纯电阻、纯感与纯电容电路

第二节 纯电阻、纯电感与纯电容电路
教学内容：
主要讲三个问题：
1.纯电路电流与电压的相位关系
2..纯电路电流与电压的数量关系
3.纯电路的功率关系
教学方法：
采用作图分析法
教学课时：
2×45 min 。

目的要求：
使学生了解各种纯电路电流、电压的相位关系及功率关系。

重点难点：
重点：三大关系；难点：纯电感电路电流与电压的相位关系。

时间分配：
复习提问：5~10min ；讲课：45~50min ；课堂小结：5~10min ；作业练习：25~30min 。

上节内容提问：
1.交流电的三要素是什么？
2.什么是交流电初相角与相位差？
3.如何用矢量图来表正弦交流电？
一、纯电阻电路
白炽灯、电烙铁、电炉等。

如图1所示。

1.电流与电压的相位关系 设加在电阻两端的电压为
t U u m ωsin = （1）
根据欧姆定律可知，通过电阻的电流为
t I t R
U R u i m m
ωωsin sin ===
（2） 比较（1）、（2）两式可以看出，电流与电压是同相位的，其波形图与矢量图如图（2）所
示。

2.电流与电压的数量关系 从（2）式可得：
图 1
R
U I m
m =
两边都除以2：
R
U
I =
单位：A=V/Ω （3） 可见其数量关系符合欧姆定律。

3.功率关系
纯电阻电路的瞬时功率可表示为：
t IU IU t U I t U I iu p m
m m m ωωω2cos )2cos 1(2
sin 2-=-=
== 即 t IU IU p ω2cos -= （4）
其波形图如图（2）所示。

其实从电流电压同相位这一点，就能得到功率的波形图。

由图可知，每一瞬时的功率都为正，说明电阻元件始终从电源索取能量用来作功，是个耗能元件。

我们用一个周期内功率的平均值作为纯电阻电路的平均功率，也叫有功功率：
R
U R I IU P 2
2
=== （W ） （5）
“有功”的本质含义是消耗。

例：有一220V 、60W 的电灯，接在220V 的电源上，试求通过电灯的电流和电灯的电阻。

解：
A U P I 273.022060=== Ω===806273
.0220I U R
二、纯电感电路
电感线圈忽略其电阻，如图3所示。

1.电流与电压的相位关系 设通过电感线圈的电流为
t I i m ωsin = （6）
由法拉第感应定律有
dt
di L e L -= （7） 自感电势与电源的电压等值反向：
dt
di
L e u L =-= （8）
即电压与电流的变化率成正比。

由图4可知电流变化率的变化规律为：0~π/2、3π/2~2π区间内为正， π/2~π、π~3π/2区间内为负；在电流过零时最大，在电流为正、负最大值时为零。

根据这个规律画出电压的波形图如图4所示。

可见电压导前电流90°，矢
图 2
图3
量图也如图4所示。

2.电流与电压的数量关系 由式（8）得到
)
90sin(cos cos sin ︒+=====t U t U t L I t I dt d
L dt di L
u m m m m ωωωωω 可见电流与电压的数量关系为 L I U m m ω=
两边同除以2：
L I U ω=
令 fL L X L πω2==为感抗，单位为Ω 则 L
X U
I =
单位：A=V/Ω （9） 可见其数量关系也符合欧姆定律。

其中由感抗的表达式可知，对于电感线圈，交流电的频率越大，感抗越大，交流电流越不容易通过；频率越小，感抗越小，交流电流越容易通过。

如直流电流频率为零，则感抗也为零，相当于短路。

3.功率关系
其瞬时功率表达式为
t IU t t U I iu p m m ωωω2sin cos sin === （10）
其波形如图4所示。

在0~π/2、π~3π/2区间的功率为正，说明电感线圈将电源的电能以磁能的形式储存起来；在π/2~π、3π/2~2π区间的功率为负，说明电感线圈再将磁能转换成电能反馈给电源。

可见电感元件是个储能元件，其平均功率（有功功率）为零。

为了表达电感线圈能量转换的规模大小，我们用瞬时功率的最大值即无功功率表示。

L
L X U X I IU Q 2
2
=== 单位：var （11） “无功”的本质含义是转换。

例：有一电感线圈（R=0）接在220V 、50Hz 的交流电源上，通过的电流为5A 。

求线圈的电感量为多少？当频率为1000Hz 时通过的电流又为多少？
解：（1）Ω===
445
220
I U X L H X L L 14.050244=⨯=
=πω （2）Ω=⨯⨯=88014.010002πL X A X U I L 25.0880
220
===
三、纯电容电路
图4
电容元件忽略电阻，如图5所示。

1.电流与电压的相位关系 由电容量的定义式
U
Q C =
得：
CU Q =
对于交流电路有： Cu q =
即： Cdu idt = 因此电容器的充放电电流可表示为
dt
du
C i = （12） 即电流与电压的变化率成正比。

与纯电感电路的分析类似，结果是电流导前电压90°，其波形图与矢量图如图6所示。

2.电流与电压的数量关系 由式（12）知
)
2
sin()2
sin(sin π
ωπωωω+
=+==t I t C U t U dt d C
i m m m
得：C U I m m ω= 令：fC
C X C πω211== 为容抗 ，单位：Ω 则：
C
m
m X U I =
两边都除以2：
C X U I =
单位：Ω
=V
A （13） 可见其数量关系也符合欧姆定律。

从容抗的计算式可知，对于电容元件来说，频率越大，容抗越小，交流电流越容易通过；频率越小，其容抗越大，交流电流越不容易通过。

如直流电流的频率为零，其容抗值为无穷大，相当于开路。

3.功率关系
纯电容电路的瞬时功率表达式为
t IU t U I t t U I iu p m
m m m ωωωω2sin 2sin 2
cos sin ==
== （14） 图 5
图 6
与纯电感电路类似，在0~π/2、π ~3π/2区间的功率为正，说明电容将电源的电能以电场能的形式储存起来；在π/2~π、3π/2~2π区间的功率为负，说明电容再将电场能转换成电能反馈给电源。

可见电容也是储能元件，其平均功率（有功功率）也为零。

为了表达其能量转换的规模大小，也用瞬时功率的最大值即无功功率表示：
C
C X U X I IU Q 2
2
=== 单位：var （15） “无功”的本质含义也是转换，与纯电感电路类似。

例：有一只电容器接在220V 、50Hz 的交流电源上，测得电流为0.55A ，求电容量；如果改接在220V 、1000Hz 的交流电源上，求通过电容器的电流。

解： （1）Ω===
40055
.0220
I U X C F F fX C C μππ81084005021216=⨯=⨯⨯==
- （2）Ω=⨯⨯⨯=
-2010
8100021
6
πC X A X U I C 1120220=== 本节课小结：
纯电路的电流与电压的相位关系、数量关系及功率关系如表所列：
电路元件
相位关系
数量关系
功率关系
R
R
U I =
R
U R I IU P 2
2
===
单位：W
L
L
X U I =
fL L X L πω2== L
L X U X I IU Q 2
2
=== 单位：var
C
C
X U I =
fC
C X C πω211==
C
C X U X I IU Q 2
2
=== 单位：var
作业：教材P.64 习题3-6、3-7、3-9、3-10。