2018年高考数学专题34直线及其方程热点题型和提分秘籍理

专题34 直线及其方程
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

2．掌握确定直线位置的几何要素。

3．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系。

热点题型一 直线的倾斜角与斜率
例1、(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭
⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3
C.⎣⎢
⎡⎭⎪⎫π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，2π3
(2)已知直线l 过点P (－1,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________。

解析：(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6，π3，
所以12≤cos α≤32，
因此k ＝2cos α∈[1，3]。

设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤π4，π3，即倾
斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，π3。

选B 。

(2)方法一：如图所示，直线PA 的斜率k PA ＝2－－3
－1－－2
＝5，
直线PB 的斜率k PB ＝0－23－－1＝－1
2。

当直线l 绕着点P 由PA 旋转到与y 轴平 行的位置PC 时，它的斜率变化范 围是[5，＋∞)；
当直线l 绕着点P 由PC 旋转到PB 的位置时， 它的斜率的变化范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－12。

∴直线l 的斜率的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[5，＋∞)。

【提分秘籍】已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤 (1)求出斜率k 的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为90°)。

(2)利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围。

【举一反三】
直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34π，π
解析：直线x ·s in α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α， 又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，
∴当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4；
当－1≤k ＜0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34π，π。

故选D 。

答案：D
热点题型二 直线的方程 例2、根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为
1010
； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12。

解析：(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式。

设倾斜角为α，则sin α＝
10
10
(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1
3。

故所求直线方程为y ＝±1
3(x ＋4)。

即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0。

(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y
12－a
＝1，
又因为直线过点(－3,4)，
所以－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9。

故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0。

【提分秘籍】 求直线方程时的注意点
(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件。

(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用。

【举一反三】
已知直线l 过点(1,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．x ＋2y ＋5＝0
C ．2x －y ＝0或x ＋2y －5＝0
D ．2x －y ＝0或x －2y ＋3＝0
热点题型三 直线方程的综合应用
例3．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原
点。

求：
(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2
＋|MB |2
取得最小值时，直线l 的方程。

解析：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)。

设直线l 的方程为x a ＋y b
＝1，则1a ＋1
b
＝1，
所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a
≥2＋2
a b ·b
a
＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0。

(2)设直线l 的斜率为k ，则k <0， 直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，
则A ⎝
⎛⎭
⎪⎫1－1k
，0，B (0,1－k )，
所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2
＋1k
2≥2＋2
k 2·1
k
2＝4，
当且仅当k 2＝1k
2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2
取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0。

【提分秘籍】
(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过两条定直线交点的直线系，即能够看出“动中有定”。

(2)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值。

【举一反三】
过P (2,1)作直线l ，分别交x 轴、y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点。

(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|PA |·|PB |取最小值时，求直线l 的方程。

解析：过P 的直线l 与x ，y 轴正半轴相交， ∴直线l 的斜率k 一定存在且小于零， ∴直线l 的方程可设为y －1＝k (x －2)。

则A ⎝
⎛⎭
⎪⎫2－1k
，0，B (0,1－2k )。

(1)S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k (1－2k )＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫4－4k －1k
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－⎝ ⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4＋－4k ＋1－k
≥12⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
4＋2－4k ·
1－k ＝4。

当且仅当－4k ＝
1－k 即k ＝－1
2
时等号成立。

∴l 的方程为x ＋2y －4＝0。

(2)|PA |·|PB |＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k 2＋1·22＋2k
2
＝
4
k
2
＋4k 2
＋8≥8＋8＝4。

当且仅当4k
2＝4k 2即k 2
＝1时取等号。

又∵k ＜0，∴k ＝－1，∴l 的方程为x ＋y －3＝0。

1.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2
2(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )
（A ）
33 （B ）23 （C ）2
2
（D ）1
【答案】C
【解析】设()
()2
2,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则
21
2,2.
,23
p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
()222max 22,,21121223633,,122212221,,2
2332
OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤==∴=
⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.
1.【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆
()
()2
2
321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
（A ）53-
或35- （B ）32- 或23- （C ）54-或45- （D ）43
-或34
-
【答案】D
【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3- ，设反射光线所在直线
的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为：
()
32y k x +=- ，即：230kx y k ---=.
又因为光线与圆相切，
()()2
2
321
x y ++-= 所以，
2
3223
1
1
k k k ----=+ ,
整理：2
1225120k k ++= ，解得：
43k =-
，或3
4k =-
,故选D ．
1．（2014·湖北卷）设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0，对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )，例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b
2
，即M f (a ，b )
为a ，b 的算术平均数．
(1)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数； (2)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2ab
a ＋b
. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
【答案】(1)x (2)x (或填(1)k 1x ；(2)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数)
2．（2014·江西卷）如图1­7所示，已知双曲线C ：x 2a
2－y 2
＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分
别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．
图1­7
(1)求双曲线C 的方程；
(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：
x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32
相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF |
|NF |
恒为定值，并求此定值．
(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为
x 0x
3
－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝
x 0x －3
3y 0
(y 0≠0)． 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，
2x 0－33y 0，直线l 与直线x ＝32的
交点为N 32，3
2
x 0－33y 0，
则|MF |
2
|NF |
2＝（2x 0－3）
2
（3y 0）
2
14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－32（3y 0）
2＝（2x 0－3）2
9y 204＋94（x 0－2）2
＝
43·（2x 0－3）2
3y 20＋3（x 0－2）
2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 20
3
－y 2
0＝1，
代入上式得|MF |2
|NF |2＝43·（2x 0－3）2
x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）2
4x 2
0－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝23
3，为定值．
3．（2014·四川卷）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的
一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C 的标准方程．
(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，
Q .
①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |
最小时，求点T 的坐标．
【解析】解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，
2c ＝2a 2－b 2
＝4，
解得a 2
＝6，b 2
＝2，
所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2
2
＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )，
则直线TF 的斜率k TF ＝m －0
－3－（－2）
＝－m .
当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1
m
.直线PQ 的方程是x ＝my －2.
当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 2
2
＝1.
消去x ，得(m 2
＋3)y 2
－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2
＋8(m 2
＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝
4m m 2
＋3，y 1y 2＝－2
m 2＋3
， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12
m 2＋3
.
设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3. 所以直线OM 的斜率k OM ＝－m
3，
又直线OT 的斜率k OT ＝－m
3，
所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ . ②由①可得， |TF |＝m 2
＋1，
|PQ |＝（x 1－x 2）2
＋（y 1－y 2）2
＝（m 2
＋1）[（y 1＋y 2）2
－4y 1y 2] ＝
（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3
＝24（m 2
＋1）
m 2＋3.
所以|TF ||PQ |
＝
124·（m 2
＋3）2
m 2＋1
＝ 124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2
＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝3
3
. 当且仅当m 2
＋1＝
4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF |
|PQ |
取得最小值． 故当|TF |
|PQ |
最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
1．直线x ＋(a 2
＋1)y ＋1＝0(a ∈R)的倾斜角的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4
B.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π 解析：斜率k ＝－1a 2
＋1，故k ∈[－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π。

