2024-2025学年江苏省连云港市东海高级中学城北校区高一(上)第一次月考数学试卷+答案解析

2024-2025学年江苏省连云港市东海高级中学城北校区高一（上）第一
次月考数学试卷✥
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，
，则
A.
B.
C.
D.
2.已知集合，若
，则M 中所有元素之和为(
)
A.3
B.1
C.
D.
3.下列各式正确的是()
A. B.
C. D.
4.已知p ：，q ：
，则p 是q 的(
)
A.充要条件
B.必要而不充分条件
C.充分而不必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为
，其中A 是被测地震的最大振幅，
是“标准地震”的振幅使用标准地震振幅是为了
修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差根据该公式可知，
级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅
的倍.
A.
B. C.
D.
6.若命题“，”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是()
A.
B.0
C.1
D.3
7.若a ，b ，，则下列命题正确的是(
) A.若，则
B.若，
，则
C.若，
，则
D.若，
，则
8.已知
，
，且
，其中
，若
，，且
的所有元素之和为56，求
()
A.8
B.6
C.7
D.4
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.设计如图所示的四个电路图，条件A：“开关闭合”；条件B：“灯泡L亮”，则A是B的必要条件
的图()
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是()
A.若，则
B.命题“，”的否定是“，或”
C.若，则函数的最小值为2
D.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是
11.已知关于x的不等式的解集为，则()
A.
B.不等式的解集是
C.
D.不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合，则______.
13.已知，，则______.
14.若正数x，y，z满足，，则z的最大值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题13分
已知集合，
当时，求；
已知“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围.
16.本小题15分
若已知，，求的值；
计算；
已知求的值.
17.本小题15分
已知不等式
当时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
当时不等式恒成立，求实数m的取值范围.
18.本小题17分
已知，，求：
ⅰ的最小值
ⅱ的最小值.
解关于x的不等式：
19.本小题17分
已知有限集…，，如果A中的元素…，满足
……，就称A为“完美集”.
判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于2；
若为正整数，求：“完美集”
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的交集，属于基础题.
先求出集合A，B，然后根据交集运算求得答案.
【解答】
解：集合，
，
则
故选
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了元素与集合的关系，集合三要素中的互异性，属于基础题．
利用元素和集合的关系分类讨论并验证求解．
【解答】
解：若，则，不满足集合的互异性，舍去．若，则，不满足集合的互异性，舍去．
若，则，或，由可知不合题意，
当时，，此时，故M中所以元素之和为故选：
3.【答案】D
【解析】解：，，可得，因此不正确；
B.，因此不正确；
C.，不正确；
D.，
因此D正确．
故选：
利用指数的运算性质即可判断出正误．
本题考查了指数式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：由得，即
p：
由，得或，即q：或
则p是q的充分不必要条件，
故选：
5.【答案】B
【解析】解：由里氏震级的计算公式，
可得，
进一步变形得到，
从而得出
当时，
根据，
可得地震的最大振幅为
当时，
根据，
可得地震的最大振幅为
则
故选：
通过里氏震级的计算公式求出不同震级对应的最大振幅，然后计算两者的倍数关系．计算时运用对数的性质和公式即可．
本题考查了函数解析式的求法，重点考查了对数的运算，属中档题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元二次函数存在性问题，属于基础题
【解答】
解：由题意，原命题可转化为，
令，，则问题等价于，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以所以实数a可取的最小整数值是
故选
7.【答案】D
【解析】解：令，，，满足，不满足，故A错误，
欲证，则证即可，
当，，时，
B显然错误，
当，时，满足，不满足，故C错误，
若，，则一定成立，故得证，故D正确．
故选：
举反例判断A，B，C，利用给定条件求出的范围，再利用不等式的性质判断D即可．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】【分析】本题主要考查了元素与集合的关系应用问题，也考查了推理判断能力与集合思想，是较难题．
根据，判断，分类讨论与的情况，得到，，，再求的元素，即可求出的值，从而求出答案．
【解答】解：由得，所以；
又因为，即，所以，
当时，因为，所以，此时，，，
即，所以，从而，
所以，则
，即或1，这与
矛盾；
当时，
，
，即，所以，
从而，显然
，
，解得
或1，
因为时与
矛盾，所以
，
；
又因为，所以
，
将，，
代入，得到
，解得
或
舍去，
所以故选：
9.【答案】BC
【解析】解：对于A ，当灯泡L 亮时，有可能开关闭合，不能推出开关闭合，
此时A 不是B 的必要条件，故A 项错误；对于B ，由于开关
与灯泡L 是串联关系，故由“灯泡L 亮”可以推出“开关闭合”，
此时A 是B 的必要条件，故B 项正确；对于C ，由于开关
、
与灯泡L 是串联关系，
当时灯泡L 亮时，可得开关、
均闭合，所以A 是B 的必要条件，故C 项正确；
对于D ，不论开关
是否闭合，灯泡L 都是亮的，
故由“灯泡L 亮”不可以推出“开关闭合”，即A 不是B 的必要条件，故D 项错误．
故选：
根据题意，可得A 是B 的必要条件，即“灯泡L 亮”可推出“开关闭合”，由此判断可得答案．
本题主要考查充分必要条件的定义及其判断等知识，属于基础题．10.【答案】BD 【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的性质，含有量词的命题的否定，函数单调性在最值求解中的应用，不等式恒成立求解参数范围，属于较难题.
