高一数学人教A版必修3课件：1.3算法案例
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“更相减损术”（也是求两个正整数的最大公约数的算法） 步骤：
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。
若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较
小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所
得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公 约数。
解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 短除法 3 4 3和4互质不除了。
得：18和24最大公约数是：2×3＝6
求以下几组正整数的最大公约数。
(注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示
m和n的最大公约数。)
（1）（18，30） 6；
（3）（63，63） 63；
开始 输入：m,n
r=m MOD n
m=n
n=r N
r=0? Y
输出：m 结束
程序： INPUT “m，n=”;m,n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
第八页，编辑于星期日：二十二点 六分。
更相减损术
同理：a,b,c为正整数，若a-b=c，则（a,b）=(b,c)。
i=i+1
i=i+1
WEND
Y
DO
IF ab=>aa/2,TbH=EbN/2
t=a
a=b
b=t
END IF
a=a-b
LOOP UNTIL a=b
PRINT a*2^i
END
第十四页，编辑于星期日：二十二点 六分。
小结
辗转相除法与更相减损术的区别： （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法 为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算
关系式a-b=c中a,b,c得取值变化情况
次数 1 2 3 4 5 6
a 98 63 35 28 21 14
b 63 35 28 7 7 7
c 35 28 7 21 14 7
第十二页，编辑于星期日：二十二点 六分。
思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？
更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤， 这实际也是一个循环结构
次数 1
2
3
m 8251 6105
2146
n 6105 2146 1813
r 2146 1813
333
4
5
6
1813 333 148
333
148
148 37
037
第六页，编辑于星期日：二十二点 六分。
思考：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，
第九页，编辑于星期日：二十二点 六分。
例、用更相减损术求98与63的最大公约数
（自己按照步骤求解）
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。
98-63=35
（98，63） =（63，35）
63-35=28
=（35，28）
35-28=7
=（28，7）
28-7=21 21-7=14 14-7=7
解：
（8251，6105）
8251=6105×1+2146
=（6105，2146）
6105=2146 ×2+1813 =（2146，1813）
2146=1813 ×1+333
1813=333 ×5+148
=（1813，333） =（3337
=（148，37）
148=37 ×4
这实际上是一个循环结构
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n；
② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r。 ④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转
向第②步继续循环执行。
如此循环，直到得到结果。
第七页，编辑于星期日：二十二点 六分。
=（21，7）
=（14，7）
=（7，7） = 7
所以，98和63的最大公约数等于7。
第十页，编辑于星期日：二十二点 六分。
练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：
（1）（225，135） 45 （2）（98，196） 98
（3）（72，168）
24（4）（153，119）
17
第十一页，编辑于星期日：二十二点 六分。
6105=2146 ×2+1813
2146=1813 ×1+333 1813=333 ×5+148
333=148 ×2+37 148=37 ×4
（8251，6105）
=（6105，2146）
=（2146，1813） =（1813，333） =（333，148）
=（148，37）
=37
关系式m=np+r中m,n,r得取值变化情况
（5）（301，133 ） 7；
（2）（24，16） 8；
（4）（72，8） 8；
想一想，如何求8251与6105的最大公约数？
第二页，编辑于星期日：二十二点 六分。
开始 输入：m,n
m>n?
