2017《核按钮》高考数学一轮复习考点突破配套训练：第五章 平面向量与复数

第五章 平面向量与复数
考纲链接
1.平面向量
(1)平面向量的实际背景及基本概念 ①了解向量的实际背景．
②理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．
③理解向量的几何表示． (2)向量的线性运算
①掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．
②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
③了解向量线性运算的性质及其几何意义． (3)平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义． ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． ③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件． (4)平面向量的数量积
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ②了解平面向量的数量积与向量投影的关系． ③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
(5)向量的应用
①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
2．数系的扩充和复数的引入
(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
(2)了解复数的代数表示法及其几何意义． (3)能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．
§5.1 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的
____________(或称模).AB →
的模记作____________．
(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．
(3)单位向量：长度等于__________________的
向量叫做单位向量.a
||a 是一个与a 同向的
____________．－a
|a |
是一个与a ________的单位向
量．
(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．
规定：0与任一向量____________．
(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．
2．向量的加法和减法 (1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量a 的终点A 为起
点作第二个向量b ，则以第一个向量a 的起点O 为________以第二个向量b 的终点B 为________的向量OB →
就是a 与b 的________(如图1)．
推广：A 1A 2→＋A 2A 3→
＋…＋A n －1A n ＝____________.
图1 图2
②平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的
__________就是a 与b 的和(如图2)．在图2中，BC →
＝AD →
＝b ，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．
③加法的运算性质：
a ＋
b ＝____________(交换律)；
(a ＋b )＋c ＝____________(结合律)； a ＋0＝____________＝a . (2)向量的减法
已知向量a ，b ，在平面内任取一点O ，作OA →
＝a ，OB →＝b ，则BA →
＝____________，即a －b 表示从向量b 的终点指向向量a (被减向量)的终点的向量(如图)．
3．向量的数乘及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：
①||λa ＝____________；
②当λ>0时，λa 与a 的方向____________； 当λ<0时，λa 与a 的方向____________； 当λ＝0时，λa ＝____________. (2)运算律：设λ，μ∈R ，则： ①λ(μa )＝____________； ②(λ＋μ)a ＝____________； ③λ(a ＋b )＝____________. 4．两个向量共线定理
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．
自查自纠：
1．(1)大小 方向 长度 ||
AB
→ (2)长度为0 任意
(3)1个单位长度 单位向量 方向相反 (4)相同 相反 非零 共线向量 平行 (5)相等 相同 (6)相等 相反 (7)字母 有向线段 坐标
2．(1)①起点 终点 和 A 1A n → ②对角线AC →
③b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a (2)a －b 3．(1)λa ①|λ||a | ②相同 相反 0 (2)①μ(λa ) ②λa ＋μa ③λa ＋λb 4．b ＝λa
设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个
向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0
的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则当a 为零向量时，a 的方向任意；当a 不为零向量时，a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.
设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →
，
则( )
A.AD →＝－13AB →＋43AC →
B.AD →＝13AB →－43
AC →
C.AD →＝43AB →＋13AC →
D.AD →＝43AB →－13
AC →
解：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13
(AC →－
AB →
)＝－13AB →＋43AC →.故选A.
(2015·湖北联考)已知O ，A ，B 是平面上的
三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →
＝0，则OC →
等于( )
A ．2OA →－O
B → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23
OB → 解：由2AC →＋CB →＝0得2OC →－2OA →＋OB →－OC →
＝0，故OC →＝2OA →－OB →
.故选A.
(2015·北京)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →
＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →
，则x ＝________，y ＝________．
解：在△ABC 中，MN →＝AN →－AM →＝12
(AB →＋AC →
)－
23AC →＝12AB →－16AC →，所以x ＝12，y ＝－16.故填12；－16.
(2015·全国)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．
解：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，且a ＋2b ≠0，∴存在唯一的实数μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )，即(λ－μ)a ＋(1－2μ)b ＝0.∵a ，b 不平行， ∴
⎩
⎪⎨⎪⎧λ－μ＝0，1－2μ＝0， 解得λ＝μ＝12.故填12
.
类型一 向量的基本概念
给出下列命题：
①若|a |＝|b |，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →
＝DC →
”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；
③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；
④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．
解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →
，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边
形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，可得AB →＝DC →.故“AB →
＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．
③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .
④不正确．由a ＝b 可得|a |＝|b |且a ∥b ；由|a |＝|b |且a ∥b 可得a ＝b 或a ＝－b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是②③.故填②③.
