2019年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编：专题10 立体几何(第01期)(解析版)

一．基础题组
1. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）（理）】在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且
112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）
A ．1
B ．
32 C ．92
D ．与M 点的位置相关 【答案】
B
考点：1.正方体的性质；2.多面体的体积.
2. 【湖南省长沙市长郡中学2019
届高三摸底考试数学（理）试题】已知边长为的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120的四面体ABCD ，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A ．25π
B ．26π
C ．27π
D ．28π
【答案】D
考点：多面体与外接球，球的表面积．
【名师点睛】在长方体或正方体中其对角线就是外接球的直径，所以本题实质就是求长方体的对角线长，从而只要求得三棱长即可．对其他的组合体的外接球要注意应用公式222
=+求解，对一个多面体来讲，其外接球球心O在某个面的上射影一定是这个面上多R r d
边形的外心，此结论对解决外接球问题作用很大．
3. 【湖南省长沙市长郡中学2019届高三摸底考试数学（理）试题】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A B C D
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图知该几何体如图ABCDE ，可分为两个三棱锥B ADE -和D BCE -，
所以1111(22(21)3232
V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故选B ．
考点：三视图，体积．
4. 【江西省新余市第一中学2019届高三上学期调研考试（一）（开学考试）】某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示, 它的府视图的直观图是''
'A B C ,如图（2）所示, 其中0''''2,''A O B O C ==
=,则该几何体的外接球的表面积为
．
【答案】1123
π
O 1
E
F
D
C B A O
考点：三视图，多面体与外接球，表面积．
【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．
(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 中P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上．
5. 【浙江省温州市普通高中2019届高三8月模拟考试数学试题】在四面体ABCD 中，,,AB CD AC BD AD BC ===，以下判断错误的是（ ）
A ．该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直
B ．该四面体的外接球球心和内切球球心重合
C ．该四面体的各面是全等的锐角三角形
D ．该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为1
【答案】D
D
C
B
A
考点：四面体的性质．两直线垂直，外接球与内切球，长方体的性质，二面角．
【名师点睛】在立体几何的线面关系中，对一些特殊的多面体中的位置关系，常常能够把它们通过补形法补成一个正方体或长方体，然后在正方体（或长方体）中研究相对应的线面位置关系就非常方便，也显而易见，不需要实行复杂的推导证明．这种方法在解填空题或选择题时非常适用．
6. 【浙江省温州市普通高中2019届高三8月模拟考试数学试题】一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长都为1），则该多面体的体积为_________，表面积为___________．
【答案】56
考点：多面体的体积，表面积．
7. 【江苏省南京市2019届高三上学期学情调研卷数学试题】已知圆柱M 的底面半径为2，高为6；圆锥N 的底面直径和母线长相等．若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ ．
【答案】6
【解析】
试题分析：设圆锥的底面半径为r ，所以221263
r ππ⨯⨯=
，r =，
6=．
考点：圆柱与圆锥的体积．
8. 【江苏省苏州市2019届高三暑假自主学习测试数学试题】如图，在长方体
1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则三棱锥11A B D D -的体积为 ▲ 3cm ．
第9题图
【答案】
3
考点：三棱锥体积
【方法点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法.
9. 【江苏省泰州中学2019届高三摸底考试数学试题】在△ABC 中，2AB =， 1.5BC =，120ABC ∠=︒，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 ． 【答案】32
π 【解析】
试题分析：过A 作AD 垂直BC 于D
点，则1, 2.5AD BD CD ===，所以所形成的几何体
的体积是13(2.51).32ππ⨯-=
考点：旋转体体积
10. 【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2019届高三第一次联考数学（理）试题】某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（ ） A. 3π
B. π34
C. 2π
D. π3
8
【答案】
A
正视图 侧视图
俯视图
考点：三视图
【名师点睛】
1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．
2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，所以，能够根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．
11. 【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2019届高三8月联考数学（理）试题】已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为13
，则该几何体的俯视图能够是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B.
【解析】 试题分析：由三视图及体积为
13
，可知，该几何体为一四棱锥，故俯视图为B ，故选B. 考点：三视图. 12. .【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2019届高三8月联考数学（理）试题】如图，已知矩形ABCD ，2AD =，E 为AB 边上的点，现将ADE ∆沿DE 翻折至ADE ∆，使得点A '在平面EBCD 上的投影在CD 上，且直线A D '与平面EBCD 所成角为30°，则线段AE 的长为_________．
考点：立体几何综合使用.
