完整word版导数及其应用测试题有详细答案

一、选择题
《导数及其应
用》
1. f(X0) 0是函数f x在点X0处取极值的：
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件 C.充要条件.既不充分又不必要条件
2
2、设曲线y X 1在点(X, f (x))处的切线的斜率为
g(x)，则函数g(x)cos X的部分图象可以
为
3.在曲线y = X2上切线的倾斜角为a的点是( )
A. (0,0) B . (2,4) C.
4.若曲线y= x2+ax+ b在点(0 , b)处的切线方程是
A . a= 1, b= 1
B . a=— 1, b= 1
3 2
5.函数f (x) = x+ax+ 3x— 9，已知f(x)在x =—
6.已知三次函数
范围是( )A.
7.直线y
8.若函数
A . k
C.
X —y +1= 0,则(
C . a= 1, b=—
3时取得极值，则a等于(
.a=— 1, b=— 1
1
I o Q Q . ■___ ___________________________________
f (x) = -x — (4 m- 1)x + (15m— 2m-7)x + 2 在x € ( —s,+s )是增函数，则m的取值
3
m<2 或n>4 B . — 4<n< — 2 C . 2<m<4 D .以上皆不正确
x是曲线
f(x)
y a In X的一条切线，则实数a的值为
12x在区间(k 1,k 1)上不是单调函数,
A. 1 B . e C . In2 D . 1
则实数 k的取值范围(
B. 3 k 1 或 1 k 3
不存在这样的实数 k
9. 10 .函数f x 的定义域为a,b，导函数f x在a,b内的图像如图所示,
则函数f x 在a, b 内有极小值点
A. 1个
10.已知二次函数f(x) ax2 bx c的导数为f '(X), f'(0
)
丄d的最小值为 A . 3
f'(0)
二、填空题
\ €,
X都有f(x) 0,则
3
• 2
0，对于任意实数
D
设函数f(x) x 3
(1) 求f(x)的单调区间和极值；
(2) 若关于x 的方程f(x) a 有3个不同实根，求实数 a 的取值范围.
11.函数y
叱的导数为
x
12、已知函数 f(x) x 3
2 ax bx a 2在x=1处有极值为10,则f(2)等于 13.函数y
x 2COSX 在区间 陀上的最大值是 14.已知函数 f (x) x 3
ax 在R 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 15.已知函数 f (x)是定义在R 上的奇函数，f(1) 0 , xf (x)2 f (
x) 0( x 0),则不等式
X 2 f(X) 0的解集是 三、解答题 16. 设函数f(x)= sinx — cosx + x+ 1,0<x<2n,求函数f(x)的单调区间与极值. 17.
已知函数f(x) x 3
3x .
(I)求f (2)的值;
(n)求函数f (x)的单调区间.
18. 6x 5, x R .
3)已知当x (1, )时, f (x) k( x 1)恒成立，求实数k 的取值范围 .
19. 已知 x 1 是函数 f (x) mx 2
nx 1的一个极值点，其中 m,n R,m 0
3(m 1)
x2
(1 )求m与n的关系式; 2)求 f ( x) 的单调区
间；
3)当 x [ 1,1]，函数 y f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ，求m 的取值范围。

2
20.已知函数 f (x) In X ax bx.
(I)当a 1时，若函数f(x)在其定义域内是增函数，求
b 的取值范围;
(II )若f (x)的图象与x 轴交于A(x 1,0), B(x 2,0)( x , x 2)两点，且 AB 的中点「为C(x o ,O)，求证:
f'(X 0) 0.
2
x
一,g(x) 2aln x(e 为自然对数的底数) e
f(x) g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值;
(2)是否存在正常数a ，使f(X)与g(x)的图象有且只有一个公共点，
且在该公共点处有共同的切线?
若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