点拨：
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动
混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a
|a |
是a 方向
上的单位向量．
下列命题中，正确的是________．(填
序号)
①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；
③向量AB →与向量CD →
共线，则A ，B ，C ，D 四点共线；
④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；
⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
解：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是任意的，故两向量方向不一定相同或相反；
③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；
④不正确，如果b 为零向量，则a 与c 不一定平行；
⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．故填⑤.
类型二 向量的线性运算
(1) 在△ABC 中，AB 边上的高为CD ，
若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )
A.13a －13b
B.23a －23b
C.35a －35b
D.45a －45
b 解：∵a ·b ＝0，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，CD ＝
255，∴BD ＝55，AD ＝455.∴AD →＝45AB →＝ 45(CB →－CA →)＝45a －4
5b .故选D.
(2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →
＝2DC →，则AD →
等于( )
A.23b ＋13c
B.53c －23b
C.23b －13c
D.13b ＋23
c 解：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →
)，∴
3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13
c .
故选A.
点拨：
(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
(1)(2015·
福建模拟)在△ABC 中，AD →
＝2DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →
＝c ，则下列等式成立的是( )
A ．c ＝2b －a
B ．c ＝2a －b
C ．c ＝3a 2－b 2
D ．c ＝3b 2－a
2
解：因为在△ABC 中，BC →＝BD →＋DC →＝BD →
＋ 12AD →＝BD →＋12(BD →－BA →)＝32BD →－12BA →，所以c ＝32b －1
2
a .故选D.
(2)(2014·全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的
三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →
＝( )
A.AD →
B.12AD →
C.BC →
D.12
BC →
解：EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12
(AC →＋BC →)
＝12
(AB →＋AC →)＝AD →
.故选A. 类型三 向量共线的充要条件及其应用
已知A ，B ，C 是平面内三个不相同的
点，O 是平面内任意一点，求证：向量OA →，OB →，OC →
的终点A ，B ，C 共线的充要条件是存在实数λ，μ，
使得OC →＝λOA →＋μOB →
，且λ＋μ＝1.
证明：(1)先证必要性． 若OA →，OB →，OC →的终点A ，B ，C 共线，则AB →∥BC →，
∴存在实数m 使得BC →＝mAB →，即OC →－OB →
＝m (OB →－OA →)，
∴OC →＝－mOA →＋(1＋m )OB →.
令λ＝－m ，μ＝1＋m ，则λ＋μ＝－m ＋1＋m ＝1，
即存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →
，且 λ＋μ＝1.
(2)再证充分性． 若OC →＝λOA →＋μOB →
，且λ＋μ＝1， 则OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →， ∴OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BC →＝λBA →， ∴BC →∥BA →
，又BC 与BA 有公共点B ， ∴A ，B ，C 三点共线．
综合(1)(2)可知，原命题成立．
点拨：
证明三点A ，B ，C 共线，借助向量，只需证明由这三点A ，B ，C 所组成的向量中有两个向量共线，
即证明存在一个实数λ，使AB →＝λBC →
.但证明两条直
线AB ∥CD ，除了证明存在一个实数λ，使AB →＝λCD →
外，还要说明两直线不重合．注意：本例的结论可作定理使用．
(1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →
＝－5a ＋6b ，CD →
＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，
D D ．A ，C ，D
解：BD →＝BC →＋CD →
＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝
2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →
，∴A ，B ，D 三点共线．故选A.
(2)设两个非零向量a 与b 不共线，若k a ＋b 和a ＋k b 共线，则实数k ＝________.
解：∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k － λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.故填±1.
(3)(2015·南京模拟)如图，经过△OAB 的重心G
的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →
，
OQ →＝nOB →
，m ，n ∈R ，则1n ＋1m
的值为________．
解法一：∵G 是△OAB 的重心，∴OG →＝13
(OA →
＋
OB →)＝13m OP →＋13n OQ →.由P ，G ，Q 三点共线可得，
13m ＋13n ＝1，故1m ＋1n ＝3. 解法二：设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23
×12(OA →＋OB →)＝13
(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →
＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，且λ≠0，即 n b －m a ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩
⎨⎧
－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝1
3λ，消去λ得1n ＋1m ＝3.故填3.
