基本不等式中“1的妙用教师版PDF

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基本不等式中“1的妙用”

基本不等式中“1 的妙用”一、考法解法命题特点分析此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式①的值已知，求另一个代数式②的最小值，其中两个代数式一个是整式 ax + by ，一个是分式mx + ny ，当然会在此基础上进行变形。

解题方法荟萃主要是凑出可以使用基本不等式的形式： x y + y x的形式，多数情况下是让两个代数式相乘。

二、典型题剖析例 1：（1）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = 1，求1x +2y 的最小值；（2）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = 3 ，求1x + 2y 的最小值；（3）已知 x , y ∈ R * ，3x +2y = 2 ，求 6x + 2 y 的最小值；（4）已知 x , y ∈ R * ， x + 2 y = xy ，求 x + 2 y 的最小值；【解析】这四个题目中，（1）是“1 的替换”的最基础题目，已知整式的值为 1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了 3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。

1 +2 = (x + 2 y )( 1 + 2) = 1+ 2x + 2 y + 4 ≥ 5 + 2= 9 【答案】（1） 4 x y x y xy当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号1 21 (x +2 y )( 1 2 1 2x 2 y1（2）+=+) =（）（）1+ + + 4 ≥5 + 2 4 = 3x y 3 x y x 3 3 y当且仅当2y x = 2x y即 x = y = 13 时取等号（3） 6x + 2 y =12 (3x +2y )(6x + 2 y ) = 9 +3x y + 6y x+ 2 ≥ 18 + 626x 3y = x = y = 3 2+2当且仅当即 2 时取等号 y x 21（4）因为 x + 2 y = xy ，所以1y + 2x = 1，然后 x + 2 y =(x +2y)( 1y + 2x )= x y + 4x y+ 4 ≥ 8当且仅当x y = 4x y即 x = 2 y = 4 时取等号例 2：（1）已知 x , y ∈ R * ， x + y = 1，求 x1+1 + y 2+ 3 的最小值；*， x + y = 1，求 x 2 y 2（2）已知 x , y ∈ R + 的最小值；x +1 y + 1（3）已知 x , y ∈ R * ， x + y = 1，求 1 + 2的最小值；2x + y y + 3（4）已知 x , y ∈ R *， 2x + 3y = 1，求 1 + 2的最小值；x + y y + 3【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。

数字“1”的妙用

数字“1”的妙用作者：章立来源：《中学课程辅导·教学研究》2018年第36期摘要：数字“1”在我们学习过程中是我们接触最早的数字也是最简单的数字。

随着知识的积累，我们不难发现，“1”有不同的用处。

高中知识点繁多，题目灵活机动，而“1”是多功能的，扮演着重要的角色。

最常见的是在三角函数中的应用，不等式中的应用和多项式整除中的应用。

许多与“1”有关的关系式，在数学解题时，常常可以将“1”转化成不同形式的关系式，从而把问题简单化。

关键词：三角函数;不等式;妙用中图分类号：G633.6; ;文献标识码：A; ;文章编号：1992-7711（2018）12-0121一、数字“1”在三角函数中的妙用在这个例题中有个暗含的条件就是毕达哥拉斯定理1=sin2α+cos2α，在很多题中都不会直接给这个条件的。

从上例我们可以看出和数字“1”有关的一些关系式经常和其他知识点联系起来，就像三角函数在数学中属于做题工具。

有些题目借助这些关系可以让题目变得简单化。

二、数字“1”在不等式中的妙用在高中数学中，不等式是重要的内容之一，而平均值不等式和柯西不等式又是不等式中的重难点。

所以平均值不等式和柯西不等式是高中数学中的重中之重，而平均值不等式和柯西不等式与“1”有关的内容越来越多同样也越来越重要了。

从近几年全国各地的高考试题中或者数学竞赛中与数字“1”有关的平均值不等式和柯西不等式的题目成了热点，同时出现的种类越来越多、难度不等灵活性也高了很多。

应用的方法也越来越多，如：代换法又分成直接代换，变换条件再用代换法，还有创造条件再代换。

一般直接代换的题目比较简单，现在大家越来越重视后两种代换的方法了。

添项、拆项，添项的方法也有很多，有的是添加数字“1”，这有很多形式，加“1”再减“1”，减“1”再加“1”，乘“1”，除“1”等形式。

拆项的方法主要表现在把“1”拆成几个数的和，或把“1”拆成几个数的乘积。

在证明不等式时最常用的是放大缩小，在放缩的时要放缩适当，放得过大或缩的过小都很难使不等式成立。

基本不等式的运用技巧之“1”的几种妙用

基本不等式的运用技巧之“1”的几种妙用
基本不等式除了“1”的妙用，我们还总结了很多。

都在《高一必掌握的19个核心专题》中。

【纯word版】需要请私信，彻底解决学生所有的痛点！
巧用“1”在解决基本不等式问题中有着重要的作用，但是对于学生来讲却一直是一个难点，究其原因，学生更愿意去记住一个固定的解题技巧，进而慢慢地就形成了思维定势．基本不等式解题的关键还是要关注“一正二定三相等”的条件，学生要有比较强的审题意识和目标意识，结合具体的题型，选择最合适的“1”的巧用方法．。

