上海民办新复兴初级中学中考数学规律压轴选择题专题

一、规律问题数字变化类
1．世界上著名的莱布尼茨三角形如下图所示：则排在第10行从左边数第4个位置上的数是（）
A．1
90
B．
1
360
C．
1
840
D．
1
504
答案：C
解析：C
【分析】
观察发现：下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推即可得到第10行左边第4个位置的数．【详解】
从图形中可看出，每行第一个数的分母就是这行的行数，第8行的第一个数是1
8
，第9行
的第一个数是1
9
，第10行的第一个数是
1
10
；
再按照上面的规律，可得：
第8行的第2个数等于第7行的第一个数减去第8行的第1个数，即：111 7856 -=，
第9行的第2个数等于第8行的第1个数减去第9行的第1个数，即：111 8972 -=，
第9行的第3个数等于第8行的第2个数减去第9行的第2个数，即：111 5672252
-=，
第10行的第2个数等于第9行的第1个数减去第10行的第1数，即：111 91090 -=，
第10行的第3个数等于第9行的第2个数减去第10行的第2个数，即：111
7290360
-=，
则第10行第4个数就等于第9行第3个数减去第10行第3个数，即：
111252360840-=． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考察学生对规律型题目的掌握情况，解题的关键是观察分析发现规律． 2．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
若输入的值为π，则10y 的值为（ ） A ．
2562551
π
π+
B ．
5125111
π
π+
C ．
102410231
π
π+
D ．
204820471
π
π+
答案：C
解析：C 【分析】
据题意逐步计算，发现规律后，直接写出10y 的值． 【详解】
第1次121
y π
π=+，第2次1214241213111y y y π
πππππ+===++++ 第3次2322428314171131y y y π
π
ππππ⨯+===++++
第4次416151
y π
π=+
观察前4次归纳出2(21)1n n n y π
π=-+
令n=10，得10101021024(21)110231
y ππ
ππ==-++，
故选：C ． 【点睛】
此题考查归纳发现规律，用代数式表示规律并运用规律．其关键是理解题意的基础上算出前几次的n y ．
3．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n 的值为（ ）
A．491B．1045C．1003D．533
答案：B
解析：B
【分析】
观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；左下方的数字为20，21，22，…2n-1；最后根据右下方的数字=左下方的数字+最上方的数字解答即可．
【详解】
解：观察图表可以发现：最上方的数字是连续奇数1、3、5，…2n-1；
则2n-1=21，解得n=11
左下方的数字为：20，21，22，…2n-1；
令n=11可得：m=211-1=1024
∴n=m+21=1024+21=1045
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字的变化类规律题，解题的关键在于根据图表观察、归纳数字变化的规律并灵活运用规律．
4．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
1
1 1 (a+b)1＝a+b
1 2 1 (a+b)2＝a2+2ab+b2
1 3 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
1 4 6 4 1 (a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……
根据“杨辉三角”请计算（a+b）n的展开式中各项系数的和为（）
A．2n B．2n-1C．2n+1D．2n+2
答案：A
解析：A
【分析】
令a=1.b=1，代入（a+b）n计算，即可得到（a+b）n的展开式中各项系数的和.
【详解】
解：当a=1.b=1，（a+b）n=（1+1）n=2n.
