第三节 两个正态总体的假设检验

第三节 两个正态总体的假设检验
上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题.
1.两正态总体数学期望假设检验
（1） 方差已知，关于数学期望的假设检验（Z 检验法） 设X ~N (μ1,σ12），Y ~N （μ2，σ22），且X ，Y 相互独立，σ12与σ22已知，要检验的是
H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验)
怎样寻找检验用的统计量呢？从总体X 与Y 中分别抽取容量为n 1，n 2的样本X 1，X 2，…，
1n X 及Y 1，Y 2，…，2n Y ，由于
2111~,X N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，2222~,Y N n σμ⎛⎫
⎪⎝⎭，
E （X -Y ）=E （X ）-E （Y ）=μ1-μ2， D （X -Y ）=D （X ）+D （Y ）=
22
121
2
n n σσ+，
故随机变量X -Y 也服从正态分布，即
X -Y ~N (μ1-μ2，
22
121
2
n n σσ+).
从而
X Y ~N （0，1）.
于是我们按如下步骤判断.
（a ） 选取统计量 Z
X Y ， （8.16）
当H 0为真时，Z ~N （0，1）.
（b ） 对于给定的显著性水平α，查标准正态分布表求z α/2使
P {｜Z ｜＞z α/2}=α，或P {Z ≤z α/2}=1-α/2. （8.17） （c ） 由两个样本观察值计算Z 的观察值z 0：
z 0
x y .
（d ） 作出判断：
若｜z 0｜＞z α/2，则拒绝假设H 0，接受H 1； 若｜z 0｜≤z α/2，则与H 0相容，可以接受H 0.
例8.7 A ，B 两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设A 车床加工的轴的椭
圆度X ~N （μ1，σ12），B 车床加工的轴的椭圆度Y ~N （μ2，σ22），且σ12=0.0006(mm 2)，σ22=0.0038(mm 2)，现从A ，B 两台车床加工的轴中分别测量了n 1=200，n 2=150根轴的椭圆度，并计算得样本均值分别为=0.081(mm),=0.060(mm).试问这两台车床加工的轴的椭圆度是否有显著性差异？（给定α=0.05)
解 ① 提出假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2. ② 选取统计量
Z
X Y ，
在H 0为真时，Z ~N （0，1）.
③ 给定α=0.05，因为是双边检验，α/2=0.025.
P {｜Z ｜＞z α/2}=0.05, P {Z ＞z α/2}=0.025，
P {Z ≤z α/2}=1-0.025=0.975.
查标准正态分布表，得
z α/2=z 0.025=1.96.
④ 计算统计量Z 的观察值z
z 0
x y =
=3.95.
⑤ 作判断：由于｜z 0｜=3.95＞1.96=z α/2，故拒绝H 0，即在显著性水平α=0.05下，认为两台车床加工的轴的椭圆度有显著差异.
用Z 检验法对两正态总体的均值作假设检验时，必须知道总体的方差，但在许多实际问题中总体方差σ12与σ22往往是未知的，这时只能用如下的t 检验法.
（2） 方差σ12，σ22未知，关于均值的假设检验（t 检验法） 设两正态总体X 与Y 相互独立，X ~N （μ1，σ12），Y ~N （μ2，σ22），σ12，σ22未知，但知σ12=σ22，检验假设
H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.(双边检验) 从总体X ，Y 中分别抽取样本X 1，X 2，…，1n X 与Y 1，Y 2，…，2n Y ，则随机变量
t
X Y μμ---~t （n 1+n 2-2），
式中
S w 2=
22
112212(1)(1)2
n S n S n n -+-+-，S 12，S 22分别是X 与Y 的样本方差.
当假设H 0
为真时，统计量
t X Y
~t （n 1+n 2-2）. （8.18）
对给定的显著性水平α，查t 分布得t α/2（n 1+n 2-2），使得
P {｜t ｜＞t α/2（n 1+n 2-2）}=α. （8.19）
再由样本观察值计算t 的观察值
t 0x y
， （8.20）
最后作出判断：
若｜t 0｜＞t α/2（n 1+n 2-2），则拒绝H 0； 若｜t 0｜≤t α/2（n 1+n 2-2），则接受H 0.