浅谈“1＂在不等式中的妙用

＋）（＋）：１＋９０，＋
一
ｎ
０＋９ｍ＋９＇１
－＿－
ｎ
＋一
ｍ
ｎ
ｒｎｎ
ｍ
ｎ
案：ｍ＝３，＝６时；ｍ＋ｎ的最小值是９）
１０＋２．
Ｖ
× 旦＝１６
２、已知ｘ＞０，Ｙ＞０且４＋９ｙ＝ｘｙ，求ｘ＋Ｙ的最小值．（参考答案：＝１０，＝１５时；＋Ｙ的最小值是２５）３、已知ｍ，ｎ（ｍ＞０，＞ｏ的等差中项为且
，
当：１，：Ｉ，既：Ｉ，：１时取到等号，
与ｍ＞０， ” ＞０，ｍ＋Ｈ＝１矛盾．正确突击：・．・＞０，．ｒ／＞０，＋” ：１
－．
（１＋）（１＋）：（１＋ ຫໍສະໝຸດ ２ｍ＋）（１＋
）：（２＋旦）（２＋）：４＋２ｎ＋＋１
．．．
５、若０＜＜１口＞ｏ，６＞０，求竺二＋：的最小值．（参考答案：
＋ｂＪ）
４
．
’
＋
＋
＝
误区分析：‘ ． ‘ 踟４时，当＝既＝＝取到等号，又
因为ｒ１＋１）０＋４时
＋
“ １ ”在整体中的应用
既：
时；但由
半
时取到等号，所以：２一既
例：已知＞０，＞０且＋：１，求＋的最小值．解常见误区：・．・ｍ＞Ｏ，＞Ｏ，ｍ＋：１．．．＋２

基本不等式中“1”的妙用(高考专题)

解：由图得
1 3 3 x y 0 当过的交点（1, ）时，z=ax+by取得最大值6，即a+ b 6 2 2 2 6 x 2 y 3 0 2 3 2 3 3 1 13 3b 3a 25 则 a b a b a b 2 6 2 a b 12 12 当且仅当a=b= 时等号成立 5 2 3 25 即的最小值为 a b 12
练习
已知a,b是实数，且a+b=-2，求 a 2 + b 2的最大值
已知a,b,c都是正实数，且a+b+c=3，求证：a + b + c 3．
总结
1.体验1的妙用，拓展数学思想，有利于解题。 2.反复理解基本不等式的“一正，二定，三相等”，验证避免进入错误陷阱。
2 1 1 3a a 10 2 10 2b b 2 a 3b a 3b 2 3 a 2b 3 2b a 当且仅当时，等号成立取最小值，即a=2b代入（1）得 a 2b 1 1 1 1 1 b= , a , c 1 4 2 2 4 4
基本不等式中“1”的妙用
高三数学复习
知识点复习：
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2
a ，b∈R ＋ (1)基本不等式成立的条件： ________ ． a＝b 时取等号． (2)等号成立的条件：当且仅当________
2．几个重要的不等式
2ab a，b∈R)． (1)a2＋b2≥________(
解：
a b c 1 1 1 1 a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 1 a b c a b c bc ac ab b c a c a b 2 2 2 2 2 2 8 a b c a a b b c c 当且仅当a b c时，等号成立 1 1 1 1 1 1 的值域为[8,+) a b c

“1”在数学问题中的妙用

关键词:空集ꎻ错解ꎻ剖析中图分类号:Ｇ６３２文献标识码:Ａ文章编号:１００８－０３３３(２０１８)２８－００２４－０２
空集是一个极其特殊又非常重要的集合ꎬ它不含任何元素ꎬ正因为空集的特殊性ꎬ 常常成为各类考试的热点. 而在解题过程中常因忽视空集的特殊性而导致错解ꎬ 所以我们在学习过程中一定要谨慎小心.
例４房间里有４个人ꎬ假定每个人的生日在１２个
收稿日期:２０１８－０４－１５作者简介: 王嫣然(２００１. ３－ ) ꎬ女ꎬ河北省衡水市人ꎬ在校学生.
— ２３ —
月中的某一个月是等可能的ꎬ求至少有两个人的生日在
同一个月的概率.
解设事件Ａ表示至少有两个人的生日在同一个
月ꎬＰ( Ａ)
＝１
－
Ｐ( Ａ)
＝
１
－
１２
× １１ × １０１２４
×９
＝
４１９６
.
五、整式的化简求值
对整式进行化简求值ꎬ有时可以利用“１” 进行恒等变
形从而解决问题.
例５
已知
ａ
＋
ｂ
＋
ｃ
＝
０ꎬ 求
ｃ
æ１
ç
èａ
＋
１ｂ
ö
÷
ø
＋
ｂ
æ１
ç
èｃ
＋
１ａ
ö
÷
ø
＋
ａ
æ
ç
è
１ｂ
＋
１ｃ
ö÷的值. ø
解
原式
＝
ｃ
æ
ç
è
１ａ
＋
１ｂ
＋
１ｃ
ö