【名师点睛】在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．
13.【广东省珠海市2019届高三9月摸底考试数学（理）试题】如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
【答案】B.
考点：1、由三视图求简单几何体的体积.
14. 【广东省珠海市2019届高三9月摸底考试数学（理）试题】在正方体1111ABCD A B C D -中，F E ,分别是棱1111,A B B C 的中点，O 是的交点与BD AC ，面OEF 与面11BCC B 相交于m ，面1OD E 与面11BCC B 相交于n ，则直线n m ,的夹角为
A. 0
B.
6π C. 3π D. 2π 【答案】A .
【解析】
试题分析：延长111,B C E D 交于点M ，延长B B O D 11,交于点N ，连接MN .因为F E ,分别是棱1111,A B B C
的中点，O 是的交点与BD AC ，所以面OEF 与面11BCC B 的交线为CF ，即m CF =；由作法知面1OD E
与面11BCC B 的交线为MN ，即n MN =，因为EF ‖CO ，且EF CO =，所以四边形EFCO 为平行四
边形，所以CF ‖EO ，所以EF ‖平面1OD E ，所以CF ‖MN ，即m ‖n ，所以直线n m ,的夹角为0，
故应选A .
考点：1、线面平行的判定定理；2、线面平行的性质定理；3、直线与直线所成的角.
【思路点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理和直线与直线所成的角，考查学生综
合使用知识的水平和空间想象水平，属中档题.其解题的一般思路为：首先使用空间公理准确找出平面OEF
与面11BCC B 、面1OD E 与面11BCC B 的交线，然后使用线线平行得出线面平行进而得出线线平行，即可得
出所求的结果.
15. 【河南省天一大联考2019届高三上学期阶段性测试（一）数学（理）试题】如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．263π+
B ．83π+
C ．243π+
D ．43π
+
【答案】C
【解析】 试题分析：相当于一个圆锥和一个长方体，故体积为122221433ππ⋅+⋅⋅=+
. 考点：三视图．
16. 【河南省天一大联考2019的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为
_______.
【答案】88
考点：球与长方体．
17. 【四川省成都市2019届高中毕业班摸底测试数学（理）试题】已知,m n 是两条不同的直
线，,αβ是两个不同的平面，若,m n αβ⊥⊥，且βα⊥，则下列
结论一定准确的是（ ）
A ．m n ⊥
B ．//m n
C ．m 与n 相交
D ．m
与n 异面
【答案】A
考点：1、线面垂直的性质；2、面面垂直的性质.
18. 【四川省成都市2019届高中毕业班摸底测试数学（理）试题】如图1，已知正方体
1111ABCD A B C D -的棱长为a ，,,M N Q 分别是线段1111,,AD B C C D 上的
动点，当三棱锥Q BMN -的俯视图如图2所示时，三棱锥Q BMN -的体积为（ ）
A ．312a
B ．314
a C 3 D ．
3112a
【答案】D
【解析】
试题分析：由三视图知,Q 与1D 重合, N 与G 重合,M 在1AD 中点处，所以可得，
Q BMN N BMQ V V --=
23111332O BMQ BMQ V S DM a
-∆==⨯⨯==,故选D. 考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象水平和抽象思维水平，
属于难题.三视图问题是考查学生空间想象水平最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将
其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，
还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.
19. 【北京市2019届高三入学定位考试数学（理）试题】某三棱锥的三视图如图所示，其中
俯视图是正方形，则该三棱锥最长棱的长是________.
【答案】
考点：三视图还原几何体.
【方法点睛】本题主要考查了三视图还原几何体，求几何体中棱长的长度，在高考中属于高
频考点，该题在三视图类型的题目中难度中档；首先根据俯视图以及结合该几何体为三棱锥
可得，底面ABC 为等腰直角三角形，上定点P 在底面的投影在ABC ∆外，且和ABC ∆正好
构成正方形，易得底面三条棱的长度，PC PA ,均和正方形的边长以及三棱锥的高构成直角三
角形，PB 和正方形的对角线以及三棱锥的高构成构成直角三角形.