1．准确理解向量的概念，请特别注意以下几点：
(1)a ∥b ，有a 与b 方向相同或相反两种情形； (2)向量的模与数的绝对值有所不同，如|a |＝|b |⇒/a ＝±b ；
(3)零向量的方向是任意的，并不是没有，零向量与任意向量平行；
(4)对于任意非零向量a ，a
||
a 是与a 同向的单位
向量，这也是求单位向量的方法；
(5)向量平行，其所在直线不一定平行，两向量还可能在一条直线上；
(6)只要不改变向量a 的大小和方向，可以自由平移a ，平移后的向量与a 相等，所以线段共线与向量共线是有区别的，当两向量共线且有公共点时，才能得出线段共线，向量的共线与向量的平行是一致的．
2．向量具有大小和方向两个要素，既能像实数一样进行某些运算，又有直观的几何意义，是数与形的完美结合．向量是一个几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．
3．向量加法的三角形法则可简记为“首尾相接，指向终点”；减法法则可简记为“起点重合，指向被减向量”；加法的平行四边形法则可简记 “起点重合，指向对角顶点”．
4．平面向量的三种线性运算的结果仍为向量，在三种线性运算中，加法是最基本、最重要的运算，减法运算与数乘运算都以加法运算为基础，都可以归结为加法运算．
5．对于两个向量共线定理(a (a ≠0)与b 共线⇔存在唯一实数λ使得b ＝λa )中条件“a ≠0”的理解：
(1)当a ＝0时，a 与任一向量b 都是共线的；
(2)当a ＝0且b ≠0时，b ＝λa 是不成立的，但a 与b 共线． 因此，为了更具一般性，且使充分性和必要性
都成立，我们要求a ≠0.换句话说，如果不加条件“a ≠0”，“a 与b 共线”是“存在唯一实数λ使得
b ＝λa ”的必要不充分条件．
1．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
解：由题意a |a |＝b
|b |
表示与向量a 和向量b 同向的单位向量相等，故a 与b 同向共线．故选C.
2．已知两个非零向量a ，b 不共线，AB →
＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →
＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解：∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD
→＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →
共线．设AB →＝λBD →
，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ且p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.故选B.
3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →
＝λOB →＋(1－λ)OA →
，实数λ∈(1，2)，则( )
A ．点M 在线段A
B 上 B ．点B 在线段AM 上
C ．点A 在线段BM 上
D ．O ，A ，M ，B 四点一定共线
解：由题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →
＝λAB →
.又λ∈(1，2)，∴点B 在线段AM 上．故选B.
4．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是
半圆弧的两个三等分点，AB →＝a, AC →＝b ，则AD →
＝(
)
A ．a －1
2b
B.1
2a －b C ．a ＋1
2
b
D.1
2
a ＋
b 解：连接OD ，CD ，显然∠BOD ＝∠CAO ＝60°，
则AC ∥OD ，且AC ＝OD ，即四边形CAOD 为菱形，故AD →＝AO →＋AC →
＝1
2
a ＋
b ，故选D.
5．已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →
＝AB →
，则点P 与△ABC 的位置关系是( )
A ．点P 在线段A
B 上 B ．点P 在线段B
C 上 C ．点P 在线段AC 上
D ．点P 在△ABC 外部
解：由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PC →＝AB →－PB →
＝AP →，即PC →＝AP →－P A →＝2AP →
，所以点P 在线段AC 上．故选C.
6．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中
点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →
(m ，
n ∈R )，则m
n
的值为( )
A ．－2
B ．－12
C ．2 D.1
2
解：设AB →＝a ，AD →＝b ，则EF →＝m a ＋n b ，BE →
＝AE →－AB →＝12
b －a ，由向量EF →与BE →共线可知存在非零
实数λ，使得EF →＝λBE →
，即m a ＋n b ＝12
λb －λa ，又a
与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－λ，n ＝12
λ， 消去λ得m
n
＝－2.故选
A.
7．如图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C
的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →
，则λ＋μ＝______．
解：由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →
＋
(1－x )AC →.又M 是AH 的中点，所以AM →＝12
AH →＝ 12xAB →＋12
(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.故填1
2
.
8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．
解：OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →
＝ AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →
|，即平行四边形的对角线相等，故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．故填直角三角形．
9．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且
AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →
＝
a ，AD →＝
b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.
解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →
＝－a ＋b ＋12a ＝b －12
a .
MN →＝MD →＋DA →＋AN →
＝－14a ＋(－b )＋12a ＝14
a －
b .