数字1的妙用

数字1的妙用本科毕业论文（设计）题目：数字“1”的妙用学生：学号：学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学入学时间： 2012 年 09 月 13 日指导教师：柏春松职称：讲师完成日期： 2016 年 4 月 1 日诚信承诺我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《数字“1”的妙用》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。

承诺人（签名）：年月日数字“1”的妙用摘要：数字“1”在我们学习过程中是我们接触最早的数字也是最简单的数字。

随着知识的积累我们不难发现“1”有不同的用处。

最常见的是在三角函数中的应用，积分中的应用，不等式中的应用和多项式整除中的应用。

许多与“1”有关的关系式，在数学解题时，常常可以将“1”转化成不同形式的关系式，从而把问题简单化。

关键词：三角函数；积分；不等式；多项式整除The Magical Effect about the Number“1”Abstract:The number "1" is the first number we contact and is also the simplest numbers in our learning process. We are not difficult to find that the number "1" has different use with the accumulation of knowledge. The most common application s are in the application of trigonometric function, the application of the integral, the application of inequality and the application of polynomial divisible. We often can be "1" into different forms of expression in mathematical problem solving, so we can simplify many problems.Key words:trigonometric function; integral inequality; divisibility of polynomial1 引言“1”在阿拉伯数字中很渺小，在生活中可能会帮你一个大忙呢。

中学数学中“1”的妙用

≥14 + 2 y 4x + 2 z 9x + 2 4z 9 y = 36 .
x y xz
yz
当且仅当 y = 4x, z = 9x , 4z = 9 y x yx z y z
即 x = 1 y、x = 1 z 时等号成立.
2
3
又 x + y + z =1,
即当
x=
1 、y =
6
1 、z
3
=
1 2
时,
所以当
x=
a
a +
b
时,
ymi n
=
a2
+
2ab +
b2
．
例 4 设 x、y、z 均为正实数，且 x + y + z = 1，
求 1 + 4 + 9 的最小值. xyz
解： 1 + 4 + 9 = ( x + y + z)(1 + 4 + 9)
x yz
xyz
=14 + ( y + 4x) + (z + 9x) +(4z + 9 y) x y xz y z
1 妙用于三角函数求值与证明
“1”在三角函数求值与证明中的妙用主要是指利用 sin2 α+ cos2 α=1、 csc 2α cot2 α= 1、 sec 2α tan2 α= 1等公式进行“1”代换.
例 1 已知 tanα= 3 ，求 sinαcosα的值. 分析：解题的基本方法是化弦为切，但此处化弦为切并不容易，原因在于求解目标不是分式形式．若将 sinαcosα 看作分母为 1 的分式，而 1 = sin2 α+ cos2 α，则问题迎刃而解. 解：由 tanα= 3 得 sinαcosα= sinαcosα

“1”在中学数学中的妙用

‘ ｉ２＋ＣＳ０＝１则ｓｎ０／Ｏ／．
ＣＳ０＝ｓＯ／ｉ卢＋ｓｎｉｙ≥ ２ｉｓ＞０ｎｓｎｉｎ，ＣＳ卢＝ｓ＋ｓ ≥ ２ｎ０ｓ＞０Ｏｉｎｉ０ｎ／ｓｉｉｎ／，ＣＳ＝ｓ＋ｓ ≥ ２ｉ０ｓｆ＞０Ｏｉ０ｉ卢ｎ／ｎｓ／ｉｌｎｎ．
研究，现这些问题中的 “ ” 发１的转换其实并不复杂．键时如关
ｃ ≥ａｂｂ
．
，欲证Ａ≥Ｂ，只须证
≥ １Ａ＞０（
Ｂ０Ａ篇）＝，
ｃ
ａ
，
＝（卜卜（（
问题相关的数学式．纳起来在高中数学中１转归 “ ” 要是在ｊ角函数、等式、析几何、列组合中应用１主不解排较多．面我们就“ ” 这些问题巾的应用举例说明．下１在
．
．
（利用１＝ｃｓ０＋ｓｎ０ｏ２／ｉ２／
，
‘
－
・
８ｏ２＝３ｃｓ
㈣ｓ０２／
．ａ２＝１＋ｔｎ０ｊｉ＝ａｒＩｎａ／ｓｎ０『／
・．．
）
ｃｏｓ
： ±
．
Ｊ＋ｔｎａ
４
已知条件可化为：ｉ＋ｓｎ＋ｓｎＴ＝１ｓｎ０ｉ／ｉ．
（４＋Ｂ＝４。而求得的．５）
二、不等式中的应用在例３已知ａｂ，，ｃ都是正实数，证求证明Ａ设Ａ＝ｎｃＢ＝ａ，ｂｂ

