(汇总3份试卷)2020年青岛市某知名实验中学九年级上学期数学期末预测试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．关于x 的一元二次方程x 2+bx-6=0的一个根为2，则b 的值为( )
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程得到关于b 的一次方程，然后解一次方程即可．
【详解】解：把x=2代入程x 2+bx-6=0得4+2b-6=0，
解得b=1．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 2．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得.
【详解】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意，
故选C.
【点睛】
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形.
3．一元二次方程2250x x -+=的根的情况为（ ）
A ．没有实数根
B ．只有一个实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．有两个相等的实数根
【答案】A
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】由题意可知：△=4﹣4×5=﹣16＜1．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式． 4．在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A ．平移、旋转和轴对称
B ．轴对称和平移
C ．平移和旋转
D ．旋转和轴对称
【答案】D 【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案．
【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称．
里外各一个顺时针旋转8次，得旋转．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
5．二次函数y ＝3（x+4）2﹣5的图象的顶点坐标为（ ）
A ．（4，5）
B ．（﹣4，5）
C ．（4，﹣5）
D ．（﹣4，﹣5） 【答案】D
【分析】根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标．
【详解】∵二次函数()2345y x +=-
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣4，﹣5），
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式()2y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）．
6．四张背面完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率为( )
A ．1
B ．34
C ．12
D ．14
【答案】B
【解析】以上图形中轴对称图形有菱形、等腰梯形、圆，所以概率为3÷4=3
4
．故选B
7．某中学组织初三学生足球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排10场比赛，则参加比赛的班级有（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】设共有x个班级参赛，根据每两班之间都比赛一场可知每个班要进行(x-1)场比赛，根据计划安排10场比赛列方程求出x的值即可得答案．
【详解】设共有x个班级参赛，
∵每两班之间都比赛一场，
∴每个班要进行(x-1)场比赛，
∵计划安排10场比赛，
∴x(1)
10
2
x-
=，
解得：x1=5，x2=-4(不合题意，舍去)，
∴参加比赛的班级有5个，
故选：C．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，关键是准确找到描述语，根据等量关系准确的列出方程．此题还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
8．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】（1）是轴对称图形，不是中心对称图形．不符合题意；
（2）不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
（3）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
（4）是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
9．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q 分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ
=1
2
×12×6-
1
2
（6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+1．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故选C．
【点睛】
本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
10．如图的几何体由6个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【详解】从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A 符合题意，
故选A ．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
11．若|a+3|+|b ﹣2|=0，则a b 的值为（ ）
A ．﹣6
B ．﹣9
C ．9
D ．6
【答案】C
【解析】根据非负数的性质可得a+3=1，b ﹣2=1，解得a=﹣3，b=2，所以a b =（﹣3）2=9，故选C ． 点睛：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为1时，这几个非负数都为1．
12．二次函数2y x 的图象向左平移2个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A ．22y x =+
B ．22y x =-
C ．2(2)y x =+
D ．2(2)y x =- 【答案】C
【分析】根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【详解】解：∵二次函数2y x 的图象向左平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，0），
∴新的图象的二次函数表达式是：2(2)y x =+；
故选择：C.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，已知ABC ∠是直角，在射线BC 上取一点O 为圆心、12
BO 为半径画圆，射线BA 绕点B 顺时针旋转__________度时与圆O 第一次相切.
