双线性变换法设计数字低通滤波器概要

燕山大学课程设计说明书题目：双线性变换法设计数字低通滤波器学院（系）：电气工程学院年级专业：检测学号：学生姓名：沫沫指导教师：王娜教师职称：讲师电气工程学院《课程设计》任务书课程名称：数字信号处理课程设计说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。

2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。

电气工程学院教务科目录第一章绪论 (4)第二章用双线性变换法设计低通滤波器的主要原理 (5)2.1 双线性变换法 (5)2.1.1 双线性变换法的基本原理 (5)2.1.2 转换关系分析 (6)2.2 巴特沃斯低通滤波器原理 (9)第三章用双线性变换法设计低通滤波器步骤 (11)第四章 MATLAB程序 (11)第五章程序中命令介绍 (13)第六章运行结果及波形 (14)第七章结果分析 (16)第八章心得体会 (17)参考文献 (18)第一章 绪论数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。

数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。

输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。

描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。

时域离散系统的频域特性:)()()(ωωωj j j e H e X e Y =,其中）（ωj e Y 、)(ωj e X 分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,)(ωj e H 是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。

输入序列的频谱)(ωj e X 经过滤波后)()(ωωj j e H e X ,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择)(ωj e H ，使得滤波后的)()(ωωj j e H e X 满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。

IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为：∑∑==-+-=Ni i Ni i i n y b i n x a n y 1)()()(系统函数为：计IIR 滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。

∑∑=-=-+=Nk kk Mr rr Z a Zb z H 101)(第二章 用双线性变换法设计低通滤波器的主要原理2.1 双线性变换法由于从s 平面到z 平面的映射sTz e=具有多值性，使得设计出来的数字滤波器不可避免的出现频谱混叠现象。

为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应的缺点，我们使用一种新的变换——双线性变换。

2.1.1双线性变换法的基本原理双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分，利用对积分的数值逼近的思想 。

仿真滤波器的传递函数()H s 为01(),Mkk k Nkk k c sH s M N d s===>∑∑ （2-1）将展开为部份分式的形式，并假设无重复几点，则1()Nkk pkA H s s s ==-∑（2-2）那么，对于上述函数所表达的数字信号处理系统来讲，其仿真输入()x t 和模拟输出()y t 有如下关系()()()p y t s y t Ax t '-=利用差分方程来代替导数，即()(1)()y n y n y t T--'=（2-3）同时令[]1()()(1)2y t y n y n =+- []1()()(1)2x t x n x n =+-这样，便可将上面的微分方程写为对应的差分方程形式[][][]1()(1)()(1)()(1)22p s Ay n y n y n y n x n x n T ---+-=+- （2-4） 两边分别取z 变换，可得11()()21()1pY z AH z zX z s T z--==-⨯-+ （2-5） 这样，通过上述过程，就可得到双线性变换中的基本关系，如下所示11211z s T z---=⨯+ （2-6） 22s T z s T+=- （2-7） 所谓的双线性变换，仅是指变换公式中s 与z 的关系无论是分子部份还是分母部份都是线性的。

2.1.2 转换关系分析双线性变换法采用非线性频率压缩方法，也就是将整个频域轴上的频率范围压缩到-π/T~π/T 之间，再用z=e sT转换到z 平面上。

也就是说，第一步现将整个S 平面压缩映射到S1平面的-π/T~π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系1e S T将此横带变换到整个z 平面上去。

这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图所示。

图2.1双线性变换法的映射情况为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到1S 平面轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以上的正切的变换实现Ω=2/T tan(1ΩT/2) （2-8）式中，T 仍是采样间隔。

当1Ω由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个j Ω轴。

将上式写成111122222T Tj j TT j j e e j T e e ΩΩΩΩ--Ω=•+ （2-9） 将此关系解析延拓到整个S 平面和1S 平面，令j Ω=s, 1j Ω=S1,则得S 111221tan()21e s Ts TS T e T T --==•+ (2-10)再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面：z=S1Te（2-11）从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为;11211Z S T Z ---=+ (2-12) 122122T T S SZ T T S S ++==-- (2-13) 式（2-12）和式（2-13）是S 平面与Z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此成为双线性变换。

依靠双线性变换式建立起来s 平面和z 平面的单值映射关系，由上式我们可以得到模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系：2tan()2T ωΩ=（2-14） 从上式可知，当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，整个j Ω轴是单值地对应于单位圆的一周。