10．设两个非零向量e 1和e 2不共线．
(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →
＝ －8e 1－2e 2，求证：A ，C ，D 三点共线；
(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →
＝ 2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值．
解：(1)证明：∵AB →＝e 1－e 2，BC →
＝3e 1＋2e 2， CD →
＝－8e 1－2e 2，
∴AC →＝AB →＋BC →
＝4e 1＋e 2＝－12
(－8e 1－2e 2)＝
－12
CD →，∴AC →与CD →
共线． 又∵AC →与CD →
有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →
＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A ，C ，D 三点共线，
∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →，
即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，
得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，
解得λ＝32，k ＝43.故k 的值为4
3
.
11．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →. 解：∵A ，M ，D 三点共线， ∴OM →＝λ1OD →＋(1－λ1)OA →＝12
λ1b ＋(1－λ1)a ，①
∵C ，M ，B 三点共线，
∴OM →＝λ2OB →＋(1－λ2)OC →
＝λ2b ＋1－λ2
4
a ，②
由①②可得⎩
⎪⎨⎪⎧12λ1＝λ2，1－λ1＝1－λ2
4
， 解得⎩
⎨⎧
λ1＝67
，λ2＝37.
故OM →＝17a ＋37
b .
设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系
中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→
＝
μA 1A 2→
(μ∈R )，且1λ＋1μ
＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，
A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，
B ，则下面说法正确的是( )
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C ，
D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
解：若C ，D 调和分割点A ，B ，则AC →＝λAB
→
(λ∈R )，AD →＝μAB →
(μ∈R )，且1λ＋1μ
＝2.对于选项A ，
若C 是线段AB 的中点，则AC →＝12AB →
⇒λ＝12⇒1μ＝0，
故A 选项错误；同理B 选项错误；对于选项C ，若C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1，0＜μ＜1⇒
1λ＋1
μ
＞2，C 选项错误；对于选项D ，若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则λ＞1，μ＞1⇒1λ＋1
μ＜2，
故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，D 选项正确．故选D.
§5.2 平面向量的基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使________________．我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．
2．向量的夹角
(1)已知两个________向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角(如图)．
(2)向量夹角θ的范围是_______________．a 与b 同向时，夹角θ＝________；a 与b 反向时，夹角θ＝____________.
(3)如果向量a 与b 的夹角是____________，我们就说a 与b 垂直，记作____________．
3．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．
(2)在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .则实数对__________叫做向量a 的(直角)坐标，记作a ＝__________，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a 相等的向量的坐标也为________．显然，i ＝________， j ＝________，0＝________.
4．平面向量的坐标运算
(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ±b ＝__________________________.
(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →
＝___________________________.
(3)若a ＝(x ，y )，则λa ＝____________. (4)如果a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是____________________．
※5.线段的分点坐标
设点P 是线段P 1P 2上的一点，且P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )．
当P 1P →＝λPP 2→
时，点P 的坐标(x ，y )＝
⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 特别地：①当λ＝1时，点P 为线段P 1P 2的中
点，其坐标为P ⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22.
②G (x ，y )为△ABC 的重心，若A (x 1，y 1)，B (x 2，
y 2)，C (x 3，y 3)，则AB 中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22.
再由CG →＝2GD →
，我们便得到了三角形的重心坐标G (x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．
自查自纠：
1．a ＝λ1e 1＋λ2e 2 基底
2．(1)非零 (2)0°≤θ≤180° 0° 180° (3)90° a ⊥b
3．(1)互相垂直 (2)(x ，y ) (x ，y ) (x ，y ) (1，0) (0，1) (0，0)
4．(1)(x 1±x 2，y 1±y 2) (2)(x 2－x 1，y 2－y 1) (3)(λx ，λy ) (4)x 1y 2－x 2y 1＝0
(2015·全国Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
＝( )
A ．(－7，－4)
B ．(7，4)
C ．(－1，4)
D ．(1，4)
解：AB →＝(3，1)，BC →＝AC →－AB →
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.
如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基
底，那么以下表述正确的是( )
A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝ λ2＝0
B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，这里λ1，λ2是实数
C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内
D ．对平面α内的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2
的实数λ1，λ2有无数对
解：依平面向量基本定理，选项B ，C ，D 都错，只有A 的表述是正确的，故选A.
(2013·陕西)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )
A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0
解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，∴m ＝±2.故选C.