【答案】60
【分析】根据题意，画出旋转过程中，与圆相切时的切线BA 1，切点为D,连接OD ，根据切线的性质可得
∠ODB=90°，然后根据已知条件，即可得出∠OBD=30°，从而求出旋转角∠ABA1．
【详解】解：如下图所示，射线BA1为射线BA与圆第一次相切时的切线，切点为D,连接OD
∴∠ODB=90°
根据题意可知：
1
2 OD BO
=
∴∠OBD=30°
∴旋转角：∠ABA1=∠ABC－∠OBD=60°
故答案为：60
【点睛】
此题考查的是切线的性质和旋转角，掌握切线的性质是解决此题的关键．
14．计算：273
-＝_____．
【答案】23
【详解】解：原式=33323
-=．
故答案为23．
15．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____．
【答案】1或2
【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．
【详解】设BP=x，则PC=3-x，
∵AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠B=180°-∠C=90°，
∴∠B=∠C，
∵AP⊥DP，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∵∠CDP+∠DPC=90°，
∴∠CDP=∠APB ，
∴△CDP ∽△BPA ， ∴AB PB PC CD
=， ∵AB ＝1，CD ＝2，BC ＝3，
∴132
x x =-， 解得：x 1=1，x 2=2，
∴BP 的长为1或2，
故答案为：1或2
【点睛】
此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键． 16．方程22x x =的根是________．
【答案】x 1＝0，x 1＝1
【分析】先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵22x x =，
∴22=0x x -，
∴x(x-1)=0，
x 1＝0，x 1＝1．
故答案为：x 1＝0，x 1＝1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
17．如图，在正方形ABCD 中，1AD =，将ABD ∆绕点B 顺时针旋转45︒得到A BD ''∆，此时A D ''与CD 交于点E ，则DE 的长度为___________.
【答案】22-【分析】利用正方形和旋转的性质得出A ′D=A ′E ，进而利用勾股定理得出BD 的长，进而利用锐角三角
函数关系得出DE的长即可．
【详解】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，
∴A′D=A′E，
∵在正方形ABCD中，AD=1，
∴AB=A′B=1，
∴BD=2，
∴A′D=21
-，
∴在Rt△DA′E中，DE=
'
22 sin45
DA
=-
︒
．
故答案为：22
-.
【点睛】
此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．
18．一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为2米，旗杆的影长为20米，若小青的身高为1.60米，则旗杆的高度为__________米.
【答案】1
【分析】易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．
【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴CE OA 16OA ,DE AB 220
==， 解得OA=1．
故答案为1．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．解方程：
（1）x 2﹣2x ﹣3=0 （2）2x 2﹣x ﹣1=0
【答案】（1）123,1x x ==-（2）121,0.5x x ==-
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）方程整理后，利用配方法即可求解．
【详解】解：（1）x 2﹣2x ﹣3=0，
分解因式得：（x-3）（x+1）=0，
可得（x-3）=0或（x+1）=0，
解得：x 1=3，x 2=﹣1；
（2）2x 2﹣x ﹣1=0， 方程整理得：2
11x x=22
－ ， 21111x x+=+216216－， 219x =416⎛⎫ ⎪⎝
⎭－ ， 开方得：13x =44
⎛
⎫± ⎪⎝⎭－， 13x =44－或13x =44
－﹣， 解得：x 1=1，x 2=﹣0.1．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程解法的因式分解法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 20．为实现“先富带动后富，从而达到共同富裕”，某县为做好“精准扶贫”，2017年投入资金1000万元用于教育扶贫，以后投入资金逐年增加，2019年投入资金达到1440万元．
（1）从2017年到2019年，该县投入用于教育扶贫资金的年平均增长率是多少？
（2）假设保持这个年平均增长率不变，请预测一下2020年该县将投入多少资金用于教育扶贫？
【答案】（1）20%；（2）1728万元．
【分析】（1）设年平均增长率为x ，根据：2017年投入资金×（1+增长率）2＝2019年投入资金，列出方程求解可得；
（2）根据求得的增长率代入求得2020年的投入即可．
【详解】解：（1）设该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为x ，根据题意，得：
1000（1+x ）2＝1440，
解得：x ＝0.2或x ＝﹣2.2（舍），
答：从2017年到2019年，该地投入教育扶贫资金的年平均增长率为20%；
