第一学期高三数学文科期中考试卷 试题

卜人入州八九几市潮王学校牟平二零二零—二零二壹第一学期高三数学文科期中考
试卷
说明：本试题分为第一卷和第二卷两局部.一共150分，考试时间是是120分钟.
第I 卷
一、选择题：一共12小题每一小题5分，总分值是60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一个选项
是符合题目要求的，把正确的选项的代号涂在答题卡上.
1．函数x x x f 22cos 3sin )(+=的最小正周期是
〔〕
A ．
4
π B ．
2
π C ．π
D ．2π 2．向量x b b a x x b x a 则若其中//)2(,0)1,(),2
1
,8(+>==的值是
〔〕
A ．0
B ．2
C ．4
D ．8
3．假设函数
c bx x x f ++=2)(的图象的顶点在第四象限，那么函数)(x f '的图象是
〔〕 4．假设锐角△ABC 中，假设tanA=t+1,tanB=t －1，那么t 的取值范围是
〔〕
A ．〔－1，1〕
B ．〔1，+∞〕
C ．〔－
2，2〕
D ．〔
2，+∞〕
5．等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27，那么数列{a n }前9项的和S 9等于 〔〕
A ．66
B ．99
C ．144
D ．297 6．假设a 、b 、c ∈R ，a >b ，那么以下不等式成立的是 〔〕
A ．
b
a 1
1< B ．a 2
>b 2
C ．a |c|>b|c|
D ．
1
12
2+>+c b
c a
7．设函数
)}()
(1
{
,12)()(*N n n f x x f ax x x f m ∈+='+=则数列的导函数的前n 项和是
〔〕
A ．
1
+n n B ．
1
2
++n n C ．
1
-n n D ．
n
n 1
+ 8．正数y
x a y x y x 1
,12,+=+且
满足的最小值是9，那么正数a 的值是 〔〕 A ．1
B ．2
C ．4
D ．8 9．函数
x x y ln =的单调递减区间是
〔〕
A ．〔1
-e
，+∞〕
B ．〔－∞，1
-e
〕
C ．〔0，1
-e
〕
D ．〔e ，+∞〕 10．向量||,13||,3||,120b b a a b a 则的夹角为与=+=
等于
〔〕
A ．5
B ．3
C ．4
D ．1
11．在等比数列{n a }中，a 1=2，前n 项和为S n ，假设数列{n a +1}也是等比数列，那么S n 等于〔〕
A ．2n+1
－2
B ．3n
C ．2n
D ．3n
－1
12．
)3
(,43)3(,212cos sin cos )(2ππ-=--=f f a x x b x a x f 则且的最大值是=
〔〕
A ．
2
1
B ．－
4
3 C ．－
2
1或者43
D ．0或者－
4
3
二、填空题：本大题有4个小题，每一小题4分，一共16分；将答案填写上在第II 卷相应的题号后面的空
格内.
13．x 、y 满足约束条件y x z x y x y x 42,30
05+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-则的最小值为.
14．假设)
4
cos(2cos ),2
,0(,135)4
sin(
απ
απααπ
+∈=
-则且值为.
15．如图，函数
)(x f y =的图象在点P 处的切线方
程是
)5()5(,8f f x y '++-=则=.
16．有两个向量1e =〔1，0〕，2e =〔0，1〕，今有动
点P 从P 0〔－1，2〕开场沿着与向量1e +2e 一样
的方向作匀速直线运动，速度为|1e +2e |；另一动点Q 从Q 0〔－2，－1〕开场沿着与向量31e +22e 一样的方向作匀速直线运动，速度为|31e +22e |.设P 、Q 在时刻t=0秒时分别在P 0、Q 0处，那么当
00Q P PQ ⊥时，t=秒.
第二卷
三、解答题：本大题一一共6个小题，总分值是74分，解答时要求写出必要的文字说明或者推演步骤. 17．〔此题总分值是12分〕
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，假设sin 2
B+sin 2
C=sin 2
A+sinBsinC ，且4=⋅
AB AC ，
求△ABC 的面积S. 18．〔12分〕
01)1()(,),,(),,1(,22<+⋅+-⋅-+==b a m b a m m x x x b x a 求使为实数成立的
x
的范围. 19．〔12分〕
三点A 、B 、C 的坐标分别为A 〔3，0〕，B 〔0，3〕，),4
)(sin ,(cos Z k k C ∈≠
π
α
αα，假设α
α
αtan 12cos 2sin 1,1+-+-=⋅求
BC AC 的值.