(2015·江苏)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－
2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．
解：因为m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5， 故m －n ＝－3.
故填－3.
在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，互
异的三点A ，B ，C 满足OC →＝23OA →＋13OB →
，则|AC →||AB →
|
＝
________.
解：∵OC →＝23OA →＋13OB →，∴OC →－OA →
＝－13
OA →＋
13OB →＝13(OB →－OA →)，∴AC →＝13AB →，∴|AC →
||AB →|
＝13
.故填13.
类型一 向量共线充要条件的坐标表示
平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝
(－1，2)，c ＝(4，1)．
(1)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；
(2)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d 的坐标．
解：(1)a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)，
由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－1613
.
(2)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)， 又a ＋b ＝(2，4)，|d －c |＝5，
∴⎩⎪⎨⎪⎧4（x －4）－2（y －1）＝0，（x －4）2＋（y －1）2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.
∴d 的坐标为(3，－1)或(5，3)．
点拨：
解决此类题目，我们只需要牢记：(1)两平面向
量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)， b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－ x 2y 1＝0；②a ∥b (a ≠0)，当且仅当唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
(1)已知向量a ＝⎝⎛⎭
⎫8，1
2x ，b ＝(x ，1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为________．
解：a －2b ＝⎝⎛⎭⎫8－2x ，1
2x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，
因为(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，
所以存在唯一的实数λ使得⎝⎛⎭⎫8－2x ，1
2x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ（16＋x ），
12x －2＝λ（x ＋1），
解得x ＝4(x >0)．故填4.
(2)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →
＝(2，－1)， OC →
＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点不能构成三角形，则实数k ＝________.
解：若点A ，B ，C 不能构成三角形，则向量AB →
，AC →共线.AB →＝OB →－OA →
＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，
2)，AC →＝OC →－OA →
＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，
k ＋1)．∵AB →∥AC →，AC →
≠0，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.故填1.
类型二 平面向量基本定理及其应用
(1)设e 1，e 2是相互垂直的单位向量，
e 1绕起点沿逆时针方向旋转90°到e 2.设向量v 的模|v |＝r ，e 1绕原点旋转到v 的方向所成的角为α.则v 在基底e 1，e 2下的坐标为________．
解：如图示，在平面上建立直角坐标系，O 是原点，e 1，e 2的方向分别为x 轴，y 轴正方向，e 1，e 2的模为单位长．
设v ＝OP →
，则v 的坐标就是点P 的坐标(x ，
y )．|OP |＝r ，α＝∠xOP .当r ＞0时，由三角函数定义知cos α
＝x r ，sin α＝y r
，从而x ＝r cos α，y ＝r sin α. v ＝OP →＝(r cos α，r sin α)，当r ＝0时显然也成立．故填(r cos α，r sin α)．
(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC →
分别为a ，b ，则AH →＝( ) A.25a －45b B.25a ＋4
5b C ．－25a ＋45b D ．－25a －4
5b 解：设AH →＝λAF →，DH →＝μDE →
.
而DH →＝DA →＋AH →＝－b ＋λAF →
＝－b ＋
λ⎝⎛⎭
⎫b ＋1
2a ， DH →＝μDE →
＝μ⎝⎛⎭⎫a －12b . 因此，μ⎝⎛⎭⎫a －12b ＝－b ＋λ⎝⎛⎭
⎫b ＋12a . 由于a ，b 不共线，因此由平面向量的基本定理有
⎩⎨⎧μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ. 解之得⎩⎨⎧λ＝4
5，
μ＝2
5.
故AH →＝λAF →
＝λ⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45
b .故选B.
点拨：
①平面上任意一个向量v 可分解为不共线向量e 1，e 2的线性组合：v ＝x e 1＋y e 2，若向量u ＝a e 1＋b e 2与v ＝x e 1＋y e 2相等，则对应系数相等，即a ＝x 且b ＝y ，一个平面向量方程相当于两个普通方程．②若e 1，e 2是平面内的一组基底，则对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ＝ λ1e 1＋λ2e 2，简单地说，就是平面内任一向量均可由该平面内的两个不共线向量线性表示，且表示方式惟一．特别地，当a ＝0即λ1e 1＋λ2e 2＝0时，必有λ1＝λ2＝0.③此题利用的是“基底方式”，即用a ，b
作为基底，选择两个参数λ，μ，然后将同一向量DH →
作两种表示，由平面向量基本定理知系数对应相等，即可得关于λ，μ的方程组．应注意这种题型及相应的解法，它在近几年各地模拟题中频繁出现．
(1)在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD
平分∠AC B.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则
CD →＝( ) A.13a ＋23b B.23a ＋1
3
b C.35a ＋45b D.45a ＋35b 解法一：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定
理，
得AD DB ＝AC BC ＝|b ||a |＝2，所以AD →＝2DB →＝23AB →.