【点睛】
此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
5．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，（如8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，即8，16，24均为“和谐数”），若将这一列和谐数8，16，24……由小到大依次记为a1，a2，a3，……，a n，则a1+a2+a3+…+a n＝（）
A．4n2+4 B．4n+4 C．4n2+4n D．4n2
答案：C
解析：C
【分析】
根据题意设两个连续奇数为2n﹣1，2n+1（n为自然数），则“和谐数”＝（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2，据此解答即可．
【详解】
解：a1+a2+a3+…+a n＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+…+（2n﹣1）2﹣（2n﹣1）2+（2n+1）2
＝4n2+4n．
故选：C．
【点睛】
本题考查平方差公式：a2-b2=（a-b）（a-b），同时也考查对代数式的变形能力．
6．如图是一组按照某种规律摆放而成的图形，第1个图中有3条线段，第二个图中有8条线段，第三个图中有15条线，……，则第10个图中线段的条数是（）
A．60B．90C．120D．143
答案：C
解析：C
【分析】
先根据前4个图得出一般性的规律，再依据规律解答即可．
【详解】
解：第1个图中有3=22−1条线段，
第2个图中有8=32−1条线段，
第3个图中有15=42−1条线段，
第4个图中有24=52−1条线段，
……，
所以第n个图中有(n+1)2−1条线段；
所以第10个图中有112−1=121-1=120条线段．
故选：C
本题考查了图形的变化类规律，由简单的图形中线段的条数得出一般性的规律是解此题的关键．
7．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x 的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是4-，⋯，则第2021次输出的结果是（ ）
A ．6-
B ．4-
C ．1-
D ．2-
答案：A
解析：A 【分析】
根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第2021次输出的结果，本题得以解决． 【详解】 解：由题意可得， 第一次输出的结果为1， 第二次输出的结果为4-， 第三次输出的结果为2-， 第四次输出的结果为1-， 第五次输出的结果为6-， 第六次输出的结果为3-， 第七次输出的结果为8-， 第八次输出的结果为4-， 第九次输出的结果为2-， ⋯，
由上可得，从第二次输出结果开始，以4-，2-，1-，6-，3-，-8依次循环出现， (20211)63364-÷=⋯，
∴第2021次输出的结果是6-，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点．
8．已知整数1a ，2a ，3a ，4a ，…满足下列条件10a =，211a a =-+，322a a =-+，
433a a =-+，．．．，依次类推，则a 2020的值为（ ）
A ．-1010
B ．-1009
C ．-2019
D ．-2020
解析：A 【分析】
根据题意先求出前几个数的值，进而可得规律，再根据规律求解即可． 【详解】 解：10a =，
211011a a =-+=-+=-， 322121a a =-+=--+=-， 433132a a =-+=--+=-， 544242a a =-+=--+=-，
……，
所以n 为奇数时，结果等于12n --，n 为偶数时，结果等于2
n
-， 所以a 2020=2020
10102
-=-． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了数字的变化规律，属于常考题型，根据前几个数值找到规律是解答的关键． 9．a 是不为2的有理数，我们把
2
2a
-称为a 的“哈利数”，如：3的“哈利数”是2223
=--，－2的“哈利数”是()21222=--，已知13a =，2a 是1a 的“哈利数”，3a 是2a 的“哈利数”，4a 是3a 的“哈利数”，…，依次类推，则2018a =（ ） A ．3
B ．-2
C ．
1
2
D ．
43
答案：B
解析：B 【分析】
分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】 解：∵a 1＝3， ∴a 2＝
2
23
-＝﹣2， a 3＝22(2)--＝1
2
，
a 4＝
2
122
-＝43， a 5＝
2
423
-
＝3， ∴该数列每4个数为一周期循环， ∵2018÷4＝504……2， ∴a 2018＝a 2＝﹣2， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查数字的变换规律，根据题意得出该数列每4个数为一周期循环是关键． 10．已知有理数a ≠1，我们把
11a
-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1
12=--1，﹣1的差倒数是()11
112
=--．如果a 1=﹣2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的
差倒数…依此类推，那么a 1+a 2+…+a 109的值是( ) A ．8
B ．﹣8
C ．6
D ．﹣6
答案：B
解析：B 【分析】
根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化规律，从而可以求得所求式子的值． 【详解】 解：由题意可得， a 1=-2，
211
1(2)3
a =
=--，
3131213
a =
=
-，
a 4=-2， …，
则1231312326
a a a ++=-++=-， ∴a 1+a 2+…+a 109
=（a 1+a 2+a 3）+（a 4+a 5+a 6）+…+（a 106+a 107+a 108）+a 109 = 136(2)6⎛⎫
-
⨯+- ⎪⎝⎭
=-6+（-2）
-8， 故选：B ． 【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．
二、规律问题算式变化类
11．已知T 13
2
，T 276，
T 313
12，⋯，T n 为正整数．设S n =T 1+T 2+T 3+⋯+T n ，则S 2021值是（ ） A ．2021
2021
2022
B ．2021
20222022
C ．120212021
D ．1
2022
2021
答案：A 【分析】
根据数字间的规律探索列式计算 【详解】
解：由题意可得：T1=， T2=， T3= ∴Tn= ∴T2021=
∴S2021=T1+T2+T3++T2021 = = = = = = =
解析：A 【分析】
根据数字间的规律探索列式计算 【详解】
解：由题意可得：T 1312+1=212
⨯⨯，
T 2723+1
=623
⨯⨯，
T 31334+1=1234