例谈“1”在解高中数学题中的妙用

知识导航“1”是自然数中最基本、最简单的数字，看似不起眼，但在高中数学解题中却有着非常巧妙的用处.在解题中，巧妙利用“1”进行代换，往往能够起到“四两拨千斤”的效果.本文重点探讨了“1”在解答三角函数、函数、不等式问题中的应用，旨在帮助同学们掌握一种解题的技巧.一、“1”在解答三角函数问题中的妙用三角函数问题的命题方式千变万化，在进行三角恒等变换和化简函数式时，经常需要灵活运用不同的公式，而巧妙运用“1”进行代换，能有效地简化运算，提升解题的效率.解答三角函数问题常用到的“1”的代换式有sin2α+cos2α=1、tanπ4=1等.例1.已知α为第三象限角，且tanα=2，求sinα.解：{sinα=2cosα，sin2α+cos2α=1，解得sinα=.又因为α为第三象限角，所以sinα=.题目中给出的已知条件有限，要求得sinα的值，需要进行“1”的代换，运用同角的基本关系sin2α+cos2α=1，建立关于sinα、cosα的方程组，解方程组便可求得sinα的值.例2.求值：1+tan15°1-tan15°.解析：15o不是特殊角，很难求得目标函数式的值，需要借助特殊角45o将其转化，可将“1”替换成tan45°，运用两角和的正切公式tan()α+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ来求值.解：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan()45°+15°=tan60°=3.例3.求函数f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最大值，并求出此时x的值.解析：这是一道三角函数的最值问题，需首先利用同角的基本关系sin2α+cos2α=1、正弦的二倍角公式以及辅助角公式将其化简，然后运用三角函数的性质求得最值.解：f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=sin2x+cos2x+2cos2x+2sin x cos x=sin2x+cos2x+2=2sinæèöø2x+π4+2，当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8()k∈Z时，y max=2+2.在解答三角函数问题时，同学们只要注意联想，将函数式与“1”相关的式子关联起来，合理进行转化、代换，就能快速解题.二、“1”在解答函数问题中的妙用我们知道，log a1=0()a>0,a≠1、a0=1()a>0,a≠1、y=1()x∈R表示的是一条的直线，因此“1”在解答函数问题中扮演着一个非常重要的角色.在解函数题时，我们可以根据“1”的这些性质、特点，来比较函数值的大小、判断函数的增减性等.例4.判断log41.5的正负.解析：判断log41.5的正负，实际上就是比较log41.5和0的大小，由于log a1=0()a>0,a≠1，所以只需要比较log41.5和log41的大小即可.由于对数函数log a x()a>0,a≠1在a>1时是增函数，且1.5>1，所以log41.5>log41,由此可以判断log41.5为正数.例5.设b>a>1，若x1a≥x2b>1，证明：log a x1>log b x2.解析：两个函数式的底数、真数均不相同，直接比较这两个数的大小较为困难，我们需将“1”作为中间值，借助“1”来进行转化、代换，运用指数函数的单调性来判断两数的大小.证明：设x1a=k1，x2b=k2，则k1≥k2>1，由b>a>1可知y=log a x、y=log b x均为增函数，所以log a x1=log a()ak1=1+log a k1≥1+log a k2>1+log b k2，又1+logbk2=log b()bk2=log b x2，所以logax1>log b x2.三、“1”在解答不等式问题中的妙用不等式证明问题是历年来高考数学试题中的重点题目.由于不等式问题中的条件、结论缺乏，指向不明确，常常让同学们一筹莫展.如果根据已知条件，巧妙地利用“1”进行代换，如构造a∙1a=1、ln1=0、ln e=141解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42。

