2023年高考数学一轮复习(新高考1) 第7章 §7
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可得P，A，B，C四点共面，故C正确； 若P，A，B，C为空间四点，
且有P→A＝λP→B＋μP→C(P→B，P→C不共线)， 当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ， 可得P→A－→C＝λ(P→B＋C→P)， 即C→A＝λC→B，
所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点 共线的充要条件，所以D正确.
M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
思维升华
用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向 量表示出来.
λ＋μ＝1 是 A，B，C 三点共线的充要条件
由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线， 反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确； 若A→B，C→D共线，则 AB∥CD 或 A，B，C，D 四点共线，所以 B 不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O， 若O→P＝34O→A＋18O→B＋18O→C， 因为34＋18＋18＝1，
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ___a_21＋__a_22_＋__a_23_·__b_21_＋__b_22＋__b_23_
4.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平 行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的 法向量. (3)空间位置关系的向量表示
__a_1＝__λ_b_1_，__a_2_＝_λ_b_2_，__a_3_＝__λ_b_3 _
垂直 模
a·b＝0 (a≠0，b≠0)
|a|
夹角余 弦值
cos〈a，b〉＝
a·b |a||b|
(a≠0，b≠0)
___a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_＝__0__
____a_21＋__a_22_＋__a_23 __
(2)判断点M是否在平面ABC内.
方法一 由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， 所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
方法二 因为O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C) ＝13O→A＋13O→B＋13O→C， 又因为13＋13＋13＝1，
所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内.
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( × )
(3)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c).
( √) (4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.( × )
教材改编题
1.若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量 的一个基底的是 A.{a，a＋b，a－b} B.{b，a＋b，a－b}
共面向量
平行于 同一个平面 的向量
2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 存在实数λ，使 a＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共 面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使p＝ xa＋yb . (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的 有序实数组(x，y，z)，使得p＝ xa＋yb＋zc ，{a，b，c}叫做空间的一个 基底.
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若A→B，C→D共线，则 AB∥CD
√C.A，B，C 三点不共线，对空间任意一点 O，若O→P＝34O→A＋18O→B＋18O→C，
则 P，A，B，C 四点共面
√D.若 P，A，B，C 为空间四点，且有P→A＝λP→B＋μP→C(P→B，P→C不共线)，则
例 2 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C). (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面；
由题知O→A＋O→B＋O→C＝3O→M，
所以O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， 所以M→A，M→B，M→C共面.
跟踪训练 1 (1)(2022·宁波模拟)如图，在三棱锥 O－ABC 中，点 P，Q
分别是 OA，BC 的中点，点 D 为线段 PQ 上一点，且P→D＝2D→Q，若记O→A
＝a，O→B＝b，O→C＝c，则O→D等于
√A.16a＋13b＋13c
B.13a＋13b＋13c
C.13a＋16b＋13c
D.13a＋13b＋16c
1 A.2
√B.1
3 C.2
D.2
A→F＝A→D＋D→F＝A→D＋12(—DD→1＋D—1→C1) ＝A→D＋12(—AA→1 ＋A—1→B1) ＝A→D＋12(—AA→1 ＋A→B) ＝A→D＋12A→B＋12—AA→1 ， 则 x＝1，y＝12，z＝12，则 x－y＋z＝1.
题型二 空间向量基本定理及其应用
∵l1⊥l2，∴a⊥b， ∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 空间向量的线性运算
例 1 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 设—AA→1 ＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1， BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)A→P；
第七章
考试要求
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能 用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置 关系的一些简单定理.
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分 别为n1，n2
l1∥l2 l1⊥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的 法向量为m，l⊄α
平面α，β的法向量分别为n，m
l∥α l⊥α α∥β α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0 n∥m⇔n＝λm(λ∈R) n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
(2)已知 A，B，C 三点不共线，点 O 为平面 ABC 外任意一点，若点 M 满 足O→M＝15O→A＋45O→B＋25B→C，则点 M___属__于___(填“属于”或“不属于”) 平面 ABC.
