上海市金山中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学试卷Word版含答案

（第9题图）
金山中学2016学年第二学期高二数学期末考试2017年6月
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．
1．()5
1x +的展开式中2
x 项的系数为 ．
2．已知直线l
经过点(
)
且方向向量为()2,1-，则原点O 到直线l 的距离为 .
3．已知全集U R =，集合{}
2
230,A x x
x x R =-->∈,{}22,B x m x m x R =-≤≤+∈,
若()
{}03,U C A B x x x R =≤≤∈，则实数m 的值为 .
4．若变量,x y 满足约束条件12,
20,20,x y x y x y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
则
z y x =-的最小值为
_________.
5．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(
2,3)A -的距离等于
的点的坐标
是 .
6．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是1
3
，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 .
7．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，
[)40,60，[)60,80，[]80,100．则该校学生上学所需时间的
均值估计为 ．（精确到1分钟）.
8．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 . 9． 如图，三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是 ．
10．P 是双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，,M N 分别是
圆
22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 .
11．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{}
1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为 .
12．在直角坐标平面xoy 中，已知两定点1(1,0)F -与2(1,0)F 位于动直线:0
l ax by c ++=的同侧，设集合{
P l =∣
点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于}1， {}
22(,)1,Q x y x y x y =+≤∈R 、，记{}(,)(,),S x y x y l l P =∉∈,
{}(,)(,)T x y x y Q S =∈.则由T 中的所有点所组成的图形的面积
是 .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 13．已知θ为实数，
若复数)
sin 211z i
θθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（ ）
A ．2
B ．0
C ．2-
D ．2i - 14．已知条件α：“直线l 在两条坐标轴上的截距相等”，条件β：“直线l 的斜率等于1-”，则α是β的 （ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要
条件
15．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A 在x 轴上，
AB 平行于y 轴，侧棱1AA 平行于z 轴．当顶点C 在y 轴正半轴上
运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是 （ ）
A ．该三棱柱主视图的投影不发生变化；
B ．该三棱柱左视图的投影不发生变化；
C ．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；
D ．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．
16．如图，两个椭圆
192522=+y x ，19
252
2=+x y 内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上任意一点，给出下列三个判断： ①P 到()0,41-F 、()0,42F 、()4,01-E 、()20,4E 四点的距离之和为定值；
②曲线C 关于直线x y =、x y -=均对称； ③曲线C 所围区域面积必小于36． 上述判断中正确命题的个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分)已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a =-∈R （其中i 是虚数单位）
，若121z z ->
，求a 的取值范围．
18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分． 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 直角梯形，
CD AB //，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =
，
AD =13AA =，3CP =，1PD =.
（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角； （2）求证：PB ⊥平面11BCC B .
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，线段AB 和线段CD 都是底面圆的直径，且直线AB 与直线CD 的夹角为
2
π
，已知1OA =，2PA =． （1）求该圆锥的体积；
（2）求证：直线AC 平行于平面PBD ，并求直线AC 到平面PBD 的距离．
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 阅读：
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111
y a b c
=
++的最小值； P
D
C
B
A
D 1
C 1
B 1
A 1
（2）已知10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x
=+-的最小值； （3）已知正数123,,,
,n a a a a ，1231n a a a a +++
+=，
求证：2222
312
122334112
n n a a a a S a a a a a a a a =+++
+≥++++. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设椭圆1E 的长半轴长为1a 、短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a 、短半轴长为2b ，若
1122a b a b =，则我们称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆．已知椭圆2
2:12
x E y +=，其左顶点为A 、右顶点为B ．
（1）设椭圆E 与椭圆22
:12
x y F s +=是“相似椭圆”，求常数s 的值； （2）设椭圆()2
2:012
x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 仅有一个公共点，过椭圆E 的上顶点为D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 仅有一个公共点，当λ为何值时
12k k +取得最小值，并求其最小值；
（3）已知椭圆E 与椭圆()22
:122x y H t t
+=>是相似椭圆．椭圆H 上异于,A B 的任意一点()00,C x y ，求证：ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上．
金山中学2016学年第二学期高二数学期末考试参考答案2017年6月
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．
1．()5
1x +的展开式中2
x 项的系数为 10 ．
2．已知直线l 经过点()
0且方向向量为()2,1-，则原点O 到直线l 的距离为
1 .