1在解题中的妙用

9999 9998 99 98
99 9999 98 9998
解析：将②式左边的每一大项分别加 1，然后进行处理．
1 将②式变形为 [a(

bc
1)
1]
即 a(1 1 1 ) b(1 1 1) c(1 1 1) 0 ， bca cab abc
∴ (a b c)( 1 1 1) 0 ． abc
(2n 2n1 2n2 …… 24 23 22 2) (2n1 2n2 2n3 …… 23 22 2 1) 2n 1．
例 7 数 N＝(2＋1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)·……·(2128＋1)＋1 的个位数是（）． (A)2 (B) 4 (C)6 (B)8 解析：利用 1＝2－1，在原式前面乘以(2－1)后，再反复运用平方差公式． N＝1×(2＋1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)·……·(2128＋1)＋1 ＝(2－1) (2＋1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)·……·(2128＋1)＋1 ＝(22－1) (22＋1) (24＋1) (28＋1)·……·(2128＋1)＋1 ＝(24－1) (24＋1) (28＋1)·……·(2128＋1)＋1 ＝…… ＝(2128－1)·(2128＋1)＋1 ＝2256＝1664．因为 1664 的个位数是 6，故选（C）．
1
y
例 8 化简 (a 1)(a 2 1)(a 4 1)(a8 1) (a 2n 1) （其中 a≠1，n 为正整数）．

解析：利用1 a 1 ，在原式前面乘以 a 1 后，再反复运用平方差公式，本题是例 6 的
一般化．

数字“l”的妙用

数字“l”的妙用作者：章立来源：《中学课程辅导·教学研究（下）》 2018年第12期摘要：数字“1”在我们学习过程中是我们接触最早的数字也是最简单的数字。

随着知识的积累，我们不难发现，“1”有不同的用处。

高中知识点繁多，题目灵活机动，而“1”是多功能的，扮演着重要的角色。

最常见的是在三角函数中的应用，不等式中的应用和多项式整除中的应用。

许多与“1”有关的关系式，在数学解题时，常常可以将“1”转化成不同形式的关系式，从而把问题简单化。

关键词：三角函数；不等式；妙用中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2018)12-0121一、数字“1”在三角函数中的妙用从上例我们可以看出和数字“1”有关的一些关系式经常和其他知识点联系起来，就像三角函数在数学中属于做题工具。

有些题目借助这些关系可以让题目变得简单化。

二、数字“1”在不等式中的妙用在高中数学中，不等式是重要的内容之一，而平均值不等式和柯西不等式又是不等式中的重难点。

所以平均值不等式和柯西不等式是高中数学中的重中之重，而平均值不等式和柯西不等式与“1”有关的内容越来越多同样也越来越重要了。

应用的方法也越来越多，如：代换法又分成直接代换，变换条件再用代换法，还有创造条件再代换。

一般直接代换的题目比较简单，现在大家越来越重视后两种代换的方法了。

添项、拆项，添项的方法也有很多，有的是添加数字“1”，这有很多形式，加“1”再减“1”，减“1”再加“1”，乘“1”，除“1”等形式。

拆项的方法主要表现在把“1”拆成几个数的和，或把“1”拆成几个数的乘积。

在证明不等式时最常用的是放大缩小，在放缩的时要放缩适当，放得过大或缩的过小都很难使不等式成立。

这一题先在根式内乘“1”，利用任何数乘“1”等于其本身的特点，恰好可以用均值不等式把根式放大，然后判断等号是否成立，在求最后得数用到了代换，这题的方法比较综合。

妙用配凑法解决最值问题

ʏ来丽莹基本不等式是解决最值问题的方法之一,基本不等式成立的条件是一正,二定,三相等 ,其中正和相等是基础, 定是解题的关键㊂因此,寻找积定解决和最小问题,也可以寻找和定解决积最大问题㊂下面就常用的配凑方法进行举例分析㊂一㊁配凑之 1 的应用例1 若正数x ,y 满足x +2y -2x y =0,则x +2y 的最小值为㊂解:由正数x ,y 满足x +2y -2x y =0,可得12y +1x =1,且12y>0,1x >0㊂因为x +2y =(x +2y )12y +1x()=2+x 2y +2y x ȡ2+2x 2y ㊃2y x =4,当且仅当x 2y =2y x,即x =2,y =1时等号成立,所以x +2y 的最小值为4㊂评析:利用基本不等式解题时, 1的应用很广泛,尤其是配凑成整式和和倒数和并存的结构,如题中 x +2y和 12y +1x 相乘后会形成积定和最小的结构㊂二㊁配凑之减元法例2 设y >-2且x (y +2)=1,则x +y 的最小值为㊂解:因为y >-2,所以y +2>0㊂由x (y +2)=1,可得x =1y +2㊂因为x +y =1y +2+y =1y +2+(y +2)-2ȡ21y +2㊃(y +2)-2=0,当且仅当1y +2=y +2,即y =-1时取等号,所以x +y 的最小值是0㊂评析:减元法是解决多变量最值问题的常用方法,这里通过加减2,形成积定和最小的结构㊂三㊁配凑之分离因式法例3 已知x ȡ52,则y =x 2-4x +52x -4的最小值为㊂解:y =x 2-4x +52x -4=(x -2)2+12(x -2)=12[(x -2)+1x -2]㊂因为x ȡ52,所以x -2>0,所以12[(x -2)+1x -2]ȡ12㊃2(x -2)㊃1x -2=1,当且仅当x -2=1x -2,即x =3时取等号㊂故y =x 2-4x +52x -4的最小值为1㊂评析:解答本题的关键是分离因式法的灵活应用,分离后能直接形成积定和最小的结构㊂四㊁配凑之齐次同除法例4 设正实数x ,y ,z 满足x 2-3x y +4y 2-z =0,则x y z的最大值为㊂解:正实数x ,y ,z 满足x 2-3x y +4y 2-z =0,则z =x 2-3x y +4y 2㊂x y z =x y x 2-3x y +4y2=1x y +4y x -3ɤ12x y ㊃4y x-3=1,当且仅当x =2y >0时取等号㊂故x yz的最大值为1㊂评析:类似 x yx 2-3x y +4y2的齐二次式结构,通常采取分子㊁分母同除以某个二次式,形成积定和最大的结构㊂作者单位:浙江省杭州第四中学(责任编辑郭正华)71知识结构与拓展高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

