基本不等式中“1的妙用教师版PDF

基本不等式中“1 的妙用”

例1：（1）已知,x y R *∈，21x y +=，求12x y +的最小值；（2）已知,x y R *∈，23x y +=，求12x y +的最小值；（3）已知,x y R *∈，322x y

+=，求62x y +的最小值；（4）已知,x y R *∈，2x y xy +=，求2x y +的最小值；

【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换.

【答案】（1）121222(2)()1459x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当22x y y x =即13

x y ==时取等号.

（2）121121221(2)(1453333x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=（）（，当且仅当22x y y x =即13

x y ==时取等号.

（3）1323662=(2)92182y x x y x y x y x y +++=+++≥+，当且仅当63x y y x =即

2

y ==时取等号. （4）因为2x y xy +=，所以121y x +=，然后1242=(+2y)(+)=48x y x y x y x y x

+++≥，当且仅当4x y y x

=即24x y ==时取等号.例2：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求

1213

x y +++的最小值；（2）已知,x y R *∈，1x y +=，求2211x y x y +++的最小值；（3）已知,x y R *∈，1x y +=，求1223

x y y +++的最小值；（4）已知,x y R *∈，231x y +=，求123x y y +++的最小值； 【解析】这四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数.

【答案】（1）整式变形成113x y +++=，

12112132(1)(13)()(12)1135133133

y x x y x y x y x y +++=++++=+++≥+++++++，当且仅当32(1)=13

y x x y ++++取等号. （2）2222(1)2(1)1(1)2(1)1111212111111

x y x x y y x y x y x y x y +-+++-+++=+=+-+++-+++++++11111x y =+-++，然后求当1x y +=时，代数式1111

x y +++的最小值. （3）整式变形成235x y y +++=，求代数式1223

x y y +++最小值. （4）假设分式变形为2()(3)

x y y λμλμ+++的形式，保证x 的系数与y 的系数之比等于整式中的系数之比，即2==2+3λλμλμ，，1,=2μλ∴=，分式变形为22223

x y y +++，整式变形为2234x y y +++=，然后求22223

x y y +++的最小值. 例3：（1）已知,x y R *∈，1x y +=，求12x x y +的最小值；（2）已知()0,1x ∈，，求121x x

+-的最小值；

【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是2x y

的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。

【解析】（1）122211x x y x y x x y x y x y ++=+=++≥+2x y y x

=时取等号.（2）因为(1)1x x +-=，然后求121x x

+-的最小值. 三、达标与拓展

1．若正数x ，y 满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（

）A ．524

B ．528

C ．5

D ．6

【解析】 正数x ，y 满足xy y x 53=+，

15153=+∴y x ()319412313343455555555y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当y

x x y 53512=时取等号即y x 43+的最小值是5.【答案】C.

2.设00，a b >>3a 与3b 的等比中项，则11a b

+的最小值为（ ）A ．8 B ．4 C ．1 D ．14

【解析】3a 与3b 的等比中项，所以1a b +=，1111()()2224a b a b a b a b b a

+=++=++≥+=.【答案】B．

3.已知,x y 均为正实数，且32x y +=，则2x y xy +的最小值为 ．

【解析

】试题分析：32721217(3)()2

22y x x y x y x y xy x y +++=++⋅=≥=+，当且仅当3232x y y x x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩

即x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，即2x y xy +

的最小值是72．4.已知00>>y x ，，且121=+y

x ，若m y x ≥+2恒成立，则实数m 的取值范围是 ，当m 取到

最大值时=x .

【解析】恒成立问题，求2x y +的最小值，即为“1的替换”,答案为：(]8，∞-，2；5．已知的最小值是则b

a b a b a 3a 1b 21,1,0,0+++=+>>__________. 【解析】令，（（)3a )a 2a b y b x b +++=+解得5152==y x ，.()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+++b b a b a b a a b a 3a 121)3(51252b 3121

()())3(5)2(2)2(53253b 3a 5b a 2225353b a b a b a b a b a b a ++⋅+++≥++++++=）（5

223+=当()()）

（b 3a 5b a 22253++=++b a b a 即())2(23a b a b +=+取等号.6.已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b

+++取到最小值为 ． 【解析】试题分析：令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴

13154322

5λλμλμμ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩

，∴111112312(3)34()[(34)(3)][3433435555343a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

+++=+⋅+++=+++++++

+3355+≥=，当且仅当212(3)34=343a b a b a b a b

a b +=⎧⎪++⎨⎪++⎩时，等号成立，即

11343a b a b +++

的最小值是35

+． 7.已知实数x ，y 满足13422=++xy y x ，则y x +2的最大值为 ． 【解析】 实数x ，y 满足13422=++xy y x ，

xy xy y x +=++∴14422，()222221122112⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⋅⋅+=+∴y x y x y x ，解关于y x +2的不等式可得

71422≤+y x ，故答案为：7

142．