20．某渔业公司年初年98万元购置一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕
鱼收益50万元。

〔1〕问第几年开场获利？
〔2〕假设干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案最合算？
21．〔12分〕数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +1=KS n +2,又a 1=2,a 2=1. 〔1〕求k 的值； 〔2〕求S n ；
〔3〕存在正整数m 、n ，使
2
1
1<--+m S m S n n 成立，试求出m 、n 的值.
22．〔14分〕
向量,
,),1()1(),1,0(),0,1(+∈∈+--===N m R x m x x x A j i m
x 其中规定 且
1)0(13)(.12
310=≠++==+x ab bA aA x f A x x x 在函数处获得极值，在x =2处的切线平行向量
)5,5(a b OP +=.
〔1〕求f (x )的解析式； 〔2〕求f (x )的单调区间； 〔3〕是否存在正整数m ，使得方程
)1,(3
16
6)(+-
=m m x x f 在区间内有且只有两个不等实根？假设存在，求出m 的值；假设不存在，说明理由.
[参考答案]
一、选择题
CCADBDABCCCD 二、填空题
13.－614.13
24 三、解答题 17．解：由得bc a c b
+=+222
……………………………………2′ 18．解：〔1〕x x x x b
a =-+=⋅22
01)1(01)1()(22<++-⇔<+⋅+-⋅∴x m mx b a m b a m ……………………2′
1°当m=0时，x >1……………………………………………………………………4′
2°当0)1)(1
(,0<--
≠x m
x m m
时 ①m <0时，x >1或者x <m
1………………………………………………………………6′
②0<m <1时，1<x <
m
1………………………………………………………………8′
③m =1时，x ∈φ……………………………………………………………………10′ ④m >1时，
m
1<x <1………………………………………………………………12′
19．解：).3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααBC AC
1)3(sin sin cos )3(cos 1
-=-+⋅-∴-=⋅ααααBC AC ………………2′
整理得3
2
cos sin =
+αα
①…………………………………………………………5′ ααα
αααααααααααααcos sin 2cos sin cos )
cos (sin sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12cos 2sin 12=++=+
+=+-+
……………………10′
由①平方得
.9
5
95cos sin 29
4cos sin 21-=∴-
=∴=
+原式αααα…………………12′
20．解：由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列. 设纯收入与年数的关系为f (n )，那么
f (n)=50n －[12+16+…+(8+4n)]=98=40n －2n 2－98………………………………2′
〔1〕由f (n)>0得10－
51<n<10+51，
又∵n ∈N*，∴n=3，4……，17.即从第3年开场获利.…………………………4′ 〔2〕①年平均收入为
1214240)49
(240)(=⨯-≤+-=n
n n n f 当且仅当n=7时，年平均获利最大，总收益为12×7+26=110〔万元〕………7′ ②f (n)=－2(n －10)2
+102
∵当n=10时，f (n)max =102，总收益为102+8=110〔万元〕.……………………10′ 但7<10∴第一种方案更合算.…………………………………………………12′
21．解：〔1〕∵S 2=KS 1+2∴a 1+a 2=K a 1+2.又a 1=2，a 2=1，∴K=2
1
………………2′ 〔2〕2211
+=
+n n S S ①n ≥2时，S n =2
1
S n －1
+2②， ①－②得)2(21
1≥=+n a a n n ……………………………………………………4′
又a 2=
21a 1
，a n ≠0〔n ∈N *〕}{*),(211n n n a n n a a ∴∈=∴+是等比数列，公比为2
1
)211(42
11]
)21
(1[2n n n S -=--=∴………………………………………………7′
〔3〕不等式21)2
11(4)21
1(4,2111<----
<--++m
m m S m S n n n n 即
整理得6)4(220]
2)4(2[26)4(2<-<∴<----m m m n n
n ……………………9′
∵存在正整数m ，n 使得上面的不等式成立，由于2n
为整数，4－m 为整数，
那么只能2n
(4－m)=4…………………………………………………………10′
∴⎩⎨
⎧==⎩⎨⎧==∴⎩⎨
⎧=-=⎩⎨⎧=-=2
3
1214422422n m n m m m n n 或或 即m=2,n=1或者m=3,n=2.……………………………………………………12′
22．解：〔1〕由
1)3(31)1(3)1()1()(23++-+=+-+-+=x b a bx ax x bx x x x a x f .
…………………1′ 〔2〕),1)(13(662418)(2--=+-='x x x x x f
〔3〕方程
01936183
16
6)(23=+--
=x x x x f 等价于 令g(x )=18x 3
－36x 2
+19………………………………………………9′ ∴方程g(x )=0在区间〔1，
34〕，〔3
4，2〕内分别有唯一实根………………13′ ∴存在正整数
m=1使得方程3
16
6)(-=x x f 在区间〔1，2〕上有且只有两个不相等的实数
根.……………………………………………………………………14′。