对_不等式证明中_1_的巧用_一文的注解与补充

中学生数学·２０１３年８月上·第４７１期（高中）思路与方法安徽省灵璧县第一中学（２３４２００）　郑良文［１］为证明不等式，巧妙地对“１”变形，使其符合运用均值不等式及等号成立的条件．为了使同学们更清楚地看到问题的本质，下面对原文给予注解（另解）与补充．例１　已知ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求证：１ａ＋２ｂ＋４ｃ≥１８．（文［１］例１）分析　根据均值不等式中“和一定时积最大；积一定时和最小”，需要构造积一定的某些量，分析题设条件与不等式左端结构特征，对式子乘“１”（进行“１”的代换）．证明　１ａ＋２ｂ＋４ｃ＝１·１ａ＋２ｂ＋４（）ｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）·１ａ＋２ｂ＋４（）ｃ＝１＋２ａｂ＋４ａｃ＋ｂａ＋２＋４ｂｃ＋ｃａ＋２ｃｂ＋４＝７＋ｂａ＋２ａ（）ｂ＋４ａｃ＋ｃ（）ａ＋４ｂｃ＋２ｃ（）ｂ≥１１＋６槡２．当且仅当ｂａ＝２ａｂ，４ａｃ＝ｃａ，４ｂｃ＝２ｃｂ，即ｂ＝槡２ａ，ｃ＝槡２ｂ，ｃ＝２ａ，代入ａ＋ｂ＋ｃ＝１，解得　ａ＝３－槡２７，ｂ＝３槡２－２７，ｃ＝６－２槡２７，所以１ａ＋２ｂ＋４ｃ≥１８成立．点评　对于分式形式的不等式，往往利用“１”的代换，其目的是出现两个互为“倒数”的数，其积一定，为使用均值不等式创设条件，一定要注意取等条件的检验．例２　设ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，求证：ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．（文［１］例６）分析　为约去所有的字母，必须凑出与分母相同的因式．证明　ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ＝ａｂ＋ｃ＋１＋ｂｃ＋ａ＋１＋ｃａ＋ｂ＋１－３＝（ａ＋ｂ＋ｃ）１ｂ＋ｃ＋１ｃ＋ａ＋１ａ＋（）ｂ－３＝１２［（ａ＋ｂ）＋（ｂ＋ｃ）＋（ｃ＋ａ）］·１ｂ＋ｃ＋１ｃ＋ａ＋１ａ＋（）ｂ－３＝１２ａ＋ｂｂ　＋（ｃ＋ａ＋ｂｃ＋ａ＋１＋１＋ｂ＋ｃｃ＋ａ＋ｂ＋ｃａ＋ｂ＋ｃ＋ａｂ＋ｃ＋１＋ｃ＋ａａ＋）ｂ－３＝１２３＋ａ＋ｂｂ＋（ｃ＋ｂ＋ｃａ＋［）ｂ＋ａ＋ｂｃ＋ａ＋ｃ＋ａａ＋（）ｂ＋ｂ＋ｃｃ　＋（ａ＋ｃ＋ａｂ＋）］ｃ－３≥９２－３＝３２．点评　文［１］利用［（ａ＋ｂ）＋（ｂ＋ｃ）＋（ｃ＋ａ）］１ｂ＋ｃ＋１ｃ＋ａ＋１ａ＋（）ｂ≥３３（ａ＋ｂ）（ｂ＋ｃ）（ｃ＋ａ槡）·３３１ｂ＋ｃ·１ｃ＋ａ·１ａ＋槡ｂ，过程更加简洁，取等条件仍然成立．为使分母更加简捷，可采用代数换元．解答如下：令ｘ＝ｂ＋ｃ，ｙ＝ｃ＋ａ，ｚ＝ａ＋ｂ，解得　ａ＝ｙ＋ｚ－ｘ２，ｂ＝ｚ＋ｘ－ｙ２，ｃ＝ｘ＋ｙ－ｚ２．所以　ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ＝ｙ＋ｚ－ｘ２ｘ＋ｚ＋ｘ－ｙ２ｙ＋ｘ＋ｙ－ｚ２ｚ中学生数学·２０１３年８月上·第４７１期（高中）思路与方法＝１２ｙｘ＋ｘ（）ｙ＋ｚｘ＋ｘ（）ｚ＋ｚｙ＋ｙ（）ｚ［］－３≥３２，当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ，即ａ＝ｂ＝ｃ时取等号．例３　设０＜ｘ＜１，求证：ａ２ｘ＋ｂ２１－ｘ≥（ａ＋ｂ）２．（文［１］例７）分析　为了约去分母，把１拆成两个正数ｘ与１－ｘ的和．证明　ａ２ｘ＋ｂ２１－ｘ＝［ｘ＋（１－ｘ）］ａ２ｘ＋ｂ２１－（）ｘ＝ａ２＋ｘｂ２１－ｘ＋ａ２（１－ｘ）ｘ＋ｂ２≥ａ２＋ｂ２＋２ｘｂ２１－ｘ·ａ２（１－ｘ）槡ｘ＝ａ２＋ｂ２＋２｜ａ｜·｜ｂ｜≥（ａ＋ｂ）２．点评　本例容易出现错解ａ２ｘ＋ｂ２１－ｘ≥２｜ａｂ｜ｘ（１－ｘ槡）≥２｜ａｂ｜ｘ＋１－ｘ２＝４　ａｂ，这里使用了两次均值不等式，取等的条件未必能同时满足．利用“１”的代换可证明一般结论：已知ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ∈Ｒ＋，ａ１，ａ２，…，ａｎ∈Ｒ，ｎ∈Ｎ＊且ｘ１＋ｘ２＋…＋ｘｎ＝１，则有ａ２１ｘ１＋ａ２２ｘ２＋…＋ａ２ｎｘｎ≥（ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ）２．