课后限时集训12函数模型及其应用含解析理20190627362_最新修正版

课后限时集训(十二)
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．(2019·银川模拟)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为( )
A ．3 000元
B ．3 800元
C ．3 818元
D ．5 600元
B [由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
0，x ≤800，0.14x －800，800＜x ≤4 000，0.11x ，x ＞4 000，
显然稿费应为800＜x ≤4 000，则0.14(x －800)＝420，解得x ＝3 800，故选B.] 2．(2019·衡阳模拟)将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )
A ．85元
B ．90元
C ．95元
D ．100元
C [设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2
－225]，
∴当x ＝95时，y 最大．]
3．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )
D [y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A ，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B ，故选D.]
4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的3
4，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次
数是(参考数据lg 2≈0.301 0)
( )
A
．3 B ．4
C ．5
D ．6
B [设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x
≤1100
，
∴x ≥1
lg 2
≈3.322，因此至少需要洗4次，故选B.]
5．(2019·泰安模拟)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A ．40万元
B ．60万元
C ．120万元
D ．140万元
C [甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.]
二、填空题
6．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)
2018年5月1日 12 35 000 2018年5月15日
48
35 600
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．
8 [因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．]
7．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.
20 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y
40
，解得y ＝40－x ，
所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2
＋40x ＝－(x －20)2
＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S m ax ＝400.]
8．(2019·成都模拟)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e
kx ＋b
(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间
是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．
24 [由已知条件，得192＝e b
，∴b ＝ln 192.又∵48＝e
22k ＋b
＝e
22k ＋ln 192
＝192e 22k
＝
192(e 11k )2，∴e 11k
＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫481921
2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12
.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3
＝192×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123
＝24.]
三、解答题
9．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足
P ＝80＋42a ，Q ＝1
4
a ＋120，设甲大棚的投入为x (单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．
(1)求f (50)的值；
(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ [解] (1)∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， ∴f (50)＝80＋42×50＋1
4×150＋120＝277.5万元．
(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－1
4
x ＋42x ＋250，
依题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≥20
200－x ≥20⇒20≤x ≤180，
故f (x )＝－1
4
x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．
令t ＝x ∈[25，65]，则f (x )＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2
＋282，
当t ＝82，即x ＝128时，f (x )m ax ＝282万元．
所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元． 10．(2019·太原模拟)为了迎接国庆节，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出
租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．
(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115.令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N *
，∴3≤x ≤6，x ∈N *
.
当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.
令[50－3(x －6)]x －115＞0，有3x 2
－68x ＋115＜0. 又x ∈N *
，∴6＜x ≤20(x ∈N *
)，
故y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
50x －1153≤x ≤6，x ∈N *
，－3x 2＋68x －1156＜x ≤20，x ∈N *
.
(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y m ax ＝185.
对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝
⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈N *
)，
当x ＝11时，y m ax ＝270.又∵270＞185，
∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．
B 组 能力提升
1．(2019·莆田模拟)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是 ( )
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
C [设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
，
由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
＜11 000
，得n ≥10，
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．故选C.]
2．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线
y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a
4
L ，则m 的
值为( )
A ．5
B ．8
C ．9
D ．10
A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n
＝12
a ，
可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t
5，
因此，当k min 后甲桶中的水只有a
4
L 时，
f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k
5
＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k
5
＝1
4
，
∴k ＝10，
由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]
3．(2019·唐山模拟)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝R －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)．
14
a 2
[令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝a A －A ＝at －t 2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2
＋14
a 2，
∴当t ＝12a ，即A ＝14
a 2
时，D 取得最大值．]
4．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t
＋2
1－
t
(t ≥0且m >0)．
(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5 ℃； (2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围． [解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，
当θ＝5时，2t
＋12t ＝52，
令2t
＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，
即2x 2
－5x ＋2＝0，
解得x ＝2或x ＝1
2(舍去)，
∴2t
＝2，即t ＝1，
∴经过1 min ，物体的温度为5 ℃.
(2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立， 即m ·2t
＋22
t ≥2恒成立，
亦即m ≥2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －122t 恒成立． 令1
2t ＝x ，则0<x ≤1， ∴m ≥2(x －x 2
)．
∵x －x 2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋14≤14
，∴m ≥12.
因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞.。