因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，它不存在频率混叠问题。

由于S 平面的左半平面映射到Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆上。

因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得到的数字滤波器也一定是稳定的。

但是，它的频率变换关系是非线性畸变。

这种非线性即便可以通过预畸变来校正。

用双线性变换设计数字滤波器时，一般总是先将数字滤波器的各临界频率经式（2-14）的频率预畸变，求得相应参考模拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传递函数，最后通过双线性变换公式求出数字滤波器的传递函数。

这样通过双线性变换，正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上。

图2.2双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射2.2巴特沃斯低通滤波器的原理巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦，没有起伏，而在组频带则逐渐下降为零。

在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向于负无穷大。

一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频6分贝，二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶的衰减率为每分贝18分贝，如此类推，巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且滤波器的阶数越高，在组频带振幅衰减速度越快，其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同的形状。

N cs s H s H )(11)()(22Ω-+=-上述函数的特点是等距离分布在半径为Ω的圆上，如下图所示为三阶巴特沃斯滤波器极点分布图：图2.3 三阶巴特沃斯滤波器极点分布图因此，极点用下式表示为Nk j j c k ees )12(2+∏Ω= (2-15)1,2,1,0-=N k)(s H a 的表示式：∏-=-Ω=1)()(N k kn ca ss s H (2-16)为了使设计公式和图表统一，将频率归一化。

巴特沃斯滤波器采用3dB 截止频率c Ω归一化，归一化后的系统函数为∏-=Ω-Ω=Ω10)(1)(N k c k cca s s s G (2-17)令c c s j p Ω=Ω=+=λλη,,λ称为归一化频率，p 称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为∏-=-=1)(1N k ka pp G (2-18)式中，c k s p Ω=，为归一化极点，用下式表示:)21221(Nk j k ep ++=π 1,2,1,0-=N k (2-19)巴特沃斯滤波器的设计实质上就是根据设计指标求阶数N 和3 dB 截止频率Ωc 的过程。

第三章 用双线性变换法设计低通滤波器步骤设计数字滤波器的具体步骤如下：（1）确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p ω、通带最大衰减系数p α、阻带截止频率ω、阻带最小衰减系数s α。

（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。

采用双线性变换法，频率的转换关系为 2tan()2T ωΩ= （3）根据转换后的性能指标，确定滤波器最小阶数n 和固有频率wn 。

（4）由最小阶数n 得到巴特沃斯模拟低通滤波器原型。

（5）将模拟滤波器系统函数Ha(S)从s 平面转换到z 平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。

H(z)=Ha （S ）|11211z s T z---=⨯+第四章 MATLAB 程序用双线性变换法设计数字低通滤波器的MATLAB 程序如下：fs=1000;%采样频率fp=100;fst=300;wp=2*pi*fp/fs;%数字通带截止频率ws=2*pi*fst/fs;%数字阻带截止频率Rp=3;%通带最大衰减系数rRs=20;%阻带最大衰减系数Fs=fs/fs;Ts=1/Fs;%采样周期m=256;%采样点数Wp=2/Ts*tan(wp/2);%模拟通带截止频率Ws=2/Ts*tan(ws/2);%模拟阻带截止频率[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%选择模拟巴特沃斯低通滤波器的最小阶数[z,p,k]=buttap(N);%创建巴特沃斯模拟低通滤波器[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);%由零点、极点、增益确定传输函数的分子与分母的系数[b,a]=lp2lp(Bp,Ap,Wn);%模拟低通滤波器到模拟低通滤波器的转换,归一化[bz,az]=bilinear(b,a,Fs*Ts/2);%用双线性变换法实现模拟低通滤波器到数字低通滤波器的转换[h,w]=freqz(bz,az,m,Fs/fs);db=20*log(abs(h)/max(abs(h)));figure(1);plot(w,abs(h),'r');title('数字低通滤波器')grid on;xlabel('频率(rad)');ylabel('幅度')figure(2);subplot(2,1,1);plot(w/pi,db);title('幅频特性');xlabel('w/pi');ylabel('20lg|Hg(w)|');grid on;subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(h));title('相频特性');xlabel('w/pi');ylabel('相位');grid on;[Nc,wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');%计算滤波器阶数和3dB截止频率[bl,al]=butter(Nc,wc,'s');%计算滤波器系统函数分子分母多项式[h,f]=freqs(bl,al);figure(3)plot(f,abs(h));grid on,xlabel('频率（HZ）');ylabel('幅度')title('模拟低通滤波器');第五章程序中命令介绍程序中所用的主要指令如下：1)确定滤波阶数函数buttord格式:[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,‘S’)表示选择模拟巴特沃斯低通滤波器的最小阶数其中：N：满足指标的最低滤波器阶数Wn:巴特沃斯自然频率Rp:通带最大衰减Rs:阻带最小衰减Wp、Ws归一化的通带和阻带边缘频率。