当且仅当｜ａ１｜ｘ１＝｜ａ２｜ｘ２＝…＝｜ａｎ｜ｘｎ时取等号．（柯西不等式）例４　已知０＜ａ＜１，求证：１４ａ＋１１－ａ≥９４．（文［１］例８）证明　１４ａ＋１１－ａ＝１４１ａ＋４１－（）ａ＝１４１ａ＋４１－（）ａ·１＝１４１ａ＋４１－（）ａ·［ａ＋（１－ａ）］＝１４１＋１－ａａ＋４ａ１－ａ（）＋４≥１４５＋２１－ａａ·４ａ１－槡（）ａ＝９４．当且仅当１－ａａ＝４ａ１－ａ，即ａ＝１３取时等号．点评　本例实际上是例题３的特例，按照分母进行拆分思路更自然．例５　已知ａ，ｂ∈Ｒ＋，且ａ＋ｂ＝１，求证：ａ＋１槡２＋ｂ＋１槡２≤２．（文［１］例２）分析　为脱去左端的根号，将ａ＋１２，ｂ＋１２转化为１·（ａ＋１２），１·（ｂ＋１２），再运用均值不等式槡ａｂ≤ａ＋ｂ２．证明　因为ａ，ｂ∈Ｒ＋，且ａ＋ｂ＝１，所以　ａ＋１槡２＝１·ａ＋１（）槡２≤１＋ａ＋１２２＝３４＋ａ２①同理　ｂ＋１槡２＝１·ｂ＋１（）槡２ ≤１＋ｂ＋１２２＝３４＋ｂ２②由①＋②，并注意到ａ＋ｂ＝１，得ａ＋１槡２＋ｂ＋１槡２≤３２＋１２（ａ＋ｂ）＝２．当且仅当ａ＝ｂ＝１２时取等号．点评　本例也可将左端平方脱去根号，只使用一次均值不等式．证明中充分利用对称性，寻找等号成立的条件ａ＝ｂ＝１２，配凑系数“１”，逆用均值不等式脱去根号．使用多次均值不等式，取等条件同时具备是不等式证明与求解的关键，如文［１］例３、５．例６　已知ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ＋，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１，求中学生数学·２０１３年８月上·第４７１期（高中）思路与方法４ａ槡＋１＋４ｂ槡＋１＋４ｃ槡＋１的最大值．分析　因为ａ，ｂ，ｃ的地位对等，则取得最大值时ａ，ｂ，ｃ相等，此时应有４ａ＋１＝７３．解　４ａ槡＋１＝槡２１７·７３·（４ａ＋１槡）≤槡２１７·７３＋４ａ＋１２＝槡２１７·５３＋２（）ａ①同理　４ｂ槡＋１＝槡２１７·７３·（４ｂ＋１槡）≤槡２１７·７３＋４ｂ＋１２＝槡２１７·５３＋２（）ｂ②４ｃ槡＋１＝槡２１７·７３·（４ｃ＋１槡）≤槡２１７·７３＋４ｃ＋１２＝槡２１７·５３＋２（）ｃ③由①＋②＋③，并注意到ａ＋ｂ＋ｃ＝１，得４ａ槡＋１＋４ｂ槡＋１＋４ｃ槡＋１≤槡２１７［５＋２（ａ＋ｂ＋ｃ）］＝槡２１．当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ＝１３时取等号．点评　本例类同上例，容易出现以下错误，４ａ槡＋１＝１·（４ａ＋１槡）≤１＋４ａ＋１２＝１＋２ａ①，同理４ｂ槡＋１＝１·（４ｂ＋１槡）≤１＋４ｂ＋１２＝１＋２ｂ②，４ｃ槡＋１＝１·（４ｃ＋１槡）≤１＋４ｃ＋１２＝１＋２ｃ③．由①＋②＋③，并注意到ａ＋ｂ＋ｃ＝１，得４ａ槡＋１＋４ｂ槡＋１＋４ｃ槡＋１≤３＋２（ａ＋ｂ＋ｃ）＝５．取等条件（ａ＝ｂ＝ｃ＝０与题设矛盾）已改变，仍然“妙”用“１”，实乃犯了刻舟求剑的错误．例７　已知ａ，ｂ∈Ｒ＋，且ａ＋ｂ＝１，求２ａ槡＋１＋３ｂ槡＋２的最大值．分析　为脱去左端的根号，拟运用均值不等式槡ａｂ≤ａ＋ｂ２，但ａ，ｂ不对称，使用待定系数法来确定常数ｍ，ｎ值．解　设常数ｍ＞０，ｎ＞０，则（２ａ＋１）槡ｍ＝２ｍ　ａ＋１（）槡２≤ａ＋１２＋２ｍ２，（３ｂ＋２）槡ｎ＝ｂ＋２（）３３槡ｎ≤ｂ＋２３＋３ｎ２，所以（２ａ＋１）槡ｍ＋（３ｂ＋２）槡ｎ≤ａ＋１２＋２ｍ２＋ｂ＋２３＋３ｎ２＝１３６＋２ｍ＋３ｎ２．等号成立的条件是２ｍ＝ａ＋１２，３ｎ＝ｂ＋２３，又　ｍ＝ｎ（２ａ槡＋１，３ｂ槡＋２的系数相同），解得　ｍ＝ｎ＝１３３０．所以２ａ槡＋１＋３ｂ槡＋２≤３０槡１３·１３６＋２ｍ＋３ｎ２＝槡３９０６．此时ａ＝２ｍ－１２＝１１３０，ｂ＝３ｎ－２３＝１９３０．点评　本例确定正常数ｍ，ｎ是解题的关键，利用柯西不等式过程更简捷．我们在学习时，要通过对问题的思考、变式的探究，透过现象看到问题的本质，争取做一题，通一类．参考文献［１］赵建勋．不等式证明中的“１”的巧用．中学生数学，２０１２．１（上）（责审　王雷）。

