高考数学备考30分钟课堂集训系列专题7立体几何(教师版)

120 40
【解析】
2
所以 32000 mm 32 m
120 40
2 0.1 100m.
32000
mm ，
15. ( 安徽省淮南市 2011 届高三第一次模拟考试 ) 给出命题：
（ 1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；
（ 2）设 l , m 是不同的直线， 是一个平面，若 l
， l ∥ m ，则 m
43
.
3
11. (2010 年全国高考宁夏卷） 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为
一个球面上，则该球的表面积为
(A) a 2
【答案】 B
(B) 7 a 2 3
(C) 11 a 2 (D) 5 a 2 3
【解析】如图， P 为三棱柱底面中心， O为球心，易知
a ，顶点都在
23
AP
a
32
3
1
a, OP a ，所以球的半径 R 满足：
点 G 是 A' BD 三边中线的交点，即为 A' BD 的重心。
6. ( 山东省济南市 2011 年 2 月高三教学质量调研 ) 一个几何体的三视图如图所示 长度 :cm), 则此几何体的表面积是
A. 80 16 2 cm2
( 单位
B. 84cm2 C. 96 16 2 cm2
第 6 题图
D. 96cm2
A'B AC' . BAC' 900.
5．( 辽宁省沈阳二中 2010 届高三第四次阶段测试 ) 已知长方体 ABCD A B C D ，对角
线 AC 与平面 A BD 相交于点 G ，则 G 是 A BD 的
（）
A．垂心 【答案】 D
B．外心
C．内心
D．重心
【解析】如图，平面 ACC ' A '与平面 A' BD 的交线为 A 'E ，显然点 E 是 BD 的中点， 且点 G 在 A 'E 上，故点 G 在 BD 的中线上，同理可得点 G 在 A ' D , A ' B 的中线上，即
A．若 l m,m
，则 l
B
．若 l
（）
, l / /m ，则 m
C．若 l / / , m ，则 l / / m
D．若 l / / , m / / ，则 l / /m
【答案】 B 【解析】 当两条平行线中的一条垂直于一个平面， 中的结论正确 .
则另外一条也垂直这个平面， 故选项 B
3． ( 安 徽 省 2 0 1 1 年 “ 江 南 十 校 ” 高 三 联 考 ) 已知一个棱长为 2 的正方体，
D. 1:8
D A
C B
【答案】 C
【解析】∵ N 为 PB 中点，∴ VP ANC ∴ VN ABC : VP ABCD 1:4.
VB ANC ，∴ VP ANC
VN ABC ，
10. 已知在半径为 2 的球面上有 A、 B、 C、 D 四点，若 AB=CD=2则, 四面体 ABCD 的体积的 最大值为
直角三角形，直角边长为
2 ，∴侧视图面积为 1 .
2
4
9.( 吉林省长春市 2011 届高三第二次模拟 ) 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为正方形 ，
且 PD 垂直于
P
底面 ABCD ， N 为 PB 中点，则三棱锥 P ANC 与四棱锥
P ABCD 的体积比为
A. 1:2
B. 1:3
N
C. 1:4
又 AE EB ,
∴ EB, EF , EA 两两垂直 . …………………… 5 分
以点 E 为坐标原点， EB, EF , EA 分别为 x, y, z轴建立如
图的空间直角坐标系 .
由已知得， A （ 0， 0，2）， B （ 2，0， 0），
C （ 2， 4， 0）， F （ 0， 3， 0）， D （0， 2， 2），
E
F
B
G
【解析】解： ( Ⅰ ) 证明：∵ AD / / EF , EF / / BC ，
∴ AD / / BC . 又∵ BC 2 AD , G 是 BC 的中点，
∴ AD / /BG ，
∴四边形 ADGB 是平行四边形，
∴ AB / / DG .