例8.8 在一台自动车床上加工直径为2.050毫米的轴，现在每相隔两小时，各取容量都为10的样本，所得数据列表如表8-3所示.
表8-3
假设直径的分布是正态的，由于样本是取自同一台车床,可以认为σ1=σ2=σ，而σ是未知常数.问这台自动车床的工作是否稳定？（取α=0.01)
解 这里实际上是已知σ12=σ22=σ2，但σ2未知的情况下检验假设H 0：μ1=μ2；H 1：μ1≠μ2.我们用t 检验法，由样本观察值算得：
x =2.063, y =2.059，
s 12=0.00000956， s 22=0.00000489，
s w 2=
2212990.0000860.000044
1010218
s s ⨯+⨯+=+-=0.0000072.
由（8.20）式计算得
t 0.
对于α=0.01，查自由度为18的t 分布表得t 0.005(18)=2.878.由于｜t 0｜=3.3＞t 0.005(18)=2.878,于是拒绝原假设H 0：μ1=μ2.这说明两个样本在生产上是有差异的，可能这台自动车床受时间的影响而生产不稳定.
2. 两正态总体方差的假设检验（F 检验法(F -test )） （1） 双边检验
设两正态总体X ~N （μ1，σ
12
），Y ~N （μ2，σ
22
）
，X 与Y 独立，X 1，X 2，…，1n X 与
Y 1，Y 2，…，2n Y 分别是来自这两个总体的样本，且μ1与μ2未知.现在要检验假设H 0：σ12
=
σ
22
；H 1：σ12≠σ22.
在原假设H 0成立下，两个样本方差的比应该在1附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小.于是我们选取统计量
F =2
122
S S . （8.21） 显然，只有当F 接近1时，才认为有σ
12=σ22.
由于随机变量F *=22
1122
22
//S S σσ ~F （n 1-1，n 2-1）,所以当假设H 0：σ12=σ2
2
成立时,统计量
F =2
122
S S ~F （n 1-1，n 2-1）.
对于给定的显著性水平α，可以由F 分布表求得临界值
12
a F
-
（n 1-1，n 2-1）与F α/2（n 1-1，n 2-1）
使得 P { 12
a F
-
（n 1-1，n 2-1）≤F ≤F α/2（n 1-1，n 2-1）}=1-α
（图8-5），由此可知H 0的接受区域是
12
a F
-
（n 1-1，n 2-1）≤F ≤F α/2（n 1-1，n 2-1）；
而H 0的拒绝域为
F ＜12
a
F
-（n 1-1，n 2-1），
或 F ＞F α/2（n 1-1，n 2-1）.
然后，根据样本观察值计算统计量F 的观察值，若F 的观察值落在拒绝域中，则拒绝H 0，接受H 1；若F 的观察值落在接受域中，则接受H 0.
图8-5
例8.9 在例8.8中我们认为两个总体的方差σ12=σ22，它们是否真的相等呢？为此我们来检验假设H 0：σ12=σ22（给定α=0.1).
解 这里n 1=n 2=10，s 12=0.00000956,s 22=0.00000489，于是统计量F 的观察值为
F =0.00000956/0.00000489=1.95.
查F 分布表得
F α/2（n 1-1，n 2-1）=F 0.05(9,9)=3.18，
F 1-α/2（n 1-1，n 2-1）=F 0.95(9,9)=1/F 0.05(9,9)=1/3.18.
由样本观察值算出的F 满足
F 0.95(9,9)=1/3.18＜F =1.95＜3.18=F 0.05(9,9).
可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设H 0：σ12=σ22，从而认为两个总体的方差无显著差异.
注意：在μ1与μ2已知时，要检验假设H 0：σ12=σ22，其检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：
F =1
2
211
1221
21()1()n i i n i i X n Y n μμ==--∑∑~F （n 1，n 2）.
其拒绝域参看表8-4.
(2) 单边检验
可作类似的讨论，限于篇幅，这里不作介绍了.。