双线性变换法设计数字低通滤波器概要

燕山大学

课程设计说明书

题目：双线性变换法设计数字低通滤波器

学院（系）：电气工程学院

年级专业：检测

学号：

学生姓名：沫沫

指导教师：王娜

教师职称：讲师

电气工程学院《课程设计》任务书

课程名称：数字信号处理课程设计

说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。

2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。

电气工程学院教务科

目录

第一章绪论 (4)

第二章用双线性变换法设计低通滤波器的主要原理 (5)

2.1 双线性变换法 (5)

2.1.1 双线性变换法的基本原理 (5)

2.1.2 转换关系分析 (6)

2.2 巴特沃斯低通滤波器原理 (9)

第三章用双线性变换法设计低通滤波器步骤 (11)

第四章 MATLAB程序 (11)

第五章程序中命令介绍 (13)

第六章运行结果及波形 (14)

第七章结果分析 (16)

第八章心得体会 (17)

参考文献 (18)

第一章 绪论

数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数

据的处理。时域离散系统的频域特性:)()()(ωωωj j j e H e X e Y =,其中）（ω

j e Y 、

)(ωj e X 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特

性）,)(ωj e H 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响

应。输入序列的频谱)(ωj e X 经过滤波后)()(ω

ωj j e H e X ,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择)(ωj e H ，使得滤波后的)

()(ω

ωj j e H e X 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为：

∑∑==-+-=N

i i N

i i i n y b i n x a n y 1

)()()(

系统函数为：

计IIR 滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率

响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。

∑

∑=-=-+=

N

k k

k M

r r

r Z a Z

b z H 1

01)(

第二章 用双线性变换法设计低通滤波器的主要原理

2.1 双线性变换法

由于从s 平面到z 平面的映射sT

z e

=具有多值性，使得设计出来的数字滤波器不可

避免的出现频谱混叠现象。为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应的缺点，我们使用一种新的变换——双线性变换。 2.1.1双线性变换法的基本原理

双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分，利用对积分的数值逼近的思想 。仿真滤波器的传递函数()H s 为

01

(),M

k

k k N

k

k k c s

H s M N d s

===

>∑∑ （2-1）

将展开为部份分式的形式，并假设无重复几点，则

1()N

k

k pk

A H s s s ==-∑

（2-2）

那么，对于上述函数所表达的数字信号处理系统来讲，其仿真输入()x t 和模拟输出()y t 有如下关系

()()()p y t s y t Ax t '-=

利用差分方程来代替导数，即

()(1)

()y n y n y t T

--'=

（2-3）

同时令

[]1

()()(1)2y t y n y n =

+- []1

()()(1)2x t x n x n =+-

这样，便可将上面的微分方程写为对应的差分方程形式

[][][]1()(1)()(1)()(1)22

p s A

y n y n y n y n x n x n T ---+-=+- （2-4） 两边分别取z 变换，可得

1

1

()()21()1p

Y z A

H z z

X z s T z

--=

=-⨯-+ （2-5） 这样，通过上述过程，就可得到双线性变换中的基本关系，如下所示

1

1

211z s T z

---=⨯+ （2-6） 22s T z s T

+=- （2-7） 所谓的双线性变换，仅是指变换公式中s 与z 的关系无论是分子部份还是分母部份都是线性的。

2.1.2 转换关系分析

双线性变换法采用非线性频率压缩方法，也就是将整个频域轴上的频率范围压缩到-π/T~π/T 之间，再用z=e sT

转换到z 平面上。也就是说，第一步现将整个S 平面压缩映射到S1平面的-π/T~π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系1e S T

将此横带变换到整

个z 平面上去。这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图所示。