3．已知全集U R =，集合{
}
2
230,A x x x x R =-->∈,{}
22B x m x m =-≤≤+, 若(){}
30≤≤=x x B A C U ，则实数m 的值为 2 .
4．若变量,x y 满足约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪
-≥⎨⎪-≤⎩
则z y x =-的最小值为____
4-_____.
5．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨
=⎪⎩
为参数上与点(2,3)A -的点的坐标是 ()4,3-或()2,1-.
6．某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是
1
3
，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 9
2
. 7．某学校随机抽取100名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需
时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40
，
[)40,60，[)60,80，[]80,100．则该校学生上学所需时间的均值估计为___34__．（精确到1分钟）.
8．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1
分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 186 . 9．如图，三棱锥P ABC -满足：AB AC ⊥，AB AP ⊥，2AB =，
4AP AC +=，则该三棱锥的体积V 的取值范围是 ⎥⎦
⎤ ⎝
⎛3
4,0 ．
10．P 是双曲线
22
1916
x y －＝的右支上一点，,M N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 9 .
11．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -及其内部一动点P ，集合{}
1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为
4
5π
. 12．在直角坐标平面xoy 中，已知两定点1(1,0)F -与2(1,0)F 位于动直线:0
l ax by c ++=的同侧，设集合{
P l =∣
点1F 与点2F 到直线l 的距离之差等于}1， {}
22(,)1,Q x y x y x y =+≤∈R 、，记{}(,)(,),S x y x y l l P =∉∈,
{}(,)(,)T x y x y Q S =∈.则由T 中的所有点所组成的图形的面积是__
2
3
3
+
π
__.
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5
分，否则一律得零分． 13．已知θ为实数，若复数)
sin 211z i
θθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（ C ）
A ．2
B ．0
C ．2-
D ．2i - 14．已知条件α：“直线l 在两条坐标轴上的截距相等”，条件β：“直线l 的斜率等于1-”，
则α是β的 （ B ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条
件
15．如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A 在x 轴
上，AB 平行于y 轴，侧棱1AA 平行于z 轴. 当顶点C 在y 轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的
P
D
C
B
A
D 1C 1
B 1
A 1
是 （ B ）
A ．该三棱柱主视图的投影不发生变化；
B ．该三棱柱左视图的投影不发生变化；
C ．该三棱柱俯视图的投影不发生变化；
D ．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．
16．如图，两个椭圆
192522=+y x ，19
252
2=+x y 内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线C 上任意一点，给出下列三个判断：
①P 到()0,41-F 、()0,42F 、()4,01-E 、()20,4E 四点的距离之和为定值；
②曲线C 关于直线x y =、x y -=均对称； ③曲线C 所围区域面积必小于36． 上述判断中正确命题的个数为（ C ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤．
17．(本题满分14分)已知复数1z 满足()11i 13i z -=+，()2i z a a =-∈R （其中i 是虚数单位）
，若121z z ->
，求a 的取值范围．
解：i z 211+-=，2z a i =+， ()52112
⋅>+--a 即()912
>+a ，
解得4-<a 或2>a
18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分． 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P
是棱CD 上一点，2AB =
，AD =
13AA =，3CP =，1PD =.
（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角； （2）求证：PB ⊥平面11BCC B ..