所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－
CA →)＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13
b .
解法二：(特殊值法)构造直角三角形，令CB ＝
1，CA ＝2，AB ＝3，则∠DCB ＝30°，所以BD ＝
3
3
.故BD →＝13BA →，CD →＝CB →＋BD →
＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13
b .
故选B.
(2)(2013·北京)向量a ，b ，c 在正方形网格中的
位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λ
μ
＝
________.
解：设i ，j 分别为水平向右和竖直向上的单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，即－i －3j ＝(－λ＋6μ)i ＋(λ＋2μ)j ，根据平面向量基本定理得
⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12.
所以λ
μ＝4.故填4.
类型三 求向量的坐标
已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，
－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →
＝－2b .
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；
(3)求M 、N 的坐标及向量MN →
的坐标．
解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，
c ＝(1，8)．
(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－
3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.
(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →
＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →
＝(3，24)＋(－3，－4)＝ (0，20)．∴M (0，20)．
又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，
∴ON →＝－2b ＋OC →
＝(12，6)＋(－3，－4)＝ (9，2)，∴N (9，2)．
∴MN →
＝(9，－18)．
点拨： 向量的坐标运算主要利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求
出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用
及正确使用运算法则．
已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向
量OB →的坐标是______________． 解：由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，
y ＝7，
所以向量OB →
的坐标是(4，7)．故填(4，7)．
1．对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向
量坐标表示的基础．
(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平
面向量基底可以有无穷多组．
(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量
分解成形如a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R ，e 1，e 2为同一
平面内不共线的两个向量)的形式，它是向量线性运算知识的延伸． (4)如果e 1，e 2是同一平面内的一组基底，且 λ1e 1＋λ2e 2＝0(λ1，λ2∈R )，那么λ1＝λ2＝0. 2．对两向量夹角的理解
两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表
示两向量的有向线段所形成的角．若起点不同，则
应通过平移，使其起点相同．
3．向量的坐标表示 向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结
为数的运算，这使问题大大简化．一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标，当且仅当向量的起点为原点时，向量的坐标才等于其终点的坐标．两个向量相等，当且仅当其坐标相同．
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( )
A ．a ＝(1，2)，b ＝(0，0)
B ．a ＝(1，－2)，b ＝(3，5)
C ．a ＝(3，2)，b ＝(9，6)
D ．a ＝⎝⎛⎭
⎫－34，12， b ＝(3，－2) 解：在平面内，根据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B. 2．(2013·辽宁)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则
与向量AB →
同方向的单位向量为( )
A.⎝⎛⎭⎫35，－45
B.⎝⎛⎭⎫45，－35
C.⎝⎛⎭⎫－35，45
D.⎝⎛⎭
⎫－45，35 解：AB →＝(3，－4)，|AB →
|＝5，AB →|AB →|
＝⎝⎛⎭⎫35，－45.故选A. 3．(2015·沈阳检测)已知在▱ABCD 中，AD →＝(2，
8)，AB →
＝(－3，4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM →
＝( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，－6 B.⎝⎛⎭
⎫－12，6 C.⎝⎛⎭⎫12，－6 D.⎝⎛⎭
⎫12，6 解：因为在▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，AM →
＝ 12AC →，所以AM →＝12(AB →＋AD →)＝12×(－1，12)＝⎝⎛⎭⎫－12，6.故选B. 4．(2015·江西检测)已知向量a ＝(－1，2)， b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
解：由题意得a ＋b ＝(2，2＋m )．由m ＝－6得a ＋b ＝(2，－4)＝－12a ，所以a ∥(a ＋b )；由a ∥ (a ＋b )得－1×(2＋m )＝2×2，所以m ＝－6.故 “m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的充要条件．故选A.
5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内一点， ∠AOC ＝π4
，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则
λ＋μ＝( )
A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．4 2 解：因为|OC |＝2，∠AOC ＝π
4
，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，
1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝22.故选A.