N
Y
t=m,m=n,n=t
i=m+1
i=i-1
穷举法
穷举法（也叫枚举法）
步骤： 从两个数中较小数开始
由大到小列举，直到找到公 约数立即中断列举，得到的 公约数便是最大公约数 。
次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的
区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除
余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到的。
第十五页，编辑于星期日：二十二点 六分。
作业：
P38 习题：1.3 第一题
第十六页，编辑于星期日：二十二点 六分。
第十七页，编辑于星期日：二十二点 六分。
一位美国的幼儿园老师为了教育孩子火海逃生，引导学生做了一个非 非常有趣的游戏──“火海逃生”。老师将许多乒乓球放进瓶子，只露出 系着的棉线。花瓶代表大楼，细细的瓶颈是惟一的出口，七只乒乓球则 是楼里的居民，要求当大楼突然起火时，全体居民能在短时间里安全逃
离。七名学生兴奋地上场了，他们各执一根棉线，报警器一响，都以最 快的反应拉扯绳子，可一个“人”也没能脱离火海，原来，七只乒乓球都
卡在了瓶口。又开始了第二次实验？
这几个学生面面相觑，只见其中一个小声跟同伴们商量了几句，这
回大家没有各顾各地拉绳子，而是由左到右依次地拉。果然，报警
器的尾音还没结束，七位“居民”已离开了出口，转移到了安全地带。
运筹帷幄，决胜千里
第一页，编辑于星期日：二十二点 六分。
算法案例之求最大公约数
例、求18与24的最大公约数：
例 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，
并辗转相减
（98，63）
98-63=35
=（63，35）
63-35=28
=（35，28）
35-28=7
=（28，7）
28-7=21
=（21，7）
21-7=14
=（14，7）
14-7=7
=（7，7）
所以，98和63的最大公约数等于7。 =7
=37
第四页，编辑于星期日：二十二点 六分。
练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数：
（1）（225，135） 45 （2）（98，196）
98
（3）（72，168）
24 （4）（153，119）
17
第五页，编辑于星期日：二十二点 六分。
8251和6105的最大公约数
解：
8251=6105×1+2146
m MOD i=0且n MOD i=0? N
Y 输出：i
结束
第三页，编辑于星期日：二十二点 六分。
辗转相除法
定理： 已知m,n,r为正整数，若m=nq+r（0≤r<n）（即r=m MOD n）,则 （m,n）=(n,r)。
分析：m=nq+r r=m-nq
…… ① …… ②
例1、求8251和6105的最大公约数。
第十三页，编辑于星期日：二十二点 六分。
开始 输入：a,b
i=0
a MOD 2=0且b MOD 2=0?
N
b>a?
Y
N
t=a,a=b,b=t
a=a-b
N a=b? Y
输出：a×2i
结束
程序：
INPUT “a,b”;a,b
i=0
WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0
a=a/2
b=b/2
第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。
若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较
小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所
得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公 约数。
解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 短除法 3 4 3和4互质不除了。
得：18和24最大公约数是：2×3＝6
求以下几组正整数的最大公约数。
(注：若整数m和n满足n整除m，则（m,n）=n。用（m,n）来表示
m和n的最大公约数。)
（1）（18，30） 6；
（3）（63，63） 63；
开始 输入：m,n
r=m MOD n
m=n
n=r N
r=0? Y
输出：m 结束
程序： INPUT “m，n=”;m,n DO
r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0
PRINT m
END
第八页，编辑于星期日：二十二点 六分。
更相减损术
同理：a,b,c为正整数，若a-b=c，则（a,b）=(b,c)。
i=i+1
i=i+1
WEND
Y
DO
IF ab=>aa/2,TbH=EbN/2
t=a
a=b
b=t
END IF
a=a-b
LOOP UNTIL a=b
PRINT a*2^i
END
第十四页，编辑于星期日：二十二点 六分。
小结
辗转相除法与更相减损术的区别： （1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法 为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算
关系式a-b=c中a,b,c得取值变化情况
次数 1 2 3 4 5 6
a 98 63 35 28 21 14
b 63 35 28 7 7 7
c 35 28 7 21 14 7
第十二页，编辑于星期日：二十二点 六分。
思考：更相减损直到何时结束？运用的是哪种算法结构？
更相减损是一个反复执行直到减数等于差时停止的步骤， 这实际也是一个循环结构
次数 1
2
3
m 8251 6105
2146
n 6105 2146 1813
r 2146 1813
333
4
5
6
1813 333 148
333
148
148 37
037
第六页，编辑于星期日：二十二点 六分。
思考：辗转相除直到何时结束？主要运用的是哪种算法结构？
辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，
第九页，编辑于星期日：二十二点 六分。
例、用更相减损术求98与63的最大公约数
（自己按照步骤求解）
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减。
98-63=35
（98，63） =（63，35）
63-35=28
=（35，28）
35-28=7
=（28，7）
28-7=21 21-7=14 14-7=7
解：
（8251，6105）
8251=6105×1+2146
=（6105，2146）
6105=2146 ×2+1813 =（2146，1813）
2146=1813 ×1+333
1813=333 ×5+148
=（1813，333） =（3337
=（148，37）
148=37 ×4
这实际上是一个循环结构
辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法可以描述如下： ① 输入两个正整数m和n；
② 求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中； ③更新被除数和余数：m=n，n=r。 ④判断余数r是否为0：若余数为0则输出结果，否则转
向第②步继续循环执行。
如此循环，直到得到结果。
第七页，编辑于星期日：二十二点 六分。
=（21，7）
=（14，7）
=（7，7） = 7
所以，98和63的最大公约数等于7。
第十页，编辑于星期日：二十二点 六分。
练习：用更相减损术求下列两数的最大公约数：
（1）（225，135） 45 （2）（98，196） 98
（3）（72，168）
24（4）（153，119）
17
第十一页，编辑于星期日：二十二点 六分。
6105=2146 ×2+1813
2146=1813 ×1+333 1813=333 ×5+148
333=148 ×2+37 148=37 ×4
（8251，6105）
=（6105，2146）
=（2146，1813） =（1813，333） =（333，148）
=（148，37）
=37
关系式m=np+r中m,n,r得取值变化情况
（5）（301，133 ） 7；
（2）（24，16） 8；
（4）（72，8） 8；
想一想，如何求8251与6105的最大公约数？
第二页，编辑于星期日：二十二点 六分。
开始 输入：m,n
m>n?
