，当蔗糖含量比前一天减少时，y <0，
∴先要求使y =0时对应的x 的值，
当y =0时，−0.0021x 2+0.063x −0.21=0，整理得：x 2−30x +100=0，
解这个方程得：x1=15−5√5≈3.82，x2=15+5√5≈26.18，
∵x是整数，x=26时，y>0，蔗糖含量比第25天增加；而当x=27时，y<0，蔗糖含量比第26天减少；
∴这种杨梅果实中蔗糖含量从增加到减少的临界时间是第26天，即6月21日这种杨梅果实中蔗糖含量最高；
(3)根据(2)知，当4≤x≤26时，随着时间增加，蔗糖含量增加，大约当x=26时，杨梅果实中蔗糖含量最高，当x≥27时，蔗糖含量随着时间的增加而降低，
根据二次函数的性质，当x>26时，比x=23离对称轴x=15远，
∴当x>26时，含糖量降低的速度比x=23时上升的速度快，
∴在第23，24，25，26，27，28天(即6月18日——6月23日)采摘可以保证蔗糖含量高，口感好，建议在这几天采摘．
【解析】(1)求出顶点横坐标即可得答案；
(2)求出y=0时x的值，即可得答案；
(3)在杨梅果实中蔗糖含量最高的6天采摘，而当x>26时，含糖量降低的速度比x=23时上升的速度快，解可得到答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握并能熟练应用二次函数的性质．。