（2）2020年投入的教育扶贫资金为1440×（1+20%）＝1728万元．
【点睛】
本题考查的知识点是用一元二次方程求增长率问题，根据题目找出等量关系式是解此题的关键. 21．如图，抛物线y=ax 2+bx+4(a ≠0)与x 轴交于点B (－3 ，0) 和C (4 ，0)与y 轴交于点A ． (1) a =
，b = ；
(2) 点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 运动，同时，点N 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿BC 向C 运动，当点M 到达B 点时，两点停止运动．t 为何值时，以B 、M 、N 为顶点的三角形是等腰三角形？
(3) 点P 是第一象限抛物线上的一点，若BP 恰好平分∠ABC ，请直接写出此时点P 的坐标．
【答案】（1）13-，13；(2)52530,,21111
t =；(3)511(,)24 【解析】（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可； （2）分三种情况：①当BM=BN 时，即5-t=t ，②当BM=NM=5-t 时，过点M 作ME ⊥OB ，因为AO ⊥BO ，
所以ME ∥AO ，可得：
BM BE BA BO =即可解答；③当BE=MN=t 时，过点E 作EF ⊥BM 于点F ，所以BF=12BM=12
（5-t ），易证△BFE ∽△BOA ，所以BE BF BA BO =即可解答； （3）设BP 交y 轴于点G ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，因为BP 恰好平分∠ABC ，所以OG=GH ，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG ，在Rt △AHG 中，由勾股定理得：OG=
32，设出点P 坐标，易证△BGO ∽△BPD ，所以BO GO BD PD
=，即可解答. 【详解】解：解：（1）∵抛物线过点B (－3 ，0) 和C (4 ，0)，
∴934016440a b a b -+⎧⎨++⎩
＝＝ ， 解得：1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；
（2）∵B (－3 ，0)，y=ax 2+bx+4，∴A(0，4)，0A=4，OB=3，
在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB=5，
t 秒时，AM=t ，BN=t ，BM=AB-AM=5-t ，
①如图：当BM=BN 时，即5-t=t ，解得：
t=52 ; , ②如图，当BM=NM=5-t 时，过点M 作ME ⊥OB ，因为BN=t ，由三线合一得：BE=12BN=12
t ，又因为AO ⊥BO ，所以ME ∥AO ，所以BM BE BA BO =，即15-253
t t = ，解得：t=3011；
③如图：当BE=MN=t 时，过点E 作EF ⊥BM 于点F ，所以BF=12BM=12
（5-t ），易证△BFE ∽△BOA ，所以BE BF BA BO =，即5t 253
t -= ，解得：t=2511 .
(3)设BP 交y 轴于点G ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，因为BP 恰好平分∠ABC ，所以OG=GH ，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG ，在Rt △AHG 中，由勾股定理得：OG=32，设P （m ，-13m 2+13
m+4），因为GO ∥PD ，
∴△BGO∽△BPD ，∴BO GO
BD PD
=，即
2
3
32
11
3+4
33
m m m
=
-++
，解得：m1=
5
2
，m2=-3(点P在第一象限，所以不符合题意，舍去)，m1=
5
2
时，-
1
3
m2+
1
3
m+4=
11
4
故点P的坐标为
511
(,)
24
【点睛】
本题考查用待定系数法求二次函数解析式，还考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质和判定. 22．如图，//
AG BD，:1:2
AF FB=，:2:1
BC CD=求
CE
ED
的值．
【答案】
3
2
【分析】证明△AFG∽△BFD，可得
1
2
AG AF
BD FB
==，由AG∥BD，可得△AEG∽△CED，则结论得出．
【详解】解：∵//
AG BD，
∴AFG BFD
△∽△，
∴
1
2
AG AF
BD FB
==．
∵2
BC
CD
=，∴
1
3
CD BD
=，∴
3
2
AG
CD
=．
∵//
AG BD，∴AEG CED
△∽△，∴
3
2
GE AG
ED CD
==．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
23．（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝时，△APB∽△ABC；（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的
比例项．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）
2
m
n
；（2）见解析.
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;
（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．
【详解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则AB AC
AC AP
=,即
m n
n AP
=,∴AP=
2
m
n
.