…………… 2 分
∵ AB 平面 DEG ， DG 平面 DEG ，
3
2
R2
( 3 a)2 3
(1 a)2 2
7 a 2 ，故 12
S
球
4 R2
7 a2． 3
12. (2010 年高考重庆市理科 10) 到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直
线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
（ A） 直线
（ B） 椭圆
（ C） 抛物线
（D） 双曲线
【答案】 D
【解析】排除法 轨迹是轴对称图形，排除 A、 C，轨迹与已知直线不能有交点，排除 B
二、填空题
13. ( 江苏省泰州市 2011 届高三年级第一次模拟 ) 设 a, b 是两 条直线， , 是两个平面，
则下列 4 组条件中所有能推得 a b 的条件是
①a , b∥ ，
；② a ,b ,
。（填序号） ；
③ a , b ， ∥ ；④ a
【答案】 ②③④
，b∥ ， ∥ 。
【解析】由① a , b ∥ ，
BD 2 ， BD CD . 将四边形 ABCD 沿
A
A
对角线 BD 折成四面体 A BCD ，使平面
B
A BD 平面 BCD ，则下列结论正确的是 ( ) （ A） A C BD
DB C
D C
（ B） BA C 90
（ C） CA 与平面 A BD 所成的角为 30
（ D）四面体 A
【答案】 B
【答案】 B
【解析】该几何体为圆台，设展开图的“虚扇形”的半径为
l ，则
l2 , l 4.
l4 4
所以侧面积为 S 1 2 2
2 l4
1 2
2
2．( 辽宁省沈阳二中 2010 届高三第四次阶段测试
1 l 12 . ) 设 l , m 是两条不同的直
正视图 俯视图
侧视图 第4题
线， 是一个平面，则下列命题正确的是
) （本小题共 14
在如图的多面体中， EF ⊥平面 AEB ， AE EB , AD // EF ， EF // BC ，
BC 2 AD 4 ， EF 3， AE BE 2 ，
G 是 BC 的中点．
A
D
( Ⅰ ) 求证： AB // 平面 DEG ； ( Ⅱ ) 求证： BD EG ； ( Ⅲ ) 求二面角 C DF E 的余弦值 .
与另一个平行。 其中正确的命题是 【答案】 (2)(4)
（只填序号） .
【解析】 (1) 错误，垂直于同一平面的两个平面
也可能相交； （ 3）错误，“
”是
“m
”的必要条件不充分条件； （ 5）错误， 只有当异面直线 a, b 垂直时可以作出满
足要求的平面 .
16. ( 江苏省苏州市 2011 年 1 月高三调研 ) 设 , 为两个不重合的平面， m, n 为两条不
【答案】 A 【解析】该几 何体是正四棱锥与正方体的组合，
S表面积 =4 2
5+4
1 2
4
22 +2 2 =80+16 2.
7． ( 山东省济宁市 2011 年 3 月高三第一次模拟 ) 已知 a、 b 为直线， α 、 β 为平面．在
下列四个命题中，
① 若 a⊥ α ，b⊥ α ，则 a∥ b ；
又 BH DH H , BH 平面 BHD ， DH 平面 BHD ,
∴ EG ⊥平面 BHD .
……………………… 8 分
∵ BD 平面 BHD ,
∴ BD EG .
…… ………………… 9 分
解法 2
∵ EF 平 面 AEB ， AE 平面 AEB ， BE 平面
z
A
AEB ，∴ EF AE ， EF BE ，
② 若 a ∥α ， b ∥α ，则 a∥b；
③ 若 a⊥ α ，a⊥ β ，则 α ∥ β ；
④ 若 α ∥ b， β ∥b ，则 α∥ β ．
正确命题的个数是
（）
A． 1
B． 3
C． 2
D． 0
【答案】 C
【解析】由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平
行或异面或相交”知②假； 由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真； 易知④假， 选 C．
∴ AB / / 平面 DEG .
………………… 4 分
( Ⅱ ) 解法 1
证明：∵ EF 平面 AEB ， AE 平面 AEB ，
∴ EF AE ，
又 AE EB, EB EF E ， EB , EF 平面 BCFE ， B
A
E G
∴ AE 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ，则 DH ∵ EG 平面 BCFE ， ∴ DH EG .