⨯=⨯
∴T ()()
1+11n n n n ++ ∴T 2021=
20212022+1
20212022
⨯⨯
∴S 2021=T 1+T 2+T 3+⋯+T 2021
=
371320212022+1+++...261220212022⨯+⨯ =11111++1++1++...1+261220212022
+⨯
=1111
2021++++ (261220212022)
=11112021++++...+12233420212022
⨯⨯⨯⨯ =11111112021+1++...+2233420212022⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭ =12021+12022⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
=2021
2021
2022 故选：A ． 【点睛】
本题考查实数数字类的规律探索，探索规律，准确计算是解题关键． 12．探索：
2(1)(1)1x x x -+=- 23(1)(1)1x x x x -++=- 324(1)(1)1x x x x x -+++=- 4325(1)(1)1x x x x x x -++++=-
……
判断22020+22019+22018+…+22+2+1的值的个位数是几？（ ） A ．1
B ．3
C ．5
D ．7
答案：A 【分析】
仔细观察，探索规律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此计算即可求解． 【详解】
解：观察所给等式得出如下规律： 变形得 令其x=
解析：A 【分析】
仔细观察，探索规律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此计算即可求解． 【详解】
解：观察所给等式得出如下规律：
211(1)(1)1n n n n x x x x x x --+-++++=-……
变形得12
1
1
11
n n
n n x x x
x
x x +---++++=
-…… 令其x =2，n =2020得 22020+22019+22018+…+2+1= =（22021-1）÷（2-1） =22021-1，
∵2n 的个位数字分别为2，4，8，6，即4次一循环，且2020÷4=505， ∴22020的个位数字是6， ∴22021的个位数字为2， ∴22021-1的个位数字是1，
∴22020+22019+22018+…+2+1的个位数字是1． 故选：A ． 【点睛】
此题考查了多项式的乘法，乘方的末位数字的规律，注意从简单情形入手，发现规律，是解决问题的关键． 13．求23201312222++++
+的值，可令220131222S =++++，则
23201422222S =++++，因此2014221S S -=-．仿照以上推理，计算出23201315555++++
+的值为（ ）
A ．2014
5
1- B ．2013
5
1-
C ．2014514
-
D ．2013514
-
答案：C 【分析】
类比题目中所给的解题方法解答即可．
【详解】
解：设a=1+5+52+53+ (52013)
则5a=5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+5201
解析：C 【分析】
类比题目中所给的解题方法解答即可． 【详解】
解：设a =1+5+52+53+ (52013)
则5a =5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+52014，
∴5a -a =（5+52+53+…+52013+52014）-（1+5+52+53+…+52013）=52014-1，
即a =2014514
-．
故选：C ． 【点睛】
本题是阅读理解题，类比题目中所给的解题方法是解决问题的基本思路． 14．观察下列各式及其展开式：()2
222a b a ab b +=++；
()
3
322333a b a a b ab b +=+++；()4432234
464a b a a b a b ab b +=++++；
()544322345510105a b a a b a b a b ab b +=+++++…，请你猜想()11a b +的展开式第三项
的系数是（ ） A ．36
B ．45
C ．55
D ．66
答案：C 【分析】
利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出的展开式第三项的系数． 【详解】 解：
依据规律可得到： 第三项的系数为1， 第三项
解析：C 【分析】
利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数
的关系，可推出11()a b +的展开式第三项的系数． 【详解】 解：
222()2a b a ab b +=++
+=+++33223()33a b a a b ab b 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++ 554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ⋯⋯
∴依据规律可得到：
2()a b +第三项的系数为1，
3()a b +第三项的系数为312=+，
4()a b +第三项的系数为6123=++，
⋯
11()a b +第三项的系数为：10(101)
123910552
⨯++++⋯++==． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了数字规律型，理解题意，找到系数的规律是解题的关键． 15．计算：22222
11111(1)(1)(1)...(1)(1)56799100-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-的结果是（ ） A ．
101200 B ．
101
125
C ．
101
100
D ．
1100
答案：B 【分析】
先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案． 【详解】 解：原式= = = =． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常
解析：B 【分析】
先根据平方差公式把每个括号内的式子分解因式，进一步计算乘法即得答案． 【详解】
解：原式=
111111111111111111115566779999100100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
=46576898100991015566779999100100
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯ =41015100
⨯ =
101
125
． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了多项式的因式分解和有理数的简便运算，属于常考题型，熟练掌握分解因式的方法是解题关键．
16．若规定“!”是一种数学运算符号，且
则
的值
为（ ） A ．
B ．99!