20. 【广东省惠州市2019届高三第一次调研考试数学（理）试题】某几何体的三视图如右图，
其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ）
A ．219cm π+
B ．2224cm π+
C ．2104cm π+
D ．2134cm π++
【答案】C
21. 【广东省惠州市2019届高三第一次调研考试数学（理）试题】已知三棱锥S ABC -的底
面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB =， 2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的
球心到平面ABC 的距离是（ ）
A B ．1 C D 【答案】A
【解析】因为三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，
S ∴在面ABC 内的射影为AB 中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，SH ∴上任意一点到,,A B C 的
距离相等． 3SH =1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，则O 为S ABC -的外接球球
心．
2SC =，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，SO OH ∴==O 到平面ABC 的距
离，故选A ．
考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．
22. 【浙江省温州市2019届高三8月模拟考试数学（理）试题】已知某个几何体的三视图如
下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）
A ．4
B ．163
C ．8
D ．323
【答案】B.
【解析】本题主要考查三视图与空间几何体的体积计算，意在考查学生空间想象水平与运算
求解水平. 试题分析：由题意得，该几何体为一四棱锥，故体积11642233
V =⨯⨯⨯=，故选B. 23. 【浙江省温州市2019届高三8月模拟考试数学（理）试题】棱长为2的正方形
1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，点P ，Q 分别为面1111A B C D 和线段1B C 上的动
点，则PEQ ∆周长的最小值为（ ）
A ．
B
C
D ．
【答案】B.
【技巧点拨】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题，处理时常用如下两种方法：1.结
合条件与图形恰当分析取得最值的条件；2.直接建系后，表示出最值函数，转化为求最值问
题；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.
24. 【新疆兵团农二师华山中学2019届高三上学期学前考试数学（理）试题】如图，网格纸
上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为
（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
考点：1、三视图；2、锥体的体积.
【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握锥体的体积公式.
25. 【新疆兵团农二师华山中学2019届高三上学期学前考试数学（理）试题】三棱柱
111ABC A B C -各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，0120ACB ∠=，CA CB ==14AA =，则这个球的表面积为 ．
【答案】64π
考点：1、外接球；2、球的表面积.
26. 【湖北省襄阳市第四中学2019届高三七月第二周周考数学（理）试题】某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长的是（ ）
A ． C ．
D ．5
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面C ∆AB 为俯视图中的直角三角形，ABC ∠为直角，其中5,4,3===BC AB AC ，⊥PB 底面ABC ，且4=PB ，由以上条件
可知，PBC ∠为直角，最长的棱为PC ，在直角三角形PBC 中，由勾股定理得，4122=+=BC PB PC ，故选B ．
考点：由三视图求面积、体积．
27. 【湖北省襄阳市第四中学2019届高三七月第二周周考数学（理）试题】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,
112AA =,则球O 的表面积为________．
【答案】169π
考点：球的内接几何体．
【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ，常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为,,a b c 则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点．直棱柱；有一
条棱垂直于一个面的棱锥，设高为h 其外接球半径R 公式秒杀公式2
222h R x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
．
二.水平题组
1. 【2019年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）（理）】（本小题满分12分）
如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，
四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =.
（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.
【答案】（1）由余弦定理求出2AC ，由勾股定理的逆定理证明BC AC ⊥即可；（2）分别以
直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立所示空间直角坐标系，令(0FM λλ=≤≤,求出平面MAB 与平面FCB 的法向量(用λ表示)即可求cos θ的范围.
令(0FM λλ=≤≤
，则(0,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ， ∴(3,1,0),(,1,1)AB BM λ=-=-. 设1(,,)n x y z =为平面MAB 的一个法向量，
由1100
n AB n BM ⎧∙=⎪
⎨∙=⎪⎩，得00y x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， 取1x
=，则1(1,3,)n λ=， ∵2(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，
∴1212||
cos ||||1n n n n
θ∙===. ∵0λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ，
当λ=cos θ有最大值12
，
∴1cos ]2
θ∈. 考点：1.空间直线与直线垂直的判定；2.空间向量的应用.
2. 【湖南省长沙市长郡中学2019届高三摸底考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 在四棱锥P ABCD -中，设底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD .
（1）求证：PC BD ⊥；
（2）过BD 且与直线PC 垂直的平面与PC 交于点E ，当三棱锥E BCD -的体积最大时，求二面角E BD C --的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）4π.