；
（ 3）已知 , 表示两个不同平面， m 为平面 内的一条直线， 则“
”是“ m
”
的充要条件；
（ 4）若点 P 到三角形三个顶点的距离相等，
角形的外心；
则点 P 在该三角形所在平面内的射影是该三
（ 5） a, b 是两条异面直线， P 为空间一点 , 过 P 总可以作一个平面与 a, b 之一垂直，
8.( 吉林省长春市 2011 届高三第二次模拟 ) 将边长为 1 的正方形 ABCD沿对角线 AC折叠，
其正视图和俯视图如图所示 . 此时连结顶点 B、D形成三棱锥 B－ACD，则其侧视图的面积
为
B
A. 1
C. 1 4
【答案】 C
B. 1 2
D. 1 8
A
正视图 C
D
俯视图
【解析】由正视图和俯视图可知，平面 ABC 平面 ACD . 三棱锥 B－ACD侧视图为等腰
被一个平面截后所 得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
）
A． 8
B
． 20
3
C ． 17 3
D ． 14 3
【答案】 C 【解析】几何体是正方体截去一个三棱台，
V 23 1 ( 1 2
1
17
2 )2 .
32
2
3
4．( 北京市西城区 2011 年 1 月高三试题 ) 如图， 四边 形 ABCD 中， AB AD CD 1，
(A) 2 3
(B)
4 3 (C)
2 3 (D)
83
3
3
3
【答案】 B
【解析】过 CD作平面 PCD，使 AB⊥平面 PCD,交 AB 与 P, 设点 P 到 CD的距离为 h , 则有
V四面体 ABCD
11 2
2h
2 h , 当直径通过
AB与 CD的中点时 , hmax
2
22
2
1
2 3,
32
3
故 Vmax
重合的直线，给出下列四个命题：
①若 m n, m , n 则 n ∥ ；
②若
,
m, n , n m, 则 n ；
③若 m 交且不垂直，则 n 与 m 不垂直 .
其中，所有真命题的序号是
.
【答案】 ①②
【解析】③错误， , 相交或平行；④错误， n 与 m 可以垂直，不妨令 n
可能得到两直线垂直，平行或异面，②③④均能得
到两直线垂直。
14. ( 江苏省苏州市 2011 年 1 月高三调研 ) 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径
40mm，满盘时直径 120mm，已知卫生纸的厚度为 0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度
大约是
m （ 取 3.14，精确到 1m ） .
【答案】 100
平面 BCFE .
∵ AD / / EF , DH / / AE ，∴四边形 AEHD 平行四边形，
………………… 5 分 ……………… 6 分
∴ EH ∴ EH
AD 2 ， BG 2 ，又 EH / / BG, EH
BE ，
∴四边形 BGHE 为正方形， ∴ BH EG ，
…………… 7 分
C D H
，则
在 内存在 m n.
17． ( 江苏省盐城市 2011 届高三年级第一次调研 ) 已知平面 , , , 直线 l , m 满足：
,
m,
l, l m , 那么
①m ；
②l
；③
；
④
.
可由上述条件可推出的结论有
(
【答案】 ②④
【解析】画图可知
① m 、③
不一定成立 .
请将你认为正确的结论的序号都填上 ).
BCD 的体积为 1 3
【解析】 AB=AD=1， BD= 2 , AB AD, A' B A'D .
平面 A BD 平面 BCD , 平面 A'BD 平面 BCD BD ,
又 CD BD, CD 平面 A'BD .
A'B 平面 A'BD , CD A'B. A'B 平面 AC' D .
AC' 平面 AC' D .
高考数学备考 30 分钟课堂集训专题系列
专题 7 立体几何
一、选择题
1. ( 安徽省合肥市 2011 年高三第一次教学质量检测 ) 右图是一个几何体的三视图，其中
正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长为 4 的等腰梯形， 则该几何体的侧
面积是 ( )
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24
18．（ 2010 年高考福建卷） 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示
积等于
.
, 则其表面
【答案】 6+2 3
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为
2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为
2 3 4 2 3 ，侧面积为 3 2 1 6，所以其表面积为 6+2 3 。 4
三、解答题
19.( 理科 ) ( 北京市海淀区 2011 年 4 月高三年级第二学期期中练习理科 分）