N
Y
t=m,m=n,n=t
i=m+1
i=i-1
穷举法
穷举法（也叫枚举法）
步骤： 从两个数中较小数开始
由大到小列举，直到找到公 约数立即中断列举，得到的 公约数便是最大公约数 。
次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的
区别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除
余数为0而得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到的。
第十五页，编辑于星期日：二十二点 六分。
作业：
P38 习题：1.3 第一题
第十六页，编辑于星期日：二十二点 六分。
第十七页，编辑于星期日：二十二点 六分。
一位美国的幼儿园老师为了教育孩子火海逃生，引导学生做了一个非 非常有趣的游戏──“火海逃生”。老师将许多乒乓球放进瓶子，只露出 系着的棉线。花瓶代表大楼，细细的瓶颈是惟一的出口，七只乒乓球则 是楼里的居民，要求当大楼突然起火时，全体居民能在短时间里安全逃
离。七名学生兴奋地上场了，他们各执一根棉线，报警器一响，都以最 快的反应拉扯绳子，可一个“人”也没能脱离火海，原来，七只乒乓球都
卡在了瓶口。又开始了第二次实验？
这几个学生面面相觑，只见其中一个小声跟同伴们商量了几句，这
回大家没有各顾各地拉绳子，而是由左到右依次地拉。果然，报警
器的尾音还没结束，七位“居民”已离开了出口，转移到了安全地带。
运筹帷幄，决胜千里
第一页，编辑于星期日：二十二点 六分。
算法案例之求最大公约数
例、求18与24的最大公约数：
例 用更相减损术求98与63的最大公约数
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，
并辗转相减
（98，63）
98-63=35
=（63，35）
63-35=28
=（35，28）
35-28=7
=（28，7）
28-7=21
=（21，7）
21-7=14
=（14，7）
14-7=7
=（7，7）
所以，98和63的最大公约数等于7。 =7
=37
第四页，编辑于星期日：二十二点 六分。
练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数：
（1）（225，135） 45 （2）（98，196）
98
（3）（72，168）
24 （4）（153，119）
17
第五页，编辑于星期日：二十二点 六分。
8251和6105的最大公约数
解：
8251=6105×1+2146
m MOD i=0且n MOD i=0? N
Y 输出：i
结束
第三页，编辑于星期日：二十二点 六分。
辗转相除法
定理： 已知m,n,r为正整数，若m=nq+r（0≤r<n）（即r=m MOD n）,则 （m,n）=(n,r)。
分析：m=nq+r r=m-nq
…… ① …… ②
例1、求8251和6105的最大公约数。
第十三页，编辑于星期日：二十二点 六分。
开始 输入：a,b
i=0
a MOD 2=0且b MOD 2=0?
N
b>a?
Y
N
t=a,a=b,b=t
a=a-b
N a=b? Y
输出：a×2i
结束
程序：
INPUT “a,b”;a,b
i=0
WHILE a MOD 2=0 AND b MOD 2=0
a=a/2
b=b/2