（2）设PA x =，三棱锥E BCD -的底面积为定值，求得它的高22
x h x =+，
当2x x
=，即x =时，h ，三棱锥E BCD -的体积达到最大值为
111132⨯⨯⨯=. 以点A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，PA 为z 轴建立空间直角坐标系，则
(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),B C D P ，令(,,)E x y z ，PE PC λ=，
BE PC ⊥，得34
λ=
，∴33(,,44E ， 设'''(,,)n x y z =是平面EBD 的一个法向量，(1,1,0)BD =-
，13(,,44BE =-， 则0
0n BD n BE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，得(1,1,2)n =.
又AP =是平面BCD 的一个法向量， ∴2cos ,n AP <>=E BD C --为4
π. 考点：线面垂直的判断与性质，二面角．
【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．
3. 【江西省新余市第一中学2019届高三上学期调研考试（一）（开学考试）】（本小题满分12分）如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中, 底面
ABC 是等腰直角三角形, 且斜边AB =,侧棱13AA =,点D 为AB 的中点, 点E 在线段1AA 上,1(AE AA λλ= 为实数).
（1）求证：不论λ取何值时, 恒有1CD B E ⊥；
（2）当13
λ=
时, 求平面CDE 与平面ABC 所成二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2
法二：分别以CA, CB, CC 1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系C —xyz ，则C (0,0,0), D (1,1,0), E (2,0,1), 11(0,2,3),(0,0,3)B C ,∴(1,1,0),(2,0,1)CD CE ==,
设平面CDE 的一个法向量为(,,),x y z =n
则0,20,CD x y CE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩
n n 令1,x =得(1,1,2).=--n （9分） 平面ABC 的一个法向量为
1(0,0,3).CC =
111|||cos ||3
CC CC CC ⋅∴<>===⨯n n,|n ||，
∴平面CDE 与平面ABC （12分） 考点：线面垂直的判断与性质，二面角．
【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．当然象本题已经有棱的垂面了，二面角的平面角已经出现了，所以直接用定义求二面角即可，没必要再用向量法求解．
4. 【浙江省温州市普通高中2019届高三8月模拟考试数学试题】（本题满分15分）
如图，四棱锥P ABCD -中，0
90,2,1ABC BCD AB CD CB CP ∠=∠=====，点P 在底面上的射影为线段BD 的中点M ．
（1）若E 为棱PB 的中点，求证：//CE 平面PAD ；
（2）求二面角A PB C --的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1
3
-．
解法二：（1）
如图，由点P 在底面上的射影为线段BD 的中点M ，且
MC MB MF MD ===，则PC PB PD BC ===，
以B 为坐标原点，,BC BA 所在直线为,x y 轴，建立空间直角坐标系B xyz -，则
()()()11110,0,0,0,2,0,1,0,0,,,,2244B A C P E ⎛⎛ ⎝⎝．
．．．．．．．．．．．．．．．．3分
则()132311,1,0,,,,,2244AD AP CE ⎛⎫⎛=-=-=- ⎪ ⎝⎝，
∴(1,1,2t =为面PAD 的一个法量，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴0CE t =，则//AF 面PCD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（2）()(
)11
0,2,0,1,0,0,,22BA BC BP ⎛=== ⎝，设面BPA 的一个法向量为(),,m x y z =，
由00BA m BP m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
即2011022y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()2,0,1m =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 同理，面BPC 的一个法向量为()0,2,1n =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 设θ是二面角A PB C --的平面角，易见θ与,m n 互补， 故1cos cos ,3m n m n m n
⋅=-=-=-θ， 所以二面角A PB C --的平面角的余弦值为1
3-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
考点：线面平行的判定，二面角．
5. 【江苏省南京市2019届高三上学期学情调研卷数学试题】（本小题满分14分） 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．
（1）求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；
（2）若D 在边BC 上，AD ⊥DC 1，求证：MN ⊥AD ．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． A B
C
D M N
A 1
B 1
C 1 （第16题）
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．……………………8分因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，
所以AD⊥平面BB1C1C．……………………10分又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC．……………………12分又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD．……………………14分考点：线面平行的判定，线面垂直的判定与性质．
