2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）
1．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+7的顶点坐标是（）
A．（﹣3，7）B．（﹣3，﹣7）C．（3，7）D．（3，﹣7）
2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+n与y＝mx2﹣nx的图象可能是（）A．B．
C．D．
3．抛物线y＝x2+x+2，点（2，a），（﹣1，﹣b），（3，c），则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．b＞a＞c
C．a＞b＞c D．无法比较大小
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（）
A．abc＞0B．b＞a+c C．2a+b＞0D．b2﹣4ac＜0
5．将抛物线y＝﹣（x﹣1）2向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线（）A．y＝﹣x2+2B．y＝﹣（x﹣2）2+2
C．y＝﹣x2﹣2D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2
6．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．与y的交点是（0，1）
C．当x＞2时，y随x的增大而增大D．与x轴有两个交点
7．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2+t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（）
A．①②④B．②③④C．①③④D．①②③
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，对称轴x＝1，分析下列六个结论：
①3a+c＞0；
②若﹣1＜x＜2，则ax2+bx+c＞0；
③（a+c）2＜b2
④a+3b+9c＞0
⑤a（k2+1）2+b（k2+1）＜a（k2+2）2+b（k2+2）（k为实数）
⑥a2m2+abm≤a（a+b）（m为实数）
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为．
10．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣x2+1向上平移3个单位，再向左平移5个单位，则所得抛物线的解析式是．
11．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8mm，BC＝16mm，动点P从点A开始沿边AB 向B以1mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2mm/s 的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．
12．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为．
13．用配方法将抛物线y＝x2+6x+1化成顶点式y＝a（x﹣h）2+k得．14．二次函数y＝2x2+4x+（m﹣5）的图象与x轴有两个不同交点，则m的取值范围为．15．已知某商品每箱盈利13元．现每天可售出50箱，如果每箱商品每涨价1元，日销售量就减少2箱．则每箱涨价元时，每天的总利润达到最大．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为．
三．解答题（共5小题，满分56分）
17．已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（2，﹣3）和（4，5）．
（1）求抛物线的函数解析式及顶点坐标；
（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，直接写出图象G的函数解析式．
18．已知：二次函数为y＝x2﹣x+m，
（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；
（2）m为何值时，顶点在x轴上方；
（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB＝4时，求此二次函数的解析式．
19．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
20．已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（﹣1，4），与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C（0，3），如图．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得△BCM的周长最小，求出点M的坐标；
（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l．交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P 运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：∵y＝﹣（x﹣3）2+7，
∴此函数的顶点坐标为（3，7），
故选：C．
2．解：若函数y＝mx+n经过一二三象限，m＞0，n＞0，则二次函数y＝mx2﹣nx的图象开口向上，对称轴x＝﹣＞0，在y轴的右侧；
若函数y＝mx+n经过一二四象限，m＜0，n＞0，则二次函数y＝mx2﹣nx的图象开口向下，对称轴x＝﹣＜0，在y轴的左侧；
故选：C．
3．解：∵y＝x2+x+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∵（2，a）、（﹣1，b），（3，c），
∴点（3，c）离直线x＝﹣最远，（﹣1，﹣b）离直线x＝﹣最近，
∴c＞a＞b；
故选：A．
4．解：由图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故选项A错误，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，则a+c＜b，故选项B正确，
＝1，得b＝﹣2a，即2a+b＝0，故选项C错误，
抛物线与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项D错误，
故选：B．
5．解：将抛物线y＝﹣（x﹣1）2向右平移一个单位所得直线解析式为：y＝﹣（x﹣1﹣1）2；
再向上平移2个单位为：y＝﹣（x﹣1+1）2+2，即y＝﹣（x﹣2）2+2．
故选：B．
6．解：二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象的开口向上，与y的交点是（0，13），当x＞2时，y随x的增大而增大，
当y＝0时，3（x﹣2）2+1＝0，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．
故选：C．
7．解：如图1中，作AD⊥BC于D．
由题意AB＝4×2＝8cm，
在Rt△ABC中，BC＝10cm，AB＝8cm，
∴AC＝＝＝6cm，故①正确，
∵•BC•AD＝•AB•AC，
∴AD＝（cm），
由题意当点P运动到A时，S△BPQ＝（cm2），
∴×BQ×＝，
∴BQ＝4（cm），
∴点Q的运动速度为1cm/s，