C ．9 900
D ．2!
答案：C 【详解】
根据题意可得：100！=100×99×98×97×…×1，98！=98×97×…×1， ∴ =100×99="9" 900，故选C ．
解析：C 【详解】
根据题意可得：100！=100×99×98×97×…×1，98！=98×97×…×1， ∴
=100×99="9" 900，故选C ．
17．已知1x ，2x ，⋯⋯2013x 均为正数，且满足
122012232013()()M x x x x x x =++++++，
122013232012()()N x x x x x x =++
+++
+，则M 与N 之间的关系是（ ）
A ．M ＞N
B ．M ＝N
C ．M ＜N
D ．无法确定
答案：A 【详解】
试题分析：依题意设=A ，设=B
M=（A-x2013）×B ；N=A×（B-x2013）所以
M-N=（A-x2013）×B- A×（B-x2013）="AB-B" x2013-AB+
解析：A 【详解】
试题分析：依题意设122013x x x ++
+=A ，设232013x x x +++=B
M=（A-x 2013）×B ；N=A×（B-x 2013）所以
M-N=（A-x 2013）×B- A×（B-x 2013）="AB-B" x 2013-AB+ A x 2013=（A-B ）x 2013 易知A-B=x 1＞0，x 2013＞0.则M ＞N 考点：多项式运算
点评：本题难度中等，主要考查学生对多项式运算知识点的掌握．为中考常见题型，要求学生牢固掌握解题技巧．
18．已知11(0 1)a x x x =+≠≠-且，2312
11,11a a a a ==--，…，111n n a a -=-，则
a 2020 等于（ ） A ．x
B ．x +1
C ．1
x
-
D ．
1
x x + 答案：B 【分析】
把a1代入确定出a2，进而求出a3，a4，找出结果的规律，判断即可． 【详解】
解：把a1=x+1代入得：， 依此类推，以循环， ∵2020÷3=673…1， 则a2020=x+1．
解析：B 【分析】
把a 1代入确定出a 2，进而求出a 3，a 4，找出结果的规律，判断即可． 【详解】
解：把a 1=x+1代入得：
2341111
,,1
11(1)11()11
x a a a x x x x x x x =
=-====+-++---+， 依此类推，以11,,1
x
x x x +-+循环， ∵2020÷3=673…1， 则a 2020=x+1． 故选：B ． 【点睛】
此题考查了分式的混合运算，探索与表达规律．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．求22201412222++++⋅⋅⋅+的值，可令22201412222S =++++⋅⋅⋅+，则
2342015222222S =++++⋅⋅⋅+，因此2015221S S -=-．仿照以上推理，计算出
22201315555++++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A ．2014
5
1- B ．2015
5
1-
C ．2015514-
D ．2014514
-
答案：D 【分析】
类比题目中所给的解题方法解答即可． 【详解】
设a=1+5+52+53+…+52013，则5a=5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+52014，
解析：D 【分析】
类比题目中所给的解题方法解答即可． 【详解】
设a =1+5+52+53+…+52013，则5a =5（1+5+52+53+…+52013）=5+52+53+…+52013+52014， ∴5a -a =（5+52+53+…+52013+52014）-（1+5+52+53+…+52013）=52014-1，
即a =2014514
-．
故选：D ． 【点睛】
本题是阅读理解题，类比题目中所给的解题方法是解决问题的基本思路． 20．计算242(21)(21)(21)(21)n +++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．21n -
B ．221n -
C ．421n -
D ．2221n -
答案：C 【解析】 【分析】
原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】 解：
=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1） =（24-1）（24+1）…
解析：C 【解析】 【分析】
原式乘以变形的1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【详解】
解：2
4
2(21)(21)(21)(2
1)n
+++⋅⋅⋅+
=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n +1） =（24-1）（24+1）…（22n +1）， =（28-1）（28+1）…（22n +1）， =（22n -1）（22n +1）， =24n -1， 故选C ． 【点睛】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及巧添1=（2-1）是解本题的关键．
三、规律问题图形变化类
21．如图，8AOB ∠=︒，点P 在OB 上．以点P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点
1P （点1P 与点O 不重合），连接1PP ；再以点1P 为圆心，OP 为半径画弧，交OB 于点
2P （点2P 与点P 不重合），连接12PP ；再以点2P 为圆心，OP 为半径画弧，交OA 于点
3P （点3P 与点1P 不重合），连接23P P ；…按照这样的方法一直画下去，得到点n P ，若之