21.已知函数f(x) (1)求 F(x)
《导数及其应用》参考答案
三、解答题
16.［解析］f’(X)= cosx+ sinx + 1 =^j 2sin(x+》 令 f’(x)= 0，即 sin(x+n = — ¥， 解之得
x= n 或x= 2 n.
X, f'(X)以及f(x)变化情况如下表：
3 、3 n
f 极大(x)= f( n 手 n+ 2, f 极小(x)= f(2 n 并 y.
17.解：(I) f (x) 3x 2
3
，所以 f (2) 9.
3 n 2 n
3
• f(x)的单调增区间为(0, n 和(2 n 2 n 单调减区间为(
(n) f (x) 解 f(X)
0 , 3^ 3, 解 所以( f (x) 0 ,: ,1)， (1, 1x1. )为函数f (x)的单调增区间, (1,1)为函数f (x)的单调减区间. 18.解: (1) f (x) 3(x 2 2),令f(X) 0,得X 1
72, x 2 72 • ••当 x 5/2或 x 72时，f(x)0；当 72 72时,f (x) 0, • f(x)的单调递增区间是(，J 2)和(J 2,
)，单调递减区间是(J 2,J 2) 72, f (x)有极大值5 472 ；当x
72, f(x)有极小值5 4^2.
(2)由 (1)可知
f (x)图象的大致形状及走向(图略)
•••当 5 442 a
4丿2时,直线y a 与y f (x)的图象有3个不同交点,
即当5
4恵时方程f (x) 有三解.
11. y' xcosx sin X 2
;
12. 18 13. x
6 馬；14.
{a|a 0}
“ ( 1,0) (1,)
+ 1 (0<x<2 n)
X 1, k
X 2
1)即(X 1)(X 2
X 5) k(x 1)
X 5在
(1,)
上恒成立.
令 g(x)
5
，由二次函数的性质,
g(x)在(1,)上是增函数,
g(i)
3, •••所求k 的取值范围
是
12分
19.解：(1) f '(X)
即3m 3mx 2
6(m
6(m 1) n 1)x n.因为X
0,所以n 3m 1是函数f(x)的一〒个极值点.所以f'(1) 6
(2)由(1)知,
f'(x ) 2
3mx 6(m 1)x 3m 6 3m(x 1)[x (1 -)] m m 0时，有1
1
当x 为化时，f(x) 与f '(x)的变化如下
)上单调 2 m m 0时，f (x)在(,1 —)单调递减，在 m (1 -,1)单调递增，在(1, m 故由上表知，当 (3) 由已知得 f'(x ) 3m ，即 mx 2 2(m 1)x
0，所以 X 2 — (m 1)x m -0,即 m -(m m 1)x - 0,x 1,1]设 g(x) 1
2(1 —)x m
-，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以 m g( g(1) 0
1) 0
20. ( 1 ) x (0, 解之得 4 m 又m 0所以 一 3 4 m 0即m 的取值范围为(一，0) 3
由题意：f (x) )恒成立，即
2x (2)由已知得, l n X 2 a(x 1 f (x) (x 0)
x 0
I n
2
X X 2
2x 对x 2J 2，当且仅当 f (x 1) In x 1 ax ； f (x 2) Inx 2 ax ； X 2)(X 1 X 2) b(x 1 2
ax 2ax 0
bx (0, f(x)在(0, )上递增,
f (X) - 2x b 0 对
X )恒成立,
只需b (丄
X 2x)
min ,
b 及 2x 0 X 1
b —— X 1 x 2
a ??
2^2 ,
b 的取值范围为(，2^2)
bx 1 bx 2
In x 1
In
x 2 2
ax.
, 2
ax 2
bX1
，两式相减，得:
bx 2 X 2) In
X 2，得:
[a(X 1 x x 1 X 2
(X 1 X 2)[a(X 1
X 2) b],
b]
X 1
X 2
-^2
X 1 x 2 X 2
1
2(冬 1)
①当a 0时,F (x) 0恒成立
F(x)在(0,)上是增函数，F(x)F 只有一个单调递增区间(
②当 a 0时，F(x) 2(x
陌(x
庙b 0),
若0 x 屆，则F(X) 0,F(x)在(0,届)上单调递减;
若x
，则 F (x) 0, F(x)在(j ea,)上单调递增,
当x j ea 时，F(x)有极小值，也是最小值,
即 F(x)min F(7ea) a 2a ln
alna
所以当a 0时，F(x)的单调递减区间为(0,j ea)
单调递增区间为(J ea,)，最小值为 alna ，无最大值 (2)方法一，若f (x)与g (x)的图n 象有且只有一个公共点,
2
x
F(x) f(x) g(x)——2l nx 0 e
f(je) g(>/e) 1, f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为(Je,1)
又Q f (J ?) g (J ^) 予 f (X)与g(x)的图象在点(J e,1)处有共同的切线,
X i
1 [2(X 1 X 2)
x
2
X
1
X 2
ln l ]
X
ln X 2
(冬 1)
X 2
x X 2 ］，令t
x X 2
(0,1)
，
21. (t ) (t )
解: lnt (0
t 1
(1) 0,又 X i
t 1)， X 2 ,
(t )
(1) F (x) f (x) g(x)
2x 2a (t 1)
2
t(t 1)2
2(x 3
ex
(t)在(0,1)上为减函
数,
0)
则方程 f (x) g(x) 0有且只有一解，所以函数 F(x)有且只有一个零点
8分［来源:学_科_
由(1) 的结论可知F(x)min a l na 0得a
10分
0, -s),没有最值 3分
ex
此时, F (x)min F (隔 0
其方程为y 1 ―尸（X T e ），即y 丁X 1
V e v e
综上所述，存在 a 1，使f （X ）与g （X ）的图象有且只有一个公共点
（je,1），且在该点处的公切线方
f （X ）与
g （x ）图象的公共点坐标为（X 0, y 。

）,
a 1，使f （X ）与g （X ）的图象有且只有一个公共点，
且在该公共
「点处有共同的切线，易求得
公共点坐标为（j e,1），公切线方程为y 阜X 1
v e
2
程为y —X
1
.
14分
根据题意得
f(X o ) g(X o )
即 f (X o ) f (X o )
2
e
2x o
2a In
x 0 2a 由②得
2
乞，代入①得In X o
e
此时由 因此除 (1)可知 F(x)
min
F M)
X o
X o T e 外，再没有其它X o ，使f （x o ）
从而a 1
10分
0且X j e 时，F （X ） 0,即f （X ） g （x ） g(X o )
13分
13分
方法二：设 故存在 14分。