高考数学复习点拨 “1”的妙用

高考数学复习点拨 “1”的妙用2a b +解题时，有时若能巧妙利用“1”的代换，常常能使问题得以巧妙的解决．本文选解几例，供大家欣赏．例1 已知1a b c ++=，（其中a b c ，，均为大于零的实数），求111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的取值范围．解：1a b c ++=，111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111a b c a b c a b c a b c ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b c a c a b a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8=≥．当且仅当a b c ==时，等号成立．又a b c ，，能同时相等， ∴111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值域为[)8+，∞．例2 已知00a b >>，，且191a b+=，求a b +的最小值．解：191a b +=，199()191016b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++++= ⎪⎝⎭≥．当且仅当9b a a b =，191a b+=时，等号成立，即124b a ==，时，等号成立．例3 已知a b ，是实数，且2a b +=- 解：2a b +=-，=21213222a b a b ++++++=+≤132=-+=．当且仅当1a b ==-时，等号成立．∴2．例4 已知a b c ，，都是正实数，且3a b c ++=3．1113222a b c +++=++=．当且仅当a b c ==时，等号成立．例5 已知a b c ，，都是正实数，且1a b c ++=，求证(1)(1)(1)8a b c abc ---≥．证明：1a b c ++=，(1)(1)(1)()()()a b c b c a c a b ∴---=+++．又因为a b c ，，都是正实数，02a b +∴>，02b c +>，02a c +>． ()()()8a b b c a c abc +++∴≥．当且仅当a b c ==时，等号成立．∴(1)(1)(1)8a b c abc ---≥．。