答案：B
2．设A (－2,3)、B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫43，＋∞
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，52
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－52，43 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫52，＋∞
解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，
∵k MA ＝3－－2－2－0＝－52，k MB ＝2－－23－0＝43，由图可知：－a ≤－52或－a ≥43，∴a ≤－4
3
或
a ≥52
，故选D 。

答案：D
3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )
A
B C D
解析：当a ＞0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ＞0，A 、B 、C 、D 都不成立；
当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，A 、B 、C 、D 都不成立；
当a ＜0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距为a ＜0，只有C 成立。

答案：C
4．直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且它的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线
l 2的方程为( )
A ．y ＝6x ＋1
B ．y ＝6(x －1)
C ．y ＝34(x －1)
D ．y ＝－3
4(x －1)
解析：由tan α＝3可求出直线l 2的斜率
k ＝tan2α＝
2tan α1－tan 2
α＝－3
4
， 再由l 2过点(1,0)即可求得直线方程。

答案：D
5．若直线(2m 2
＋m －3)x ＋(m 2
－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )
A ．1
B ．2
C ．－12
D ．2或－12
解析：当2m 2＋m －3≠0时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3
＝1，即2m 2－3m －2＝0， ∴m ＝2或m ＝－12。

答案：D
6．函数y ＝a sin x －b cos x (ab ≠0)的一条对称轴的方程为x ＝π4
，则以向量c ＝(a ，b )为方向向量的直线的倾斜角为( )
A ．45° B．60°
C ．120° D．135°
解析：由f (x )＝a sin x －b cos x 关于x ＝π4
对称， 得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，代入得a ＝－b ， ∴向量c ＝(a ，b )＝(a ，－a )＝a (1，－1)，
∴直线的斜率为k ＝－1，
即倾斜角α＝135°。

答案：D
7．实数x 、y 满足3x －2y －5＝0(1≤x ≤3)，则y
x
的最大值、最小值分别为______、______。

解析：设k ＝y x ，则y x
表示线段AB ：3x －2y －5＝0(1≤x ≤3)上的点与原点的连线的斜率。

∵A (1，－1)、B (3,2)。

由图易知： ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x max ＝k OB ＝23， ⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x min ＝k OA ＝－1。

答案：23
－1 8．直线l 过点P (－1,1)且与直线l ′：2x －y ＋3＝0及x 轴围成底边在x 轴上的等腰三角形，则直线l 的方程为__________。

9．过点P (－1,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是__________。

解析：当直线过原点时，方程为y ＝－2x ；当直线不经过原点时，设方程为x 2a ＋y a
＝1，把P (－1,2)代入上式，得a ＝32
，所以方程为x ＋2y －3＝0。

答案：y ＝－2x 或x ＋2y －3＝0
10．已知直线l ：x m ＋y 4－π
＝1。

(1)若直线的斜率小于2，求实数m 的取值范围；
(2)若直线分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线的方程。

解析：(1)直线l 过点(m,0)，(0,4－m )，
则k ＝4－m －m <2，解得m ＞0或m ＜－4且m ≠4， ∴实数m 的取值范围是m ＞0或m ＜－4且m ≠4。

(2)由m ＞0,4－m ＞0得0＜m ＜4，
则S ＝m 4－m
2＝－m －2
2＋42，
所以m ＝2时，S 有最大值，直线l 的方程为x ＋y －2＝0。

11．在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：
(1)顶点C 的坐标；
(2)直线MN 的方程。

解析：(1)设C (x 0，y 0)，
则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5＋x 02，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝
⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32。

∵M 在y 轴上，∴5＋x 02＝0，x 0＝－5。

∵N 在x 轴上，∴y 0＋3
2＝0，y 0＝－3。

即C (－5，－3)。

(2)∵M ⎝
⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)， ∴直线MN 的方程为x 1＋y －52
＝1， 即5x －2y －5＝0。

12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)。

(1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程。

解析：(1)证明：直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，
令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝1，
∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)。

(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k
，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ≤－21＋2k ≥1，解之得k ＞0；
当k ＝0时，直线为y ＝1，合题意，故k ≥0。

(3)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )。

依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2k k ＜01＋2k ＞0，
解得k ＞0。

∵S ＝12·|OA |·|OB | ＝12·|1＋2k k
|·|1＋2k | ＝12·1＋2k 2k
＝12⎝
⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4 ≥12
(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12
， ∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0。