18-19 专题强化训练2 推理与证明-最新学习文档

专题强化训练(二) 推理与证明
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x 是指数函数(小前提)，
所以函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x 是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是( )
【导学号：31062178】
A ．大前提错误导致结论错
B ．小前提错误导致结论错
C ．推理形式错误导致结论错
D ．大前提和小前提错误导致结论错
A [推理形式没有错误，而大前提“y ＝a x 是增函数”是不正确的，当0＜a ＜1时，y ＝a x 是减函数；当a ＞1时，y ＝a x 是增函数．故选A.]
2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A ．假设2是有理数 B ．假设3是有理数 C ．假设2或3是有理数 D ．假设2＋3是有理数
D [应对结论进行否定，则2＋3不是无理数，即2＋3是有理数．] 3．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y
b ＝1表示在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x ，y ，z 轴上的截距分别为a ，b ，
c (abc ≠0)的平面方程为( )
A.x a ＋y b ＋z
c ＝1 B.x ab ＋y bc ＋z
ca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx
ca ＝1
D ．ax ＋by ＋cz ＝1
A[类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．]
4．下面四个推理不是合情推理的是()
A．由圆的性质类比推出球的有关性质
B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
C[逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C 项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．]
5．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定()
A．大于零B．等于零
C．小于零D．正负都可能
A[f(x)＝x3＋x是奇函数且在R上是增函数，
由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)．
可得f(a)＋f(b)>0.
同理f(a)＋f(c)>0，f(a)＋f(c)>0.
所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故选A]．
二、填空题
6．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________.
【导学号：31062179】[解析]当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.
[答案]1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
7．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图2-2所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图2-2截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．
图2-2
[解析]类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S21＋S22＋S23.(这个结论是正确的，证明略)
[答案]S2＝S21＋S22＋S23
8．观察下列等式：3
1×2×
1
2＝1－
1
22，
3
1×2
×
1
2＋
4
2×3
×
1
22＝1－
1
3×22
，
3
1×2
×
1
2
＋4
2×3×
1
22＋
5
3×4
×
1
23＝1－
1
4×23
，……，由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n∈N*，
3
1×2
×
1
2＋
4
2×3
×
1
22＋…＋
n＋2
n(n＋1)
×
1
2n＝________.
[解析]由已知中的等式：3
1×2×
1
2＝1－
1
22
3 1×2×
1
2＋
4
2×3
×
1
22＝1－
1
3×22
，
3 1×2×
1
2＋
4
2×3
×
1
22＋
5
3×4
×
1
23＝1－
1
4×23
，…，
所以对于n∈N*，
3
1×2
×
1
2＋
4
2×3
×
1
22＋…＋
n＋2
n(n＋1)
×
1
2n＝1－
1
(n＋1)2n
.
[答案]1－1
(n＋1)2n
三、解答题
9. 已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求证a，b中至少有一个是非负数．[解]假设a，b中没有一个是非负数，即a＜0，b＜0，所以a＋b＜0.
又a ＋b ＝x 2－1＋2x ＋2＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，
所以，a ，b 中至少有一个是非负数．
10．已知a ＋b ＋c ＝abc ，求证：2a 1－a 2＋2b 1－b 2＋2c 1－c 2＝8abc
(1－a 2
)(1－b 2)(1－c 2)
. 【导学号：31062180】
[证明] 欲证原式，即证：a (1－b 2)(1－c 2)＋b (1－a 2)(1－c 2)＋c (1－a 2)(1－b 2)＝4abc
左边全部展开，得
左＝abc (ab ＋bc ＋ca )－ab 2－ac 2－ba 2－bc 2－ca 2－cb 2＋a ＋b ＋c ， 利用abc ＝a ＋b ＋c ，得： 上式＝4abc ＝右边． 故原等式成立．
[能力提升练]
1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )
A ．a ＝12，b ＝c ＝1
4 B ．a ＝b ＝c ＝1
4 C ．a ＝0，b ＝c ＝1
4
D ．不存在这样的a 、b 、c A [令n ＝1，得1＝3(a －b )＋c ， 令n ＝2，得1＋2×3＝9(2a －b )＋c ， 令n ＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c .
即⎩⎪⎨⎪
⎧
3a －3b ＋c
＝18a －9b ＋c ＝81a －27b ＋c ＝34
，
∴a ＝12，b ＝c ＝1
4.故选A.]
2．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19
根据上述分解规律，若m 2＝1＋3＋5＋…＋11，n 3的分解中最小的正整数是21，则m ＋n ＝( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
B [∵m 2
＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋11
2×6＝36， ∴m ＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，
43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n 3的分解中最小的数是21， ∴n 3＝53，n ＝5，∴m ＋n ＝6＋5＝11.]
3．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝3
4；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos36°＝34.由两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________.
【导学号：31062181】
[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，
由此猜想：
sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝3
4. 可以证明此结论是正确的，证明如下：
sin 2
α＋cos 2
(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°＋2α)2
＋12
[sin(30°＋2α)－sin 30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos 2α]＋12sin(30°＋2α)－14＝1＋1
2[－2sin(30°＋2α)sin 30°]＋12sin(30°＋2α)－14＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.
[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝3
4
4．给出下列不等式：①a ＞b ＞0，且a 2
＋b 2
4＝1，则ab ＞a 2b 2；②a ，b ∈R ，
且ab ＜0，则a 2＋b 2ab ≤－2；③a ＞b ＞0，m ＞0，则a ＋m b ＋m ＞a b ；④⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x ＋4x ≥4(x ≠0)．其
中正确不等式的序号为________．
[解析] ①a >b >0，∴a ≠b
2. ∴a 2
＋b 2
4＝1＞2
a 2
·
b 24＝ab .
∴1－ab >0.∴ab －a 2b 2＝ab (1－ab )>0.∴ab >a 2b 2.①正确． ②a 2＋b 2ab ＋2＝(a ＋b )2ab .
∵ab <0，(a ＋b )2≥0，∴a 2＋b
2ab ≤－2.②正确；
③a ＋m b ＋m －a b ＝(b －a )m b (b ＋m ). ∵a >b >0，m >0，
∴b (b ＋m )>0，b －a <0. ∴(b －a )m b (b ＋m )
<0. ∴a ＋m b ＋m
＜a b .③不正确． ④⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x ＋4x ＝|x |＋4|x |≥4.④正确． [答案] ①②④
5．在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明.
【导学号：31062182】
[解] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2
a 2.
证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20
. 由于A 、B 、P 三点在椭圆上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y 2
0b 2＝1.
两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 2
b 2＝0，
∴y 2－y 2
0x 2－x 20
＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2. 故在椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、C 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－b 2
a 2.。