（2）解：作∠DEQ＝∠F,
如图点Q就是所求作的点
【点睛】
本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
24．如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的图形，小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，放回后洗匀再随机摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用A、B、C、D表示）；
（2）求两次摸出的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
9 16
【分析】（1）用列表法或画出树状图分析数据、列出可能的情况即可．
（2）A、B、D既是轴对称图形，也是中心对称图形，C是轴对称图形，不是中心对称图形．列举出所有情况，让两次摸牌的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】（1）列表如下：
A B C D
A （A，A）（A，B）（A，C）（A，D）
B （B，A）（B，B）（B，C）（B，D）
C （C，A）（C，B）（C，C）（C，D）
D （D，A）（D，B）（D，C）（D，D）
（2）从表中可以得到，两次摸牌所有可能出现的结果共有16种，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有9种．
故所求概率是
9
16
．
考点：1．列表法与树状图法；2．轴对称图形；3．中心对称图形．
25．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B
（1）直接写出抛物线L的解析式；
（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N，若△BMN的面积等于1，求k 的值；
（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D、F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当21时，点P的坐标为（02）和（0，22
3
）；
当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．
【解析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；
（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG
﹣S△BMG=1
2
BG•x N﹣
1
2
BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线解析式求得
2
28
k k
-±-
，根据
x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；
（3）设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ，知C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0），再设P （0，t ），分△PCD ∽△POF 和△PCD ∽△POF 两种情况，由对应边成比例得出关于t 与m 的方程，利用符合条件的点P 恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．
【详解】（1）由题意知
()1211b c ⎧-=⎪⨯-⎨⎪=⎩
， 解得：21b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线L 的解析式为y=﹣x 2+2x+1；
（2）如图1，设M 点的横坐标为x M ，N 点的横坐标为x N ，
∵y=kx ﹣k+4=k （x ﹣1）+4，
∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4），
∵y=﹣x 2+2x+1=﹣（x ﹣1）2+2，
∴点B （1，2），
则BG=2，
∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =
12BG•（x N ﹣1）-12
BG•（x M -1）=1， ∴x N ﹣x M =1， 由2421
y kx k y x x =-+⎧⎨=--+⎩得：x 2+（k ﹣2）x ﹣k+3=0， 解得：()
()22243k k k -±---228k k -±-， 则x N 228k k -+-、x M 228k k --- 由x N ﹣x M =128k -，
∴k=±3，
∵k＜0，
∴k=﹣3；
（3）如图2，
设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），设P（0，t），
（a）当△PCD∽△FOP时，PC FO CD OP
=，
∴11
2
m t
t +-
=，
∴t2﹣（1+m）t+2=0①；
(b)当△PCD∽△POF时，PC PO CD OF
=，
∴1
21
m t t +-
=，
∴t=1
3
（m+1）②；
（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，△=（1+m）2﹣8=0，
解得：2﹣1（负值舍去），
此时方程①有两个相等实数根t1=t22
方程②有一个实数根22
，
∴2﹣1，
此时点P的坐标为（02）和（022
）；
（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，
把②代入①，得：1
9
（m+1）2﹣
1
3
（m+1）+2=0，
解得：m=2（负值舍去），
此时，方程①有两个不相等的实数根t 1=1、t 2=2，
方程②有一个实数根t=1，
∴m=2，此时点P 的坐标为（0，1）和（0，2）；
综上，当m=22﹣1时，点P 的坐标为（0，2）和（0，
223）； 当m=2时，点P 的坐标为（0，1）和（0，2）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN 的面积求得点N 与点M 的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．
26．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y ＝k x
（k≠0，x ＞0）过点D ．
（1）写出D 点坐标；
（2）求双曲线的解析式；
（3）作直线AC 交y 轴于点E ，连结DE ，求△CDE 的面积．
【答案】（1）点D 的坐标是（1，2）；（2）双曲线的解析式是：y ＝2x
；（1）△CDE 的面积是1． 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，将线段长度转化为点的坐标即可；
（2）求出点D 的坐标后代入反比例函数解析式求解即可；
（1）观察图形，可用割补法将CDE ∆分成ADE ∆与ACD ∆两部分，以AD 为底，分别以E 到AD 的距离和C 到AD 的距离为高求解即可.
【详解】解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1）， ∴点D 的坐标是（1，2），
（2）∵双曲线y ＝
k x （k≠0，x ＞0）过点D （1，2）， ∴2＝1
k ，得k ＝2， 即双曲线的解析式是：y ＝2x
； （1）∵直线AC 交y 轴于点E ，点A 、B 、C 的坐标分别是（1，0）、（1，1）、（1，1），点D 的坐标是（1，
2），
∴AD＝2，点E到AD的距离为1，点C到AD的距离为2，
∴S△CDE＝S△EDA+S△ADC＝2122
22
⨯⨯
+＝1+2＝1，
即△CDE的面积是1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数与平行四边形的性质，熟练掌握两知识点的性质是解答关键.