当点P与A重合时，PQ的值最大，
∵BD＝＝（cm），
∴QD＝BD﹣BQ＝﹣4＝（cm），
∴PQ＝＝＝（cm），
∴PQ的最大值为，故③错误．
如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC•sin C＝（14﹣2t），
∴y＝•BQ•PH＝•t•（14﹣2t）＝﹣t2+t（4≤t≤7）．故②正确，如图2中，若△PQC与△ABC相似，点P只有在线段AC上，
如果＝，则△CPQ∽△CAB，
∴＝，
∴t＝．
如果＝时，△CPQ∽△CBA，
∴＝，
解得t＝﹣8不合题意．
综上所述，t＝s时，△PQC与△ABC相似．故④正确，
故选：A．
8．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴0＜x＜2，ax2+bx+c＞0，所以②错误；
∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0；x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
∴（a+c）2﹣b2＜0，所以③正确；
∵x＝时，y＞0，即a+b+c＞0，
∴a+3b+9c＞0，所以④正确；
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
而k2+2＞k2+1≥1，
∴a（k2+1）2+b（k2+1）＞a（k2+2）2+b（k2+2），所以⑤错误；
∵x＝1时，y有最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
而a＜0，
∴a2m2+abm≥a2+ab，所以⑥错误．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：∵y＝3x2+6x+11＝3（x+1）2+8，
∴抛物线y＝3x2+6x+11的顶点坐标为（﹣1，8），
故答案为（﹣1，8）．
10．解：∵把抛物线y＝﹣x2+1向上平移3个单位，再向左平移5个单位，则所得抛物线的解析式是y＝﹣（x+5）2+1+3，即y＝﹣（x+5）2+4．
故答案为y＝﹣（x+5）2+4．
11．解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Smm2，则有：
S＝S△ABC﹣S△PBQ
＝×8×16﹣（8﹣t）•2t
＝t2﹣8t+64
＝（t﹣4）2+48．
∵1＞0，
∴当t＝4时，S取得最小值．
故答案为：4．
12．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
13．解：y＝x2+6x+1
＝x2+6x+9﹣9+1
＝（x+3）2﹣8，
故答案为：y＝（x+3）2﹣8．
14．解：∵若二次函数y＝2x2+4x+（m﹣5）的图象与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣5）×2＝﹣8m+56＞0，
解得：m＜7．
故答案是：m＜7．
15．解：设每箱涨价x元，总利润为y，根据题意可得：
y＝（13+x）（50﹣2x）
＝﹣2x2+24x+650
＝﹣2（x﹣6）2+722，
答：每箱涨价6元时，每天的总利润达到最大．
故答案为：6．
16．解：设△PCD的面积为y，
由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，
∴y＝＝5﹣t，
∵四边形EFPC是正方形，
∴S△DEF+S△PDC＝S正方形EFPC，
∵PC2＝PD2+CD2，
∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29，
∴S△DEF＝（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）＝t2﹣4t+＝（t﹣4）2+，当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为．
故答案为：．
三．解答题（共5小题，满分56分）
17．解：（1）根据题意得，
解得：，
所以抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）将抛物线沿x轴翻折后，得出﹣y＝x2﹣2x﹣3，
则图象G的函数解析式y＝﹣x2+2x+3．
18．解：（1）∵a＝1＞0，
∴抛物线开口方向向上；
对称轴为直线x＝﹣＝；
＝，
顶点坐标为（，）；
（2）顶点在x轴上方时，＞0，
解得m＞；
（3）令x＝0，则y＝m，
所以，点A（0，m），
∵AB∥x轴，
∴点A、B关于对称轴直线x＝对称，
∴AB＝×2＝1，
∴S△AOB＝|m|×1＝4，
解得m＝±8，
所以，二次函数解析式为y＝x2﹣x+8或y＝x2﹣x﹣8．
19．解：（1）当50＜x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．则；
（2）由题意可得，
W＝﹣x2+300x﹣10400（50＜x≤80），
W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．
20．解：（1）∵抛物线的顶点为（﹣1，4），
∴设函数表达式为y＝a（x+1）2+4
∵图象过点C（0，3），
∴当x＝0时，y＝3，
∴3＝a（0+1）2+4，
解得，a＝﹣1，
∴函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）﹣x2﹣2x+3＝0，
x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
∵A、B关于对称轴x＝﹣1对称，点M在对称轴x＝﹣1上，
∴MA＝MB，
∴△BCM的周长＝BC+CM+BM＝BC+CM+AM，
当A、M、C在同一直线上时，△BCM的周长最小，
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+3，
∵点M的横坐标为x＝﹣1，
所以点M的坐标为（﹣1，2）；
（3）如图2，当点P与点D重合，点Q与点P关于x轴对称时，四边形AQBP的对角线互相平分，
∴四边形AQBP是平行四边形，此时点P的坐标为（﹣1，4），
当P′Q′∥AB，P′Q′＝AB＝4时，四边形AP′Q′B是平行四边形，
此时P′点的横坐标为﹣1﹣4＝﹣5，
∴P′的纵坐标为：﹣25+10+3＝﹣12，
∴点P′的坐标为（﹣5，﹣12），
当P′′Q′∥AB，P′′Q′＝AB＝4时，四边形AQ′P′′B是平行四边形，
此时P′′点的横坐标为﹣1+4＝3，
∴P′′的纵坐标为：﹣9﹣6+3＝﹣12，
∴点P′′的坐标为（3，﹣12），
综上所述：以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣5，﹣12）或（3，﹣12）．
21．解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）如图：
在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，
∴C（0，4），
而B（4，0），
∴OB＝OC，
∵∠BOC＝∠PFC＝90°，
∴当FC＝PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似，设P（a，﹣a2+3a+4），a＞0，则FC＝a，
∵C（0，4），
∴F（a，4），
∴PF＝|﹣a2+3a+4﹣4|＝|﹣a2+3a|，
∴a＝|﹣a2+3a|，
解得a＝2或a＝4或a＝0（在y轴上，舍去），
∴P的坐标为：（2，6）或（4，0）．。