∵O→M＝15O→A＋45O→B＋52B→C＝15O→A＋45O→B＋25(O→C－O→B)＝15O→A＋25O→B＋52O→C， ∵15＋25＋25＝1， ∴M，A，B，C四点共面. 即点M∈平面ABC.
√C.{c，a＋b，a－b}
D.{a＋b，a－b，a＋2b}
∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面. ∴A，B，D不正确.
2.如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若 A→B＝a，A→D＝b，—AA→1 ＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是
√A.－12a＋12b＋c
教师备选
如图所示，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1，点 M，N 分别 在 AC1 和 BC 上，且满足A→M＝k—AC→1 ，B→N＝kB→C(0≤k≤1). 判断向量M→N是否与向量A→B，—AA→1 共面.
因为A→M＝k—AC→1 ，B→N＝kB→C， 所以M→N＝M→A＋A→B＋B→N ＝k—C1→A ＋A→B＋kB→C ＝k(—C1→A ＋B→C)＋A→B＝k(—C1→A ＋B—1→C1)＋A→B ＝k—B1→A ＋A→B ＝A→B－k—AB→1 ＝A→B－k(—AA→1 ＋A→B) ＝(1－k)A→B－k—AA→1 ， 所以由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，—AA→1 共面.
(3)M→P＋—NC→1 .
∵M是AA1的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12—A1→A ＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b) ＝12a＋12b＋c. 又—NC→1 ＝N→C＋—CC→1 ＝12B→C＋—AA→1 ＝12A→D＋—AA→1 ＝12c＋a.
∴M→P＋—NC→1 ＝12a＋12b＋c＋12c＋a ＝32a＋12b＋32c.
∵P是C1D1的中点， ∴A→P＝—AA→1 ＋—A1→P ＝—AA→1 ＋A—1→D1＋—D1→P
＝—AA→1 ＋A→D＋12D→C ＝a＋c＋12A→B ＝a＋c＋12b.
(2)—A1→N ；
∵N是BC的中点， ∴—A1→N ＝—A1→A ＋A→B＋B→N
＝－a＋b＋12B→C ＝－a＋b＋12A→D ＝－a＋b＋12c.
B.12a＋12b＋c
C.－12a－12b＋c
D.12a－12b＋c
由题意，根据向量运算的几何运算法则， B→M＝—BB→1 ＋—B1→M＝—AA→1 ＋12(A→D－A→B) ＝c＋12(b－a) ＝－12a＋12b＋c.
3.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2， 则m＝_1_0__.
教师备选
如图，在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC
的重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示O→G，则下列表示正确的是
A.14O→A＋12O→B＋13O→C
B.12O→A＋12O→B＋12O→C
√ C.－16O→A＋13O→B＋13O→C D.13O→A＋13O→B＋13O→C
O→D＝O→P＋P→D＝12O→A＋23P→Q ＝12O→A＋23(O→Q－O→P) ＝12O→A＋23O→Q－23O→P ＝12O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23×12O→A ＝16O→A＋13O→B＋13O→C ＝16a＋13b＋13c.
(2)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 F 是侧面 CDD1C1 的中心，若A→F＝ xA→D＋yA→B＋z—AA→1 ，则 x－y＋z 等于
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示
坐标表示
数量积
a·b
__a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3__
共线
a＝λb (b≠0，λ∈R)
思维升华
证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法 (1)M→P＝xM→A＋yM→B； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B； (3)对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A＋zO→B(x＋y＋z＝1)； (4)P→M∥A→B(或P→A∥M→B或P→B∥A→M).