6．(2015·山西联考)在△ABC 中，点D 在线段
BC 的延长线上，且BC →＝3CD →
，点O 在线段CD 上(与
点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →
，则x 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫0，12
B.⎝⎛⎭⎫0，13
C.⎝⎛⎭⎫－12，0
D.⎝⎛⎭
⎫－13，0 解：依题意，设BO →＝λBC →
，其中1<λ<43
，则有
AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →
)＝(1－λ)AB →＋λAC →.又AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，且AB →，AC →不共
线，于是有x ＝1－λ∈⎝⎛⎭⎫－1
3，0，即x 的取值范围是
⎝⎛⎭
⎫－13，0.故选D. 7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．
解：u ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)，v ＝
2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3)．因为u ∥v ，v ≠0，所
以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.故
填12. 8．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫2，12，
n ＝⎝⎛⎭⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q
是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m OP →＋n (其
中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．
解：设Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m OP →
＋n ＝⎝⎛⎭⎫2x ，12sin x ＋⎝⎛⎭⎫π3，0＝⎝⎛⎭
⎫2x ＋π3，12sin x ， ∴⎩
⎨⎧c ＝2x ＋π
3，d ＝1
2sin x ， 消去x 得d ＝1
2sin ⎝⎛⎭⎫12c －π6. ∴y ＝f (x )＝1
2sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1
2.故填⎣⎡⎦⎤－12，12. 9．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．
(1)当实数k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？
(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →
＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值．
解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－1
2
.
(2)解法一：∵A ，B ，C 三点共线，
∴存在实数λ使得AB →＝λBC →
，即2a ＋3b ＝ λ(a ＋m b )，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝m λ， 解得m ＝32
.
解法二：AB →
＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝ (8，3)，
BC →
＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．
∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，又BC →
≠0，∴8m －3(2m ＋1)＝0，
即2m －3＝0，得m ＝3
2.
10．已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，
OM →＝t 1OA →＋t 2AB →
.
(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →
＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．点M 在第二或第三象限⇔
⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 解得t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.
故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.
(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →
＝(4t 2，4t 2＋2)．
∵AB →＝OB →－OA →
＝(4，4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →， ∴A ，B ，M 三点共线．
11．如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，试利用向量方法求AC 和OB 交点P 的坐标．
解：设OP →＝tOB →
＝t (4，4)＝(4t ，4t )， ∴AP →＝OP →－OA →
＝(4t －4，4t )， AC →
＝(2，6)－(4，0)＝(－2，6)． ∵AP →与AC →
共线，
∴(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，得t ＝3
4
.
∴OP →
＝(4t ，4t )＝(3，3)，即P 点坐标为(3，3)．
如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一
点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →
，则m ＋n 的取值范围是________．
解：由题意得，OC →＝kOD →
(k <0)，又|k |＝|OC →||OD →|<1，
∴－1<k <0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →
＋(1
－λ)OB →，mOA →＋nOB →＝k λOA →＋k (1－λ)OB →
，由平面向量的基本定理知m ＝k λ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．故填(－1，0)．
§5.3平面向量的数量积
1．数量积的概念
已知两个非零向量a与b，我们把数量
________________叫做a与b的数量积(或内积)，
记作____________，即a·b＝________，其中θ是a
与b的夹角，|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量a在b方向上(b
在a方向上)的____________．
a·b的几何意义：数量积a·b等于
__________________________________．
2．数量积的运算律及常用结论
(1)数量积的运算律
①交换律：___________________；
②数乘结合律：____________________；
③分配律：_____________________．
(2)常用结论
①(a±b)2＝________________________；
②(a＋b)·(a－b)＝_________________；
③a2＋b2＝0⇔______________________；
④|||a－||b|________||a＋||b.
3．数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单
位向量，θ是a与e的夹角，则
①e·a＝____________.
②a⊥b⇔____________.
③当a与b同向时，a·b＝____________；
当a与b反向时，a·b＝____________.
特别地，a·a＝____________或||a＝
____________.
④cosθ＝____________.
⑤||
a·b≤____________.
4．数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
①a·b＝________________；a2＝
________________；||a＝________________.
②a⊥b⇔____________________.
③||
x1x2＋y1y2≤________________________.
