福建省华安一中2013-2014学年高二数学下学期期末试卷 文

华安一中2013-2014学年下学期期末考
高二（文科）数学试题
（考试时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若0x >,则2
0x >”的否命题是
A ．若20x >,则0x >
B ．若0x >,则2
0x ≤
C ．若20x ≤,则0x ≤
D ．若0x ≤,则2
0x ≤
2. 已知集合{}
|11M x x =-<<，
{
|N x y ==，则M
N =
A. {}|01x x <<
B. {}|01x x ≤<
C.
{}|0x x ≥ D. {}|10x x -<≤
3. 若复数z 满足i 45i z =- (其中i 为虚数单位)，则复数z 为 A ．54i - B ．54i -+ C ．54i + D ．54i --
4.tan300°+0
0765sin )
405cos(-的值是
A ．1＋
3
B ．－1－
3C ．1－3
D ．－1＋
3
5．函数3
2
()34f x x x 的单调递增区间是
A ．(
,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(2,
)
6．要得到函数
sin(2)
6y x π
=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π
个单位长度
C ．向左平移6π个单位长度
D ．向右平移6π
个单位长度
7．ABC △的内角A
B C ，，的对边分别为a b c ，，，若c b ==120B =则a 等
A
．2C
8．函数x x x f 2log )(+=π的零点所在区间为
A ．11[]42,
B ．11[]84,
C ．1[0]8,
D ．1[1]
2,
9.下列命题的说法错误的是
A ．命题“若2320,x x -+= 则 1=x ”的逆否命题为：“若1≠x , 则2320x x -+≠”.
B ．“1=x ”是“2
320x x -+=”的充分不必要条件.
C ．对于命题
:,p x R ∀∈2
10,x x ++> 则:,p x R ⌝∃∈210.x x ++≤ D ．若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题.
10．若)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足0)2(),()3(==+f x f x f ，则方程0)(=x f 在区间)6,0(内解的个数的最小值是 A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
11．已知函数21(),0,()()
221,0x
x f x a x ax x ⎧-≤⎪=∈⎨⎪-->⎩R ，则下列结论正确的是
A ．a ∀∈R ，()f x 有唯一零点
B ．a ∃∈R ，()f x 的最小值为()f a
C ．a ∀∈R ，()f x 有极大值和极小值
D ．a ∃∈R ，()f x 在R 上单调递减
12．在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2A B =，给出下列命题：
①ππ64B <<
；②a
b ∈；③22a b b
c =+. 其中正确的个数是 A ．0B ．1C ．2D ．3
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的相应位置） 13．已知,x y 的取值如下表：
从散点图分析，y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为ˆ
1.02y x a =+，则a =________.
14．已知()()()()12
33,33log 6,3,x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则的值为__________.
15．已知函数
)
sin(2)(ϕω+=x x f (其中
R ∈x ,0>ω,
πϕπ<<-)的部分图象如图所示,则函数()f x 的解析式
是 . 16．定义
(,)
n F A B 表示所有满足
{}
12,,,n A B a a a =⋅⋅⋅的集合,A B 组成的有序集合对
(,)A B 的个数．试探究12(,),(,),F A B F A B ⋅⋅⋅，并归纳推得(,)n F A B =_________.
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两 种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩．
（1）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请画出下面的22⨯列联表． （2
甲班
乙班 合计
7 7 3 2 8 4 2 2 1 0 9 8 7 7 6 8 8 7 7
9 8 7 6 5
0 1 5 6 8
0 1 2 5 6 6 8 9 1 3 5 5 7 8 9
甲 乙
优秀 不优秀 合计
下面临界值表仅供参考：
)(2k x P ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：
2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=
++++ 18．（本小题满分12分）已知命题p ：关于x 的不等式0422
>+-ax x 对一切R x ∈恒成立；
命题q ：函数
x
y a )24(log -=在),0(+∞上递减．若p q 为真，p q 为假，某某数a 的取值
X 围．
19.如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位
圆上两点，O 是坐标原点，且
6π
=
∠AOP ，
[)παα,0,∈=∠AOQ .
（1）若点Q 的坐标是34(,)55，求)
6cos(πα-的值；
（2）设函数()f OP OQ
α=⋅，求()αf 的值域．
20．（本小题满分12分）已知函数
c bx x x x f ++-
=2
321)(
（1）若)(x f 在),(+∞-∞上是增函数，求b 的取值X 围；
（2）若)(x f 在1=x 处取得极值，且[]2,1-∈x 时，2
)(c x f <恒成立，求c 的取值X 围．
21．已知：复数1cos () z b C a c i =++,
2(2)cos 4
z a c B i =-+,且
12
z z =，其中B 、C 为
△ABC 的内角，a 、b 、c 为角A 、B 、C 所对的边． （1）求角B 的大小；
(2) 若b =ABC 的面积．
22．已知函数()(e)(ln 1)f x x x =--(e 为自然对数的底数）． （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；
（2）若m 是()f x 的一个极值点，且点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 满足条件： 1212ln()ln ln 2
x x x x ⋅=⋅+.
