2019年高考理数： 概率

核心考点解读——概率
考纲解读里的I，II的含义如下：
I：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.
II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)
1．（2017高考新课标Ⅰ，理2）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

2.(2016高考新课标I，理4)某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班
车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

3.（2015高考新课标I，理4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中
的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
4．（2017高考新课标Ⅲ，理18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
5．（2017高考新课标I，理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布错误！未找到引用源。

．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在错误！未找到引用源。

之外的零件数，求错误！未找到引用源。

及错误！未找到引用源。

的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在错误！未找到引用源。

之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，其中错误！未找到引用源。

为抽取的第错误！
未找到引用源。

个零件的尺寸，错误！未找到引用源。

．
用样本平均数错误！未找到引用源。

作为错误！未找到引用源。

的估计值错误！未找到引用源。

，用样本标准差错误！未找到引用源。

作为错误！未找到引用源。

的估计值错误！未找到引用源。

，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除错误！未找到引用源。

之外的数据，用剩下的数据估计错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

（精确到0.01）．
附：若随机变量错误！未找到引用源。

服从正态分布错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

．
6.(2016高考新课标I，理19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购
进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记错误！未找到引用源。

表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，错误！未找到引用源。

表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
（I）求错误！未找到引用源。

的分布列；
（II）若要求错误！未找到引用源。

，确定错误！未找到引用源。

的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在错误！未找到引用源。

与错误！未找到引用源。

之中选其一，应选用哪个？
7.(2016高考新课标II，理18)某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保
人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
1．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

2．从装有大小、材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率为
A．B．
C．D．
3．错误！未找到引用源。

中，,在线段上任取一点，则错误！未找到引用源。

的面积小于的概率是
A．B．
C．D．
4．2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟长为8，宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为，圆环半径为1，如图，则比值的近似值为
A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

5．自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如下表所示：
（1）采用分层抽样的方式从年龄在内的人中抽取人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？
（2）在（1）中选出人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；
（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为，求的分布列.
1．在区间内随机取出一个数，使得的概率为
A．B．
C．D．
2. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的五副羽毛球拍，现从袋中任取4支球拍，每支球拍被取出的可能性都相
等.
（1）求取出的4支球拍上的数字互不相同的概率；
.
（2）用ξ表示取出的4支球拍上的最大数字，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望
真题回顾：
1.B【解析】设正方形边长为错误！未找到引用源。

，则圆的半径为错误！未找到引用源。

，正方形的面积为错
误！未找到引用源。

，圆的面积为错误！未找到引用源。

.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是错误！未找到引用源。

，选B．秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率错误！未找到引用源。

满足错误！未找到引用源。

，故选B．
2.B
3.A【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为错误！未找到引用源。

=0.648，故选A.
4.（1）由题意知，错误！未找到引用源。

所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
因此错误！未找到引用源。

的分布列为
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑错误！未找到引用源。

.
当错误！未找到引用源。

时，若最高气温不低于25，则错误！未找到引用源。

；若最高气温位于区间错误！
未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

；若最高气温低于20，则错误！未找到引用源。

；因此错误！未找到引用源。

.当错误！未找到引用源。

时，若最高气温不低于20，则错误！未找到引用源。

；若最高气温低于20，则错误！未找到引用源。

.
因此错误！未找到引用源。

.
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.
5.（1）抽取的一个零件的尺寸在错误！未找到引用源。

之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在错误！未
找到引用源。

之外的概率为0.0026，故错误！未找到引用源。

.因此错误！未找到引用源。

.
错误！未找到引用源。

的数学期望为错误！未找到引用源。

.
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在错误！未找到引用源。

之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在错误！未找到引用源。

之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一
旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由错误！未找到引用源。

，得错误！未找到引用源。

的估计值为错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

的估计值为错误！未找到引用源。

，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在错误！未找到引用源。

之外，因此需对当天的生产过程进行检查.
剔除错误！未找到引用源。

之外的数据9.22，剩下数据的平均数为错误！未找到引用源。

，因此错误！未找到引用源。

的估计值为10.02.
错误！未找到引用源。

，剔除错误！未找到引用源。

之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为错误！未找到引用源。

，因此错误！未找到引用源。

的估计值为错误！未找到引用源。

.
6.（I）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

；
错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

.所以错误！未找到引用源。

的分布列为
（II）由（I）知错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

的最小值为19. （III）记错误！未找到引用源。

表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.
当错误！未找到引用源。

时，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

.当错误！未找到引用源。

时，
错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

.
可知当错误！未找到引用源。

时所需费用的期望值小于错误！未找到引用源。

时所需费用的期望值，故应选错误！未找到引用源。

.
7.（Ⅰ）设错误！未找到引用源。

表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件错误！未找
到引用源。

发生当且仅当一年内出险次数大于1，故错误！未找到引用源。

（Ⅱ）设错误！未找到引用源。

表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出错误！未找到引用源。

”，则事件错误！未找到引用源。

发生当且仅当一年内出险次数大于3，故错误！未找到引用源。

又错误！未找到引用源。

，故错误！未找到引用源。

因此所求概率为错误！未找到引用源。

（Ⅲ）记续保人本年度的保费为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的分布列为
错误！未找到引用源。

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为错误！未找到引用源。

【名师点睛】条件概率的求法：
(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝错误！未找到引用源。

，求出P(B|A)；
(2)基本事件法：当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本
事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝错误！未找到引用源。

.
求离散型随机变量均值的步骤：(1)理解随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；(2)求X取每个值时的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值定义求出EX．
名校预测
1．【答案】B【解析】由题意，此人在50分到整点之间的10分钟内到达，等待时间不多于10分钟，所以概率错误！未找到引用源。

.故选B.
2．【答案】C【解析】记个红球分别为，个黑球分别为，则随机取出两个小球共有种可能：
，其中两个小球同色共有种可能：，根据古典概型的
概率计算公式可得所求概率为，故选C．
3．【答案】C【解析】由得
则错误！未找到引用源。

，∴错误！未找到引用源。

的面积小于的概率为．故选C．
4．【答案】C【解析】设奥运五环所占的面积为，矩形的面积为，由在长方形内随机取了个点，
经统计落入五环及其内部的点数为，得，则，又单独五个圆环的面积为，所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例为错误！未找到引用源。

，故选C．
5．【解析】（1）因为年龄在人中男性，女性使用人数占总体的比例分别为，所以抽取的10人中男性，女性人数分别为，
（2）由题意知，在（1）中选出的10人中，女性使用者人数为4，所以人中恰有2女性使用者的概率为，
(3)由题意知，的可能取值为，因为用样本估计总体，任取1人，是男性使用者的概率为，所以随机变量服从二项分布，即，
,
,
所以分布列为
专家押题
1．【答案】D【解析】由题意有2+a−a2>0，解得−1<a<2.由几何概型的概率计算公式可得所求的概率为. 2．【解析】（1）取出的4支球拍上的数字互不相同的事件记为A,取出的4支球拍恰有一副球拍上的数字相同的事件记为B，取出的4支球拍恰有两副球拍上的数字相同的事件记为C，则事件A为事件B与事件C的和事件的对立事件.错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

.
答：取出的4支球拍上的数字互不相同的概率为错误！未找到引用源。

.
（2）由题意，知错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

；
错误！未找到引用源。

；错误！未找到引用源。

.
所以随机变量错误！未找到引用源。

的概率分布列为
数学期望错误！未找到引用源。

.。