后就不能再画出符合要求的点1n P +，则n 等于（ ）
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
解析：C 【分析】
先观察题目，可知画出的三角形为等腰三角形，可依次算出第一个第二个第三个等腰三角形的底角的度数，发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒，再根据等腰三角形的底角度数小于90°，即可算出答案． 【详解】
解：根据题意可得出：
∵11223OP PP PP P P ===
∴画出的三角形为等腰三角形
∵8AOB ∠=︒
∴1
8AOB PPO ∠=∠=︒ ∴121216PPP PP P ∠==︒
∴21323132P PP P P P ∠==︒
依次推算可发现规律：第n 个等腰三角形的底角度数为(8)n ︒ ∵等腰三角形的底角度数小于90° ∴(8)90n ︒<︒ ∴90
8
n <
（n 为正整数） ∴11n =． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查规律探索和等腰三角形的性质，知道三角形的外角度数等于其它两个内角和的度数以及等腰三角形的底角小于90°是解题的关键．
22．如图．ABC ∆的面积为1．分别取,AC BC 两边的中点11A B 、，则四边形11A ABB 的面积为
3
4
，再分别取的11,A C B C 中点2222,,,A B A C B C 的中点33,A B ，依次取下去…．利用这一图形．计算出
233333 (4444)
n ++++的值是（ ）
A ．11
41
4n n --- B ．414n n
- C ．212n n
- D ．1212
n n
-- 解析：B 【分析】
由△CA 1B 1∽△CAB 得出面积比等于相似比的平方，得出△CA 1B 1的面积为1
4
，因此四边形A 1ABB 1的面积为1-14，以此类推．四边形的面积为21144-，231144
-，，根据规律求
出式子的值． 【详解】
∵A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点， 且△ABC 的面积为1， ∴△A 1B 1C 的面积为1
14
⨯
，
∴四边形A 1ABB 1的面积=△ABC 的面积-△A 1B 1C 的面积=
31144=-， ∴四边形A 2A 1B 1B 2的面积=△A 1B 1C 的面积-△A 2B 2C 的面积=22113
444
-=， …，
∴第n 个四边形的面积1113
444
n n n --=， 故
23213333111
11
···(1)()(
)444444444
n n n -++++=-+-++- 1
14n
=-
414
n n -=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
23．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，…，重复上述过程，经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的（ ）
A ．2018(3)倍
B ．2019(3)倍
C ．2020(3)倍
D ．2021(3)倍
解析：C 【分析】
先根据正六边形的性质得出∠1的度数，再根据AD=CD=BC 判断出△ABC 的形状及∠2的度数，求出AB 的长，进而可得出，经过2020次后，即可得出所得到的正六边形的边长． 【详解】
∵此六边形是正六边形，
∴∠1=180°-120°=60°，
AD=CD=BC，
∴△BCD为等边三角形，∴BD=1
2
AC，
∴△ABC是直角三角形
又∵BC=1
2 AC，
∴∠2=30°，
∴AB=3BC=3CD，
同理可得，经过2次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的2
(3)倍，
，
∴经过2020次后，所得到的正六边形的边长是原正六边形边长的2020
(3)倍．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，正多边形内角的性质，直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质等，能总结出规律是解此题的关键．
24．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①个图形中含有1个正方形，第②个图形中含有5个正方形，按此规律下去，则第⑥个图形含有正方形的个数是（）
A．102 B．91 C．55 D．31
解析：B
【分析】
观察发现，第①个图形有正方形的个数为1；第②个图形有正方形的个数为：1+4=5；第③个图形有正方形的个数为：1+4+9=14；…；第n个图形有正方形的个数为：
1+4+9+…+n2，从而得到答案．
【详解】
解：观察发现：
第①个图形含有正方形的个数为1，
第②个图形含有正方形的个数为：1+4=5，
第③个图形含有正方形的个数为：1+4+9=14，
…
第n个图形含有正方形的个数为：1+4+9+…+n2，
∴第⑥个图形含有正方形的个数为：1+4+9+16+25+36=91，
故选：B．
【点睛】
此题考查了图形的变化规律，解题的关键是仔细观察图形并找到规律，利用规律解决问
题．
25．如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为（）
A．57 B．66 C．67 D．75
解析：D
【分析】
根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．
【详解】
解：∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成，
∴正方形和等边三角形的和=6+6=12=9+3；
∵第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成，
