荆门市初中数学锐角三角函数的经典测试题含解析

荆门市初中数学锐角三角函数的经典测试题含解析
一、选择题
1．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设1OA =，以O 为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如：cos300.87︒≈，cos450.71︒=．下列角度中余弦值最接近0.94的是（ ）
A ．30°
B ．50︒
C ．40︒
D ．20︒
【答案】D 【解析】 【分析】
根据“锐角余弦值速查卡”解答即可. 【详解】
从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos 20︒≈0.94， ∴余弦值最接近0.94的是20︒， 故选：D. 【点睛】
此题考查“锐角余弦值速查卡”，正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.
2．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点
B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，
C ，E 成一直线，那么开挖
点E 离点D 的距离是（ ）
A ．500sin55m o
B ．500cos55m o
C ．500tan55m o
D ．
500
cos55
m o
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可． 【详解】
在Rt △BDE 中，cosD=
DE
BD
，
∴DE=BD•cosD=500cos55°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=2
3
，那么AB的长是（）
A．3 B．4
3
C．5D．13
【答案】A 【解析】
根据锐角三角函数的性质，可知cosA=AC
AB
=
2
3
，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.
故选A.
点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值
cosA=
A
的邻边
斜边
，然后带入数值即可求解.
4．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()
A．3 cm B．2+10) cm C．64 cm D．54cm
【答案】C
【解析】
【分析】
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】
如图所示，
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=1
2
AC=
1
2
×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
故选C．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（）
A．23B．3C．33D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，3，
所以BD=BA=2x，即可得33）x，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=
(32)
32 CD x
AC
+
==，
故选A.
6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC
V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE
∠的值是（）
A．24
7
B．
7
3
C．
7
24
D．
1
3
【答案】C
【解析】
试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，
解得x=25
4
，故CE=8-
25
4
=
7
4
，
∴tan∠CBE=
7
24 CE
CB
.
故选C.
考点：锐角三角函数.
7．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【详解】
解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝BC AC
，
所以sin∠A＝0.25.
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
点睛：
本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
8．如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转.若∠BOA 的两边分别与函数1
y x
=-
、2y x =的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 大小的变化趋势为（ ）
A ．逐渐变小
B ．逐渐变大
C ．时大时小
D ．保持不变
【答案】D 【解析】 【分析】
如图，作辅助线；首先证明△BEO ∽△OFA ，，得到
BE OE OF AF =；设B 为（a ，1
a
-），A 为（b ，2b ），得到OE=-a ，EB=1a
-，OF=b ，AF=2
b ，进而得到222a b =，此为解决问题的关
键性结论；运用三角函数的定义证明知tan ∠OAB=2
2
为定值，即可解决问题． 【详解】
解：分别过B 和A 作BE ⊥x 轴于点E ，AF ⊥x 轴于点F ， 则△BEO ∽△OFA ， ∴
BE OE
OF AF
=， 设点B 为（a ，1a
-），A 为（b ，2
b ），
则OE=-a ，EB=1a
-
，OF=b ，AF=2
b ，
可代入比例式求得222a b =，即2
2
2
a b =
， 根据勾股定理可得：22221OE EB a a +=+
222
2
4OF AF b b +=+
∴tan∠
OAB=
2
2
22
22
22
12
2
44
b
a
OB a b
OA
b b
b b
++
==
++
=
2
2
2
2
14
()
2
4
b
b
b
b
+
+
=
2
2
∴∠OAB大小是一个定值，因此∠OAB的大小保持不变.
故选D
【点睛】
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
9．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则
c a
a b c b
+
++
的值为（）
A．
1
2
B．
2
2
C．1 D2
【答案】C
【解析】
【分析】
先过点A作AD⊥BC于D，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用
3
sin60︒=cos60°=
1
2
,可求
13
,,
2
DB c AD
==把这两个表达式代入到另一个Rt△ADC的勾股定理表达式中，化简可得即a2+c2=b2+ac，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．
【详解】
解：过A点作AD⊥BC于D，在Rt△BDA中，由于∠B=60°，
∴13,,22
DB c AD c =
= 在Rt △ADC 中，DC 2=AC 2﹣AD 2，
∴2
221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
， 即a 2+c 2=b 2+ac ，
∴()()2222222
1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b
++++++++++====++++++++++ 故选C ．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．
10．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC 的坡度（或坡比）为i ＝1：2，BC ＝12
米，CD ＝8米，∠D ＝36°，（其中点A 、B 、C 、D 均在同一
平面内）则垂直升降电梯AB 的高度约为（ ）米．（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
A ．5.6
B ．6.9
C ．11.4
D ．13.9
【答案】C 【解析】 【分析】
根据勾股定理，可得CE ，BE 的长，根据正切函数，可得AE 的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】
解:如图,延长DC 、AB 交于点E ，
，
由斜坡轨道BC 的坡度（或坡比）为i ＝1：2，得
BE ：CE ＝1：2． 设BE ＝xm ，CE ＝2xm ． 在Rt △BCE 中，由勾股定理，得 BE 2+CE 2＝BC 2， 即x 2+（2x ）2＝（12）2，
解得x ＝12， BE ＝12m ，CE ＝24m ， DE ＝DC +CE ＝8+24＝32m ， 由tan36°≈0.73，得 ＝0.73，
解得AB ＝0.73×32＝23.36m ． 由线段的和差，得
AB ＝AE ﹣BE ＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m ， 故选：C ． 【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE ，BE 的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．
11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA 的值是（ ） A ．
45
B ．
35
C ．
43
D ．
34
【答案】B 【解析】 【分析】
根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】
解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4， 由勾股定理，得22AC BC
cosA=
AC AB =3
5 故选：B ． 【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
12．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin ∠E 的值为（ ）
A．1
2
B．
2
2
C．
3
2
D．
3
3
【答案】A
【解析】
【分析】
首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
【详解】
如图，连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COE=∠A+∠OCA=60°，
∴∠E=180°-90°-60°=30°，
∴sinE=sin30°=1 2 .