自查自纠：
1.||a||b cosθa·b|a||b|cosθ投影a的长度
||a与b在a的方向上的投影||b cosθ的乘积
2．(1)①a·b＝b·a②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c
(2)①a2±2a·b＋b2②a2－b2③a＝0且b＝0
④≤
3．①|a|cosθ②a·b＝0③|a||b|－|a||b||a|2
a·a④a·b
|a||b|⑤|a||b|
4．①x1x2＋y1y2x21＋y21
x21＋
y21
②x1x2＋y1y2＝0③x21＋y21x22＋y22
(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－
1，2)，则(2a＋b)·a＝()
A．－1 B．0 C．1 D．2
解：因为2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，
所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.故选C.
(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已
知四边形ABCD是平行四边形，AB
→
＝(1，－2)，
AD
→
＝(2，1)，则AD
→
·AC
→
＝()
A．2 B．3 C．4 D．5
解：因为四边形ABCD是平行四边形，所以
AC
→
＝AB
→
＋AD
→
＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1)，所以
AD
→
·AC
→
＝2×3＋1×(－1)＝5.故选D.
(2015·北京)设a，b是非零向量，“a·b＝
|a||b|”是“a∥b”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．若a·b＝|a||b|，则
cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，可得a∥b；若a∥b，
则〈a，b〉＝0或π，此时a·b＝|a||b|
或a·b＝－|a||b|.
故“a·b＝|a||b|”是“a∥b
”的充分而不必要条
件．故选A.
在正三角形ABC中，D是BC上的点，若
AB＝3，BD＝1，则AB
→
·AD
→
＝________.
解：如图所示，
AB
→
·AD
→
＝AB
→
·(AB
→
＋BD
→
)＝9＋3×cos120°＝
15
2，
故填
15
2.
(2015·天津)在等腰梯形ABCD中，已知
AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F
分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16
DC →
，
则AE →·AF →
的值为________．
解：根据题意，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →
)＝
⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋16AB →·DC →＋
23
BC →·AD →＋19BC →·DC →
＝2×1×12＋16×2×1＋23
× 1
×1×12＋19×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝2918.故填2918
.
类型一 数量积的定义及几何意义
(1)若a ，b ，c 均为非零向量，则下列
说法正确的是____________．(填写序号即可)
①a ·b ＝±
||a ·||b ⇔a ∥b ； ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③a ·c ＝b ·c ⇔a ＝b ； ④(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )． 解：a ·b ＝||a ||b cos θ，θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝±1，①正确；②显然正确；③错误，如a ＝－b ，a ⊥c ，则a ·c ＝b ·c ＝0，但a ≠b ；④错误，因为数量积的运算结果是一个数，即等式左边为c 的倍数，等式右边为a 的倍数．故填①②.
(2)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且||OA →＝||
AC →，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )
A.32
B.32 C ．3 D ．－32
解：由已知可以知道，△ABC
的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角
形．且A ＝π
2
，
又因为|OA →|＝|CA →|＝|OC →
|，∴C ＝π3，B ＝π6
，∴AB
＝3，AC ＝1，故BA →在BC →方向上的投影为|BA →
|cos π6
＝
3
2
.故选A.
点拨： 数量积a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2(其中两向量夹角为θ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．其几何意义是：a ·b 等于a
的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．在理解数量积与投影概念的基础上，利用二者的关系解题．
(1)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，
y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6.则x 1＋y 1
x 2＋y 2
的值为( )
A.23 B ．－23 C.56 D ．－56
解：因为a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos 〈a ，b 〉＝－6，所以cos 〈a ，b 〉＝－1，即向量a 与b 反向，则3a ＋2b ＝0.由此可得3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0，0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.
故选B.
(2)(2013·湖北)已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－
2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →
方向上的投影为 ( )
A.322
B.3152 C ．－322 D ．－3152
解：∵AB →＝(2，1)，CD →
＝(5，5)，∴由向量数量
积的几何意义知向量AB →在CD →方向上的投影为|AB
→
|cos 〈AB →，CD →
〉＝AB →·CD →|CD →|
＝1552＋5
2
＝322.故选A.
类型二 数量积的基本运算
已知e 1，e 2是夹角为2π
3
的两个单位向
量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．
解：因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 2
1＋(1－
2k )(e 1·e 2)－2e 2
2，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12
，所以k
＋(1－2k )·⎝⎛⎭⎫－12－2＝0，解得k ＝54.故填
54.
点拨：
实数与数量积的运算虽有诸多相似之处，但应明确二者的区别，如a ·b ＝0a 或b 为0，a ·b ＝a ·c b ＝c ，(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )等．。