跟踪训练2 (1)(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线 长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
n⊥m⇔n·m＝0
常用 结论
1.在平面中，A，B，C 三点共线的充要条件是：O→A＝xO→B＋yO→C (其中 x＋y＝1)，O 为平面内任意一点. 2.在空间中，P，A，B，C 四点共面的充要条件是：O→P＝xO→A＋
yO→B＋zO→C(其中 x＋y＋z＝1)，O 为空间中任意一点.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
知识梳理
1.空间向量的有关概念 名称
空间向量 相等向量 相反向量
定义 在空间中，具有 大小 和 方向 的量
方向 相同 且模相等 的向量 方向 相反 且模 相等 的向量
共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 平行 或 (或平行向量) 重合 的向量
且有P→A＝λP→B＋μP→C(P→B，P→C不共线)， 当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ， 可得P→A－→C＝λ(P→B＋C→P)， 即C→A＝λC→B，
所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点 共线的充要条件，所以D正确.
M→G＝M→A＋A→G＝12O→A＋23A→N＝12O→A＋23(O→N－O→A) ＝12O→A＋2312O→B＋O→C－O→A ＝－16O→A＋13O→B＋13O→C. O→G＝O→M＋M→G＝12O→A－16O→A＋13O→B＋13O→C＝13O→A＋13O→B＋13O→C.
思维升华
用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形. (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向 量表示出来.
λ＋μ＝1 是 A，B，C 三点共线的充要条件
由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线， 反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确； 若A→B，C→D共线，则 AB∥CD 或 A，B，C，D 四点共线，所以 B 不正确；
由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O， 若O→P＝34O→A＋18O→B＋18O→C， 因为34＋18＋18＝1，
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ___a_21＋__a_22_＋__a_23_·__b_21_＋__b_22＋__b_23_
4.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平 行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的 法向量. (3)空间位置关系的向量表示
__a_1＝__λ_b_1_，__a_2_＝_λ_b_2_，__a_3_＝__λ_b_3 _
垂直 模
a·b＝0 (a≠0，b≠0)
|a|
夹角余 弦值
cos〈a，b〉＝
a·b |a||b|
(a≠0，b≠0)
___a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_＝__0__
____a_21＋__a_22_＋__a_23 __
(2)判断点M是否在平面ABC内.
方法一 由(1)知，M→A，M→B，M→C共面且基线过同一点 M， 所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.
方法二 因为O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C) ＝13O→A＋13O→B＋13O→C， 又因为13＋13＋13＝1，
所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内.
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( × )
(3)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0，b，c).
( √) (4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.( × )
教材改编题
1.若{a，b，c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量 的一个基底的是 A.{a，a＋b，a－b} B.{b，a＋b，a－b}
共面向量
平行于 同一个平面 的向量
2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是 存在实数λ，使 a＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共 面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使p＝ xa＋yb . (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的 有序实数组(x，y，z)，使得p＝ xa＋yb＋zc ，{a，b，c}叫做空间的一个 基底.
A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件
B.若A→B，C→D共线，则 AB∥CD
√C.A，B，C 三点不共线，对空间任意一点 O，若O→P＝34O→A＋18O→B＋18O→C，
则 P，A，B，C 四点共面
√D.若 P，A，B，C 为空间四点，且有P→A＝λP→B＋μP→C(P→B，P→C不共线)，则
例 2 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满足O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C). (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面；
由题知O→A＋O→B＋O→C＝3O→M，
所以O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， 所以M→A，M→B，M→C共面.
跟踪训练 1 (1)(2022·宁波模拟)如图，在三棱锥 O－ABC 中，点 P，Q
分别是 OA，BC 的中点，点 D 为线段 PQ 上一点，且P→D＝2D→Q，若记O→A
＝a，O→B＝b，O→C＝c，则O→D等于
√A.16a＋13b＋13c
B.13a＋13b＋13c
C.13a＋16b＋13c
D.13a＋13b＋16c
1 A.2
√B.1
3 C.2
D.2
A→F＝A→D＋D→F＝A→D＋12(—DD→1＋D—1→C1) ＝A→D＋12(—AA→1 ＋A—1→B1) ＝A→D＋12(—AA→1 ＋A→B) ＝A→D＋12A→B＋12—AA→1 ， 则 x＝1，y＝12，z＝12，则 x－y＋z＝1.