6. 【江苏省南京市2019届高三上学期学情调研卷数学试题】（本小题满分10分）
如图，在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，点E 是线段PC 的中点．
（1）求异面直线AP 与BE 所成角的大小；
（2）若点F 在线段PB 上，使得二面角F －DE －B 的正弦值为33，求PF PB 的值．
【答案】（1）6π；（2）12． A
B C
D
F
P
E
（第22题）
考点：用向量法求异面直线所成的角，二面角．
7. 【江苏省苏州市2019届高三暑假自主学习测试数学试题】（本题满分14分）
-中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且
如图，在四棱锥P ABCD
PA PD AD
（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥平面PDC.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，CD ⊂平面ABCD ，又CD ⊥AD ，
所以CD ⊥平面
PAD ， …………………………………………………………………………………8分
又PA ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PA ，因为EF//PA ， ∴CD ⊥EF ……………………………………10分
又AD ，所以△PAD 是等腰直角三角形，且2APD π∠=，即PA ⊥PD 又EF//PA ， ∴PD ⊥EF ………………………………………………………………13分
而CD ∩PD=D ，∴ PA ⊥平面PDC ，又EF ∥PA ，所以EF ⊥平面PDC ………………………14分
考点：线面平行判定定理，线线垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
8. 【江苏省泰州中学2019届高三摸底考试数学试题】如图，正方形ABCD 所在的平面与
△CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且2AB AE =．
（1）求证：//AB 平面CDE ；
（2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理，线面垂直性质与判定定理
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
9. 【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2019届高三第一次联考数学（理）
试题】(本小题满分12分)
如图，菱形ABCD 的中心为O,四边形ODEF 为矩形，平面ODEF ⊥平面ABCD ，DE=DA=DB=2
（I ）若G 为DC 的中点，求证：EG//平面BCF;
（II ）若2=,求二面角O EH D --的余弦值.
【答案】（I ）详见解析（II ）8
5
考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角
【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
10. 【浙江省金华、丽水、衢州市十二校2019届高三8月联考数学（理）试题】（本小题15
分）
如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=，E 是DP 中点．
（1）证明：//PB 平面ACE ；
（2）若AP PB ==，2AB PC ==，求二面角A PC D --的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2.
平面APC 中，(1,0,1)AP =-，(0,CP =；设平面APC 的法向量为()1111,,n x y z =，
则有
1
11
1
11
1
1
x
x z
y
z
z
⎧⎧=
-+=
⎪⎪
⇒=
⎨⎨
+=
⎪⎪
=
⎩
⎩
，即
1
(3,1,
n=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
设平面DPC的法向量为
2222
(,,)
n x y z
=，∵(2,0,0)
CD
=，(0,
CP=，
则有2
22
20
x
z
=
⎧⎪
⎨
+=
⎪
⎩
可取
2
n=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
∴12
12
27
cos,
7
n n
n n
n n
<=
⨯
，∴二面角A PC D
--的余弦值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
考点：1.线面平行的判定与性质；2.空间向量求二面角．
11.【广东省珠海市2019届高三9月摸底考试数学（理）试题】（本小题满分12分）
在如图所示的圆台中，C
A是下底面圆O的直径，EF是上底面圆/O的直径，FB是圆台的一条母线.
（1）已知H
G，分别为FB
E,C的中点，求证：ABC
GH面
//；
（2）已知2
2
1
=
=
=AC
FB
EF，BC
AB=，求二面角O
BC
F-
-的余弦值.
【答案】(1)详见解析；(Ⅱ) 7
7.
（2）连接/OO ，则ABC OO 平面⊥/
，又BC AB =，且AC 是圆O 的直径，所以AC BO ⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -(OA 方向为x 轴，OB 方向为y 轴，/OO 方向为z 轴，图略)由题意得：()()002-,0,2,0，，
C B ,过点F 作OB FM ⊥于点M ，故()310322，，F BM FB FM ∴=-=，故()()3,1,0,0,2,2-=--=→→BF BC ，设
()z y x n ,,=→是平面BCF 的一个法向量，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=⋅=⋅→→→→
0BF n BC n ⎩⎨⎧=+-=--∴03022z y y x ，取1-=z ，则()1,3,3--=→n ， 又平面ABC 的一个法向量()3,0,0/=→OO ，故
77,cos /
//-=⋅>=<→→→→→→OO n OO
n OO n ，所以二面角O BC F --的余弦值为7
7. 考点：1.空间平行判定与性质；2.二面角的计算；3.空间想象水平;4.推理论证水平
【易错点睛】本题主要考查了空间平行判定与性质、二面角的计算、空间想象水平和推理论证水平，考查学生综合应用知识的水平和应变水平，属综合题.其解题过程中最容易出现以下错误：其一是对于第一问不能熟练使用线线平行、线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，进而不能准确处理线面平行的问题；其二是对于第二问不能准确使用空间向量求二面角的大小，其关键是准确地求出各面的法向量.