（ⅰ）求m 的值；
（ⅱ）求证：点A ，B ，(,())P m f m 是三个不同的点，且构成直角三角形．
华安一中2013-2014学年下学期期末考
高二（文科）数学答题卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．14．
15．16．
三、解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）
18．（本小题满分12分）19．（本小题满分12分）20．（本小题满分12分）
华安一中2013-2014学年下学期期末考试 高二（文科）数学试题参考答案 一、选择题
1．D 2．B 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B 11．A 12．C 二、填空题 13．0.92 14．3
15．)322sin(2)(π+
=x x f
16．3n
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）（1）
…………………………………………6分
（2） =2
K 20202020)141466(402⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=024.5＞4.6……………………………………10分
因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. …………………12分 18．（12分）
解：命题p 为真，则有4a2－16＜0，解得－2＜a ＜2；…………………… 3分 命题q 为真，则有0＜4－2a ＜1，解得3
2＜a ＜2.…………………… 3分
由“p∨q 为真，p∧q 为假”可知p 和q 满足：
p 真q 真、p 假q 真、p 假q 假．…………………………………………6分 而当p 真q 假时，应有⎩
⎪⎨⎪
⎧
－2＜a ＜2，a≥2或，a ≤3
2，即－2＜a≤3
2
，
取其补集得a≤－2，或a ＞3
2
，………………………………………………10分
此即为当“p∨q 为真，p∧q 为假”时实数a 的取值X 围，故a∈(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞……12分
19. （12分）解（1）由已知可得
54
sin ,53cos =
=αα. ……………………2分 所以
6sin
sin 6
cos
cos )6
cos(π
απ
απ
α+=
-
341552
=+⨯=
…………6分 （2）
()f OP OQ α=⋅(cos ,sin )(cos ,sin )66ππαα=⋅ααsin 21
cos 23
+=sin()3π
α=+. 9分
因为[0,)απ∈，则4[,)
333π
ππ
α+
∈
，所以sin()13πα<+≤.
故()αf
的值域是(. ………………………………12分
20．（12分）
解：（1）
'2
()3f x x x b ……………………………………1分
因)(x f 在),(+∞-∞上是增函数，则f′(x)≥0，即3x2－x ＋b≥0， ∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．……………………3分 设g(x)＝x －3x2，当x ＝16时，g(x)max ＝112，∴b≥1
12
.…………6分
（2）由题意，知f′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b＝－2.…………7分
x∈[－1,2]时，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可 因f′(x)＝3x2－x －2，
令f′(x)＝0，得x ＝1，或x ＝－2
3
.
∵f(1)＝－32＋c ，f(－23)＝2227＋c ，f(－1)＝1
2＋c ，f(2)＝2＋c ，…………10分
∴f(x)max＝f(2)＝2＋c ，
∴2＋c ＜c2，解得c ＞2，或c ＜－1，……………………………………11分
所以c 的取值X 围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．……………………………………12分 21．（12分） 解：（1）∵
12
z z =∴cos (2)cos b C a c B =-----①,4a c +=----②
由①得2cos cos cos a B b C c B =+------③……………………………………3分 在△ABC 中,由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+
2sin cos sin()sin()sin A B B C A A π=+=-=
∵0A π<<∴sin 0A >∴
1cos 2B =
,∵0B π<<∴3B π
=
…………6分
(2)
∵b =由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-⇒22
8a c ac +-=,--④
由②得
22216
a c ac ++=-⑤
由
④
⑤
得
83
ac =
，∴
1
sin 2ABC S ac B ∆=
=
182323⨯⨯=. ……………………………12分
22．（14分）
解：（1）
e
()ln f x x x '=-
， ……………………………………2分
(1)e f '=-，又(1)e 1f =-， …………………………………………4分
所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(e 1)e(1)y x --=--，
即e 2e 10x y +-+=． …………………………5分
（2）（ⅰ）对于
e
()ln f x x x '=-
，定义域为(0,
)．
当0e x <<时，ln 1x <，e 1x -
<-，∴e ()ln 0
f x x x '=-<；
当e x =时，()110f x '=-=；
当e x >时，ln 1x >，e 1x -
>-，∴e
()ln 0
f x x x '=->， ………………8分
word
11 / 11 所以()f x 存在唯一的极值点e ，∴e m =，则点P 为(e,0)． …………………9分 （ⅱ）若
1e x =，则122ln ln 1x x x =+，122ln ln 2ln 2x x x ⋅+=+， 与条件1212ln ln ln 2
x x x x ⋅=⋅+不符，从而得1e x ． 同理可得2
e x ． ………………………………………………10分 若12
x x =，由1212ln ln ln 2x x x x ⋅=⋅+211(ln )2ln 20x x ⇒-+=，此方程无实数解， 从而得12x x ． ………………………………………………………11分 由上可得点A ，B ，P 两两不重合．
又1122(e,())(e,())PA PB x f x x f x ⋅=-⋅-
121212(e)(e)(e)(e)(ln 1)(ln 1)
x x x x x x =--+---- 121212(e)(e)(ln ln ln 2)x x x x x x =---+
0=
从而PA PB ⊥，点A ，B ，P 可构成直角三角形． …………………14分。