27．倡导全民阅读，建设书香社会．
（调查）目前，某地纸媒体阅读率为40%，电子媒体阅读率为80%，综合媒体阅读率为90%．
（百度百科）某种媒体阅读率，指有某种媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；综合阅读率，在纸媒体和电子体中，至少有一种阅读行为的人数占人口总数的百分比，它反映了一个国家或地区的阅读水平．（问题解决）（1）求该地目前只有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比；
（2）国家倡导全民阅读，建设书香社会．预计未来两个五年中，若该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加，这样十年后，只读电子媒体的人数比目前增加53%，求百分数x．【答案】（1）该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为50%．（2）x为10%．
【分析】（1）根据题意，利用某地传统媒体阅读率为80%，数字媒体阅读率为40%，而综合阅读率为90%，得出等式求出答案；
（2）根据综合阅读人数﹣纸媒体阅读人数＝只读电子媒体的人数，结合该地每五年纸媒体阅读人数按百分数x减少，综合阅读人数按百分数x增加列出方程即可求出答案．
【详解】解：（1）设某地人数为a，既有传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数为y，
则传统媒体阅读人数为0.8a，数字媒体阅读人数为0.4a．依题意得：
0.8a+0.4a﹣y＝0.9a，
解得y＝0.3a，
∴传统媒体阅读又有数字媒体阅读的人数占总人口总数的百分比为30%．
则该社区有电子媒体阅读行为人数占人口总数的百分比为＝80%﹣30%＝50%．
（2）依题意得：0.9a（1+x）2+0.4a（1﹣x）2＝0.5a（1+0.53），整理得：5x2+26x﹣2.65＝0，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣5.3（舍去），
答：x为10%．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．若a，b是方程x2+2x-2016=0的两根，则a2+3a+b=（）
A．2016 B．2015 C．2014 D．2012
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+2a-2016=0，即a2+2a=2016，则a2+3a+b化简为2016+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-2，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】∵a是方程x2+2x-2016=0的实数根，
∴a2+2a-2016=0，
∴a2=-2a+2016，
∴a2+3a+b=-2a+2016+3a+b=a+b+2016，
∵a、b是方程x2+2x-2016=0的两个实数根，
∴a+b=-2，
∴a2+3a+b=-2+2016=1．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-b
a
，
x1•x2=c
a
．也考查了一元二次方程的解．
2．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（）
A．22 3 B2∶1 C23D．13
【答案】A
【分析】计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出．
【详解】解：设此圆的半径为R，
2，
它的内接正六边形的边长为R，
内接正方形和内接正六边形的周长比为：2R：6R＝2∶ 1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，找出内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键． 3．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是（ ）
A ．36（1﹣x ）2＝36﹣25
B ．36（1﹣2x ）＝25
C ．36（1﹣x ）2＝25
D ．36（1﹣x 2）＝25 【答案】C
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝1，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：第一次降价后的价格为36×（1﹣x ），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x ，为36×（1﹣x ）×（1﹣x ），
则列出的方程是36×（1﹣x ）2＝1．
故选：C ．
【点睛】
考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2=b ．
4．已知2x ＝3y （x ≠0，y ≠0），则下面结论成立的是（ ）
A ．23x y =
B ．32=y x
C ．23x y =
D ．23=y x
【答案】D
【分析】根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论．
【详解】A.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即
32x y =，故该选项不符合题意， B.由内项之积等于外项之积，得x ：3=y ：2，即32
x y =，故该选项不符合题意， C.由内项之积等于外项之积，得x ：y ＝3：2，即32
x y =，故该选项不符合题意， D.由内项之积等于外项之积，得2：y ＝3：x ，即23=y x
，故D 符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键．
5．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为（ ）
A．130°B．50°C．65°D．100°
【答案】D
【解析】根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选D．
【点睛】
考查了圆周角定理的运用．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．己知O的半径为5cm，点A是线段OP的中点，当8cm
OP=时，点A与O的位置关系是（）A．点A在O外B．点A在O上C．点A在O内D．不能确定
【答案】C
【分析】首先根据题意求出OA，然后和半径比较大小即可.