y
解：（1）以D 原点，1,,DA DC DD 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,
则
)
1
A ，
()
0,1,0P
，
)
B
，
C (
)12,
1
,PA =
-,()1
BC
=
, 1111
cos 12PA BC PA BC θ⋅=
=
=⋅ ∴异面直线1A P 与1BC 所成的角的大小等于arccos 6
.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，线段AB 和线段CD 都是底面圆的直径，且直线AB 与直线CD 的夹角为
2
π
，已知1OA =，2PA =． （1）求该圆锥的体积；
（2）求证：直线AC 平行于平面PBD ，并求直线AC 到平面PBD 的距离． 解：（1）设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则1=r ，3=
h ，
∴圆锥的体积π3
3
31==
Sh V ； （2）证明：由对称性得BD AC //， ∵AC 不在平面PBD ，⊂BD 平面PBD ， ∴//AC 平面PBD ，
∴C 到平面PBD 的距离即直线AC 到平面PBD 的距离， 设C 到平面PBD 的距离为d ，则由BCD P PBD C V V --=，得
h S
d S BCD PBD ⋅=⋅∆∆3
1
31， 可得
141312731-⋅⋅=⋅d ，∴7
21
2=d ， ∴直线AC 到平面PBD 的距离为7
21
2．
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 阅读：
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111
y a b c
=++的最小值； （2）已知10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x
=+-的最小值； （3）已知正数123,,,
,n a a a a ，1231n a a a a +++
+=，
求证：22
22
312
122334
112
n n a a a a S a a a a a a a a =+++
+≥++++. 解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=
++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
， 而
6b a c a c b a b a c b c +++++≥，当且仅当1
3
a b c ===时取到等号，则9y ≥， 即111
y a b c
=++的最小值为9.
（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x
-⎛⎫=
+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭， 而10,
2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，122288212x x
x x
-⋅+⋅≥=-， 当且仅当12228212x x
x x
-⋅
=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥，
所以函数18
12y x x
=
+-的最小值为18.
（3）()()()2
22
12
12231122312n
n n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=++
+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭
()()()()()2
22
2
2
22
12
11
2
231212112
23112n n
n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++
++⋅++⋅++
+⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦
()()()2
22
21212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥++
++++
+=+++=
当且仅当121n a a a n ====
时取到等号，则1
2
S ≥. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设椭圆1E 的长半轴长为1a 、短半轴长为1b ，椭圆2E 的长半轴长为2a 、短半轴长为2b ，若
1122a b a b =，则我们称椭圆1E 与椭圆2E 是相似椭圆．已知椭圆2
2:12
x E y +=，其左顶点为A 、右顶点为B ．
（1）设椭圆E 与椭圆22
:12
x y F s +=是“相似椭圆”，求常数s 的值； （2）设椭圆()2
2:012
x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 仅有一个公共点，过椭圆E 的上顶点为D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 仅有一个公共点，当λ为何值时
12k k +取得最小值，并求其最小值；
（3）已知椭圆E 与椭圆()22
:122x y H t t
+=>是相似椭圆．椭圆H 上异于,A B 的任意一点()00,C x y ，求证：ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上．
解：（1）显然椭圆E 的方程为12
22
=+y x ， 由椭圆E 与F 相似易得：
当2>s 时，421
2=⇒=s s ； 当20<<s 时，11
22=⇒=s s
．
则4=s 或1；
（2）易得(
)
0,2-
A ，()1,0D ，
可得21,l l 的方程分别为()21+
=x k y ，12+=x k y ， 依题意联立：()⎪⎩⎪⎨⎧=++=λ22
122y x x k y ()02424212
121221=-+++⇒λk x k x k ， 又直线1l 与椭圆G 相切，则01=∆（又10<<λ），即()()02421432212141=-+-λk k k ， 即λλ
-=1211k ， 依题意再联立：⎪⎩⎪⎨⎧=++=λ22221y x x k y ()
022*******=-+++⇒λx k x k ， 又直线2l 与椭圆G 相切，则02=∆（又10<<λ），即()()022*********=-+-λk k ，
即2k =，故2121=k k ， 即222121=≥+k k k k ，当且仅当21k k =时取到等号，此时21=λ， 所以当2
1=λ时，12k k +取得最小值2． （3）证明：显然椭圆12:22=+y x E ，由1
22=t ，可得4=t ， 即有椭圆14
2:2
2=+y x H ． 由椭圆H 上的任意一点()00,y x C ，于是14
22020=+y x ① 设ABC ∆的垂心M 的坐标为()M M y x ,， 由AB CM ⊥得0x x M =，又BC AM ⊥12200-=-⋅+⇒x y x y M M
， 将0x x M =代入12200-=-⋅+x y x y M M
，得M y y x 0202-=②
由①②得M y y 20=．
又0x x M =代入（1）得1222=+M M y x ，即ABC ∆的垂心M 在椭圆E 上．。