举出反例检验选项结合含有量词的命题的否定检验选项
结合函数单调性检验选项
结合二次函数的
性质检验选项
【解答】解：当时，A 显然错误;
命题“
，
”的否定是“
，
或
”，B 正确;
令，，原函数可化为，，
因为函数在时单调递增，故时，函数取得最小值，C错误;
当时，不等式恒成立，
则当时，恒成立，符合题意
;
当时，，解得，
综上，，，即k的取值范围是正确.
故选：
11.【答案】AB
【解析】解：不等式的解集为，
所以，3是的两个根，且，故A正确；
对于B，所以，
可得，，
所以，
所以不等式的解集是，故B正确；
对于C，因为，，，
可得，故C错误；
对于D，因为，
即解，解得，故D错误．
故选：
一元二次不等式的解集可判断
A，B；用a表示b，c代入可判断C，
本题考查解一元二次不等式不等式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为集合，
所以，
解得或，
当时，不满足集合中元素的互异性，舍去，
当时，集合为，满足题意，
所以
故答案为：
根据集合相等的定义求解即可．
本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，，
易知
故答案为：
利用对数运算法则计算可得结果．
本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为正数x，y满足，当且仅当时取等号，
所以，
又，
则
故答案为：
由已知，结合基本不等式先求出xy的范围，再由，分离出z，结合反比例函数的性质可求．
本题主要考查了基本不等式及反比例函数的性质在最值求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】解：解不等式可得，
当时，可得，
所以；
由“”是“”的必要条件可得，
当时，则，可得；
当时，可得，且两端等号不同时成立，可得；
又时，不合题意；所以；
综上可知实数a的取值范围为
【解析】解不等式根据集合的交集运算即可得出结果；
由题意可知，再对集合B是否为空集分类讨论即可．
本题主要考查了集合交集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
16.【答案】解：由已知，，
可得，
；
由，可得，可得，
所以，
因此可得
【解析】利用分数指数幂运算法则计算可得结果；
由对数运算法则计算可得答案；
利用平方关系计算可得，可得，由此可得结果．
本题考查分数指数幂运算法则、对数运算法则、平方关系、立方关系等基础知识，是基础题．17.【答案】解：①若，则原不等式可化为，显然恒成立，
②若，则不等式恒成立，
等价于，解得，
综上，实数m的取值范围是
①当时，则原不等式可化为，显然恒成立，
②当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，
若时不等式恒成立，
则，解得，
③当时，函数的图象开口向下，
若时不等式恒成立，
则，解得，
综上，实数m的取值范围是
【解析】通过讨论m的范围，结合二次函数的性质确定满足条件的m的取值范围即可；
通过讨论m的范围，结合二次函数的图像和性质确定m的取值范围即可．
本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质以及分类讨论思想，是中档题．
18.【答案】解：ⅰ因为，
当且仅当时取等号，所以，可得，解得，
当且仅当，时等号成立，所以xy的最小值为
ⅱ由，得，
所以，
当且仅当时取等号，此时解得，所以的最小值为
不等式对应方程为，解方程得或，
所以原不等式化为，
当时，原不等式化为，解得，
当时，或，
当时，解不等式，得或，
当时，解不等式，得，
当时，，解不等式，得，
当时，，此时不等式可化为，
化简得，该不等式无解，原不等式的解集为空集．
综上，
时，解集为，
时，解集为或，
时，解集为，
时，解集为，
时，解集为空集．
【解析】ⅰ利用基本不等式求解最值即可；ⅱ利用基本不等式结合‘的代换求解即可．依据二次项系数和一元二次不等式所对应的一元二次方程两个根的正负分类讨论，求解不等式即可．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
19.【答案】解：由，，则集合
是“完美集”，
若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或舍去，
所以，又，均为正数，
所以、至少有一个大于
不妨设A中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”A只有一个，为
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集A，
综上知，“完美集”A为
【解析】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的应用，属于中档题．根据“完美集”的定义，进行判断即可；
根据“完美集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可；
设
A中，得到，分，，进行分类讨论，。