∴正方形和等边三角形的和=11+10=21=9×2+3；
∵第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成，
∴正方形和等边三角形的和=16+14=30=9×3+3，…，
∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和=9n+3．
∴当n=8时，第8个图中正方形和等边三角形的个数之和为9×8+3=75，
故选D．
【点睛】
本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．
26．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（）
A．61 B．62 C．63 D．65
解析：A
【分析】
根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决．
【详解】
解：由图可得，
第一个图有1个蜂巢，
第二个图有1+6×1＝7个蜂巢，
第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢，
…，
则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61，
故选：A ．
【点睛】
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数．
27．法国数学家柯西于1813年在拉格朗日、高斯的基础上彻底证明了《费马多边形数定理》，其主要突破在“五边形数”的证明上．如图为前几个“五边形数”的对应图形，请据此推断，第20个“五边形数”应该为（ ），第2020个“五边形数”的奇偶性为（ ）
A ．533；偶数
B ．590；偶数
C ．533；奇数
D ．590；奇数
解析：B
【分析】 根据前几个“五边形数”的对应图形找到规律，得出第n 个“五边形数”为23122n n -，将n=10代入可求得第20个“五边形数”，利用奇偶性判断第2020个“五边形数”的奇偶性．
【详解】
解：第1个“五边形数”为1=
2311122⨯-⨯， 第2个“五边形数”为5= 2312222
⨯-⨯， 第3个“五边形数”为12= 2313322
⨯-⨯， 第4个“五边形数”为22= 2314422
⨯-⨯， 第5个“五边形数”为35= 2315522
⨯-⨯， ··· 由此可发现：第n 个“五边形数”为
23122n n -， 当n=20时，23122n n -= 231202022
⨯-⨯=590，
当n=2020时，232n =3×2020×1010是偶数，12n =1010是偶数，所以23122
n n -是偶数， 故选：B ．
【点睛】 本题考查数字类规律探究、有理数的混合运算，通过观察图形，发现数字的变化规律是解答的关键．
28．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n 个图形中小正方形的个数是（ ）
A ．21n
B ．21n -
C ．()211n +-
D ．52n -
解析：C
【分析】 前3个图形中小正方形的个数分别是22－1，32－1，42－1，从而可得答案．
【详解】
解：第1个图形中小正方形的个数是3=22－1，
第2个图形中小正方形的个数是8=32－1，
第3个图形中小正方形的个数是15=42－1，
……；
所以第n 个图形中小正方形的个数是()2
11n +-．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了图形的规律探求，属于常考题型，由前几个图形中小正方形的个数找到规律是解题的关键．
29．观察下列一组图形，其中图形（1）中共有2颗星，图形（2）中共有6颗星，图形（3）中共有11颗星，图形（4）中共有17颗星，…，按此规律，图形（20）中的星星颗数是（ ）
A ．210
B ．236
C ．249
D ．251
解析：C
【分析】 设图中第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数），然后列出各个图形星星的个数，去判断星星个数的规律，然后计算第20个图形的星星个数．
【详解】
解：第n 个图形的星星个数为a n （n 为正整数）
则a 1=2=1+1，a 2=6=1+2+3，a 3=11=1+2+3+5，a 4=17=1+2+3+4+7 ∴a n =1+2+3+……+n +（2n -1）=2(1)15(21)1222n n n n n ++-=+- 令n =20，则
2215151?20+?20-12222
n n +-==249 故选：C
【点睛】
本题主要考查根据图形找规律，解题的关建是找出图形规律，然后计算． 30．如图30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、324A B A △…为等边三角形，若11OA =，则877A B A △的边长为（ ）
A ．32
B ．56
C ．64
D ．128
解析：C
【分析】 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，以及A 2B 2=2B 1A 2，得出A 3B 3=4B 1A 2，A 4B 4=8B 1A 2，A 5B 5=16B 1A 2…进而得出答案．
【详解】
解：如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2=2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
…
∴△A n B n A n+1的边长为2n-1，
∴△A7B7A8的边长为27-1=26=64．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2进而发现规律是解题关键．。