12. 【河南省天一大联考2019届高三上学期阶段性测试（一）数学（理）试题】（本小题满分12分）
如图，已知等边ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 边的中点，M 为EF 的中点，N 为BC 边上一点， 且14
CN BC =，将AEF ∆沿EF 折到'A EF ∆的位置，使平面'A EF ⊥平面EFCB . （Ⅰ）求证：平面'A MN ⊥平面'A BF ；
（Ⅱ）求二面角'E A F B --的余弦值
.
【答案】（I ）证明见解析；（II
考点：空间向量法证明面面垂直、求面面角的余弦值．
13. 【四川省成都市2019届高中毕业班摸底测试数学（理）试题】（本小题满分12分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知090BAC ∠=，1AB AC ==，12BB =，0160ABB ∠=.
（1）证明：1AB B C ⊥；
（2）若12B C =，求二面角11B CC A --的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2.
由11100
AC n AC n ⎧∙=⎪⎨∙=⎪
⎩1111111000y y x y x ==⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨-+==⎪⎪⎩⎩. 令11z =，则平面1ACC 的一个法向量为1(3,0,1)n =.
设平面11B CC 的法向量为2222(,,)n x y z =.
由1222221222220000B C n y y CC n x x ⎧⎧⎧∙===⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨∙===⎪⎪⎪⎩⎩
⎩. 令21z =，则平面11B CC
的一个法向量为2(3,n =.
设二面角11B CC A --的平面角为θ，易知θ为锐角.
∴1212cos n n n n
θ∙==∙
考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、空间向量夹角余弦公式.
14. 【北京市2019届高三入学定位考试数学（理）试题】（本小题满分14分）
已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，2CD =
，AD =1AB =，如图
1所示，将ABD ∆
沿BD 折起到PBD ∆的位置，如图2所示.
（Ⅰ）当平面PBD ⊥平面PBC 时，求三棱锥P BCD -的体积；
（Ⅱ）在图2中，E 为PC 的中点，若线段//BQ CD ，且//EQ 平面PBD ，求线段BQ 的长；
（Ⅲ）求证：BD PC ⊥.
【答案】（Ⅰ）22
；（Ⅱ）1；（Ⅲ）证明见解析.
（Ⅲ）证明：在图1中连接AC ，交BD 于G .
因为90CDA DAB ∠=∠=，
所以tan CD CAD AD ∠==tan AD DBA AB
∠==， 所以CAD DBA ∠=∠.
因为90CAD BAG ∠+∠=，所以90DBA BAG ∠+∠=.所以BD AC ⊥.
所以将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置后，仍有BD PG ⊥，BD CG ⊥，如图2所示. 又因为PG CG G =，所以BD ⊥平面PCG .
又因为PC ⊂平面PCG ，所以BD PC ⊥.…………………………………………………………14分
考点：（1）几何体体积的计算；（2）线面平行性质定理；（3）线面垂直判定及性质定理.
15. 【广东省惠州市2019届高三第一次调研考试数学（理）试题】（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点．
（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
（Ⅱ）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
16. 【新疆兵团农二师华山中学2019届高三上学期学前考试数学（理）试题】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中
点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=2，试问在线段EF上是否存有点Q，使得二面角Q﹣AP﹣D？若存有，确定点
Q的位置；若不存有，请说明理由．
中点.
【答案】（I）证明见解析；（II）满足条件的Q存有，是F
【解析】
（Ⅱ）结论：满足条件的Q 存有，是EF 中点．理由如下：
如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则)1,2
1,21(),0,21,0(),0,1,1(),0,1,0(),2,0,0(F E C B P ， 由题易知平面PAD 的法向量为(0,1,0)n =，假设存有Q 满足条件：设EQ EF λ=， 1(,0,1)2EF =，∴1(,,)22Q λλ=，1(,,)22
AQ λλ=，]1,0[∈λ， 设平面PAQ 的法向量为(,,)n x y z =，。