【详解】由已知，得OA=1
2
OP=4cm，
∵O的半径为5cm
∴OA＜5
∴点A在O内
故答案为C.
【点睛】
此题主要考查点和圆的位置关系，解题关键是找出点到圆心的距离.
7．如图，某停车场人口的栏杆，从水平位置AB绕点O旋转到A'B′的位置已知AO＝4m，若栏杆的旋转角∠AOA′＝50°时，栏杆A端升高的高度是（）
A．
4
sin50︒
B．4sin50°C．
4
cos50︒
D．4cos50°
【答案】B
【分析】过点A'作AO的垂线,则垂线段为高度h,可知AO= A'O,则高度h= A'O×sin50°，即为答案B.
【详解】解：栏杆A 端升高的高度＝AO•sin ∠AOA′＝4×sin50°，
故选：B ．
【点睛】
本题的考点是特殊三角形的三角函数.方法是熟记特殊三角形的三角函数.
8．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，3sin 4
A ∠=，8A
B cm =，则AB
C 的面积是( ) A ．26cm
B ．224cm
C ．267cm
D ．2247cm
【答案】C 【分析】在Rt △ABC 中，求出BC ，AC 即可解决问题．
【详解】解：在Rt △ACB 中，∵∠C=90°，AB=8cm ，
∴sinA=BC AB =34
， ∴BC=6（cm ），
∴22228267AB BC --==cm ）， ∴S △ABC =12•BC •AC=12
×6×77（cm 2）． 故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9．抛物线y=x 2﹣2x+2的顶点坐标为（ ）
A ．（1，1）
B ．（﹣1，1）
C ．（1，3）
D ．（﹣1，3）
【答案】A
【解析】分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
详解：∵y=x 2-2x+2=（x-1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选A ．
点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 10．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AB ，AC 上的点，且EF ∥BC ，FD ∥AB ，则下列各式正确的是( )
A ． AE CD E
B BD = B ．EF AE B
C DF = C ．EF DF BC AB =
D ．A
E BD AB BC
= 【答案】D
【分析】根据EF ∥BC ，FD ∥AB ，可证得四边形EBDF 是平行四边形，利用平行线分线段成比例逐一验证选项即可．
【详解】解：∵EF ∥BC ，FD ∥AB ，
∴四边形EBDF 是平行四边形，
∴BE=DF ，EF=BD ，
∵EF ∥BC ，
∴
AE AF BE FC =，AE EF AF AB BC AC
==， ∴AE BD AB BC =，故B 错误，D 正确； ∵DF ∥AB ，
∴
AF BD FC DC =，DF FC AB AC
=, ∴AE BD BE DC
=，故A 错误； ∵EF AF BC AC =，DF FC AB AC =，故C 错误； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的的判定，平行线分线段成比例的定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
11．已知二次函数(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0b <；②20b a -=；③240b ac ->；④()2
2a b b +<．其中正确的结论是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①③④
D ．①②③
【答案】C 【分析】由抛物线开口方向得到a ＞0，由抛物线的对称轴方程得到b=-2a ，则可对①②进行判断；利用判别式的意义可对③进行判断；利用平方差公式得到（a+b ）2-b 2=（a+b-b ）（a+b+b ），然后把b=-2a 代入可对④进行判断．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a ＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-
2b a
=1， ∴b=-2a ＜0，所以①正确；
∴b+2a=0，所以②错误；
∵抛物线与x 轴有2个交点，
∴△=b 2-4ac ＞0，所以③正确；
∵（a+b ）2-b 2=（a+b-b ）（a+b+b ）=a （a+2b ）=a （a-4a ）=-3a 2＜0，
∴（a+b ）2＜b 2，所以④正确．
故选：C ．
【点睛】
考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
12．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A ，1122D E E B ，2222A B C D ，2343D E E B ，3333,A B C D ，按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C ，1E ，2E ，2C ，3E ，4E ，3C …在x 轴上，已知正方形1
111D C B A 的边长为1，1130OB C ∠=︒，112233////B C B C B C ，…，则正方形n n n n A B C D 的边长是（ ）。