故选A.
13．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（）
A3cm B．2cm C．23cm D．4cm
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可． 【详解】
解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， ∵OB=OC ，OG ⊥BC ，
∴∠BOG=∠COG=1
2
∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ，
∴BG=12BC=1
2×2=1cm ， ∴OB=
sin 30
BG
o
=2cm ， ∴OG=2222213OB BG -=-=， ∴圆形纸片的半径为3cm ， 故选：A ．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )
A 532
π
- B 532
π
+ C ．23π
D ．432
π
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠
A=
3
3
23
BC
AB
==，
∴∠A=30°，
∴OH=1
2
OA=
3
，AH=AO•cos∠A=
33
3
2
⨯=，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=3，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=
()2
603
113
2323
22360
π⨯
⨯⨯-⨯⨯-=
53
42
π
-，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
15．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA=底边:腰.如图，在ABC
∆中，AB AC
=，2
A B
∠=∠.则sin B sadA
⋅=（）A．
1
2
B2C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
证明△ABC是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】
解：∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
∵∠A=2∠B ，
∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，
∴在Rt △ABC 中，BC=sin AC B ∠=2AC ， ∴sin ∠B •sadA=1AC BC BC AC
=g , 故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）．
A ．2sin70︒
B ．2cos70︒
C ．2tan70︒
D ．2tan 70︒
【答案】B
【解析】
【分析】 直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．
【详解】
解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，
∴cos60°=
12
AC AB =， 则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD
， ∴AC=AD •cos70°，
AD=cos70AC ︒
，
∴
2
cos70
AC
AC
AB
AD
=
︒
=2cos70°．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．
17．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为()
A．
cot cot
m
αβ
-
千米B．
cot cot
m
βα
-
千米C．
tan tan
m
αβ
-
千米D．
tan tan
m
βα
-
千米
【答案】A
【解析】
【分析】
根据锐角三角函数的概念进行作答.
【详解】
在P点做一条直线垂直于直线AB且交于点O，由锐角三角函数知，AO=PO cotα，
BO=PO cotβ，又AB=m=AO-BO= PO cotα- PO cotβ= cot cot
m
αβ
-
. 所以答案选A.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.
18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=
4
3
，⑤S△DOC=S四边形EOFB
中，正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
分析：由正方形ABCD 的边长为4，AE =BF =1，利用SAS 易证得△EBC ≌△FCD ，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC =90°正确，③CE =D F 正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD =∠DFC ，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．
详解：∵正方形ABCD 的边长为4，∴BC =CD =4，∠B =∠DCF =90°．
∵AE =BF =1，∴BE =CF =4﹣1=3．
在△EBC 和△FCD 中，BC CD B DCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EBC ≌△FCD （SAS ），∴∠CFD =∠BEC ，CE =DF ，故③正确，
∴∠BCE +∠BEC =∠BCE +∠CFD =90°，∴∠DOC =90°；故①正确；
连接DE ，如图所示，若OC =OE ．
∵DF ⊥EC ，∴CD =DE ．
∵CD =AD ＜DE （矛盾），故②错误；
∵∠OCD +∠CDF =90°，∠CDF +∠DFC =90°，∴∠OCD =∠DFC ，∴tan ∠OCD =tan ∠DFC =
DC FC =43
，故④正确； ∵△EBC ≌△FCD ，∴S △EBC =S △FCD ，∴S △EBC ﹣S △FOC =S △
FCD ﹣S △FOC ，即S △ODC =S 四边形BEOF ．故⑤正确；
故正确的有：①③④⑤．
故选D ．
点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
19．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）
A ．183π-
B ．183π
C ．32316π
D ．1839π-
【解析】
【分析】
由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=
3
843⨯=，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积
=
2
120(43)
84332316
π
π
⨯
⨯-=-．
故选：C.
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝23，BC＝10，E、F分别在边BC，AD上，BE＝DF．将△ABE，△CDF分别沿着AE，CF翻折后得到△AGE，△CHF．若AG、CH分别平分∠EAD、∠FCB，则GH长为（）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】B
【解析】
【分析】
如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MN＝AB＝3BN＝AM＝3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GH＝TN即可解决问题．
【详解】
解：如图作GM⊥AD于M交BC于N，作HT⊥BC于T．
∵△ABE沿着AE翻折后得到△AGE，
∴∠GAM＝∠BAE，AB＝AG＝3
∵AG分别平分∠EAD，
∴∠BAE＝∠EAG，
∵∠BAD＝90°，
∴∠GAM＝∠BAE＝∠EAG＝30°，∵GM⊥AD，
∴∠AMG＝90°，
∴在Rt△AGM中，sin∠GAM＝GM
AG
，cos∠GAM＝
AM
AG
，
∴GM＝AG•sin30°＝3，AM＝AG•cos30°＝3，
同理可得HT＝3，CT＝3，
∵∠AMG＝∠B＝∠BAD＝90°，
∴四边形ABNM为矩形，
∴MN＝AB＝23，BN＝AM＝3，
∴GN＝MN﹣GM＝3，
∴GN＝HT，
又∵GN∥HT，
∴四边形GHTN是平行四边形，
∴GH＝TN＝BC﹣BN﹣CT＝10﹣3﹣3＝4，
故选：B．
【点睛】
本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。