题型二 空间向量基本定理及其应用
∵l1⊥l2，∴a⊥b， ∴a·b＝－6－4＋m＝0，∴m＝10.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 空间向量的线性运算
例 1 如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 设—AA→1 ＝a，A→B＝b，A→D＝c，M，N，P 分别是 AA1， BC，C1D1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量： (1)A→P；
第七章
考试要求
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能 用向量的数量积判断向量的共线和垂直.
3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置 关系的一些简单定理.
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分 别为n1，n2
l1∥l2 l1⊥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R) n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的 法向量为m，l⊄α
平面α，β的法向量分别为n，m
l∥α l⊥α α∥β α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0 n∥m⇔n＝λm(λ∈R) n∥m⇔n＝λm(λ∈R)
(2)已知 A，B，C 三点不共线，点 O 为平面 ABC 外任意一点，若点 M 满 足O→M＝15O→A＋45O→B＋25B→C，则点 M___属__于___(填“属于”或“不属于”) 平面 ABC.
∵O→M＝15O→A＋45O→B＋52B→C＝15O→A＋45O→B＋25(O→C－O→B)＝15O→A＋25O→B＋52O→C， ∵15＋25＋25＝1， ∴M，A，B，C四点共面. 即点M∈平面ABC.
√C.{c，a＋b，a－b}
D.{a＋b，a－b，a＋2b}
∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面. ∴A，B，D不正确.
2.如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若 A→B＝a，A→D＝b，—AA→1 ＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是
√A.－12a＋12b＋c
教师备选
如图所示，已知斜三棱柱 ABC－A1B1C1，点 M，N 分别 在 AC1 和 BC 上，且满足A→M＝k—AC→1 ，B→N＝kB→C(0≤k≤1). 判断向量M→N是否与向量A→B，—AA→1 共面.
因为A→M＝k—AC→1 ，B→N＝kB→C， 所以M→N＝M→A＋A→B＋B→N ＝k—C1→A ＋A→B＋kB→C ＝k(—C1→A ＋B→C)＋A→B＝k(—C1→A ＋B—1→C1)＋A→B ＝k—B1→A ＋A→B ＝A→B－k—AB→1 ＝A→B－k(—AA→1 ＋A→B) ＝(1－k)A→B－k—AA→1 ， 所以由共面向量定理知向量M→N与向量A→B，—AA→1 共面.
(3)M→P＋—NC→1 .
∵M是AA1的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12—A1→A ＋A→P ＝－12a＋(a＋c＋12b) ＝12a＋12b＋c. 又—NC→1 ＝N→C＋—CC→1 ＝12B→C＋—AA→1 ＝12A→D＋—AA→1 ＝12c＋a.
∴M→P＋—NC→1 ＝12a＋12b＋c＋12c＋a ＝32a＋12b＋32c.
∵P是C1D1的中点， ∴A→P＝—AA→1 ＋—A1→P ＝—AA→1 ＋A—1→D1＋—D1→P
＝—AA→1 ＋A→D＋12D→C ＝a＋c＋12A→B ＝a＋c＋12b.
(2)—A1→N ；
∵N是BC的中点， ∴—A1→N ＝—A1→A ＋A→B＋B→N
＝－a＋b＋12B→C ＝－a＋b＋12A→D ＝－a＋b＋12c.
B.12a＋12b＋c
C.－12a－12b＋c
D.12a－12b＋c
由题意，根据向量运算的几何运算法则， B→M＝—BB→1 ＋—B1→M＝—AA→1 ＋12(A→D－A→B) ＝c＋12(b－a) ＝－12a＋12b＋c.
3.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2， 则m＝_1_0__.
教师备选
如图，在三棱锥 O－ABC 中，M，N 分别是 OA，BC 的中点，G 是△ABC
的重心，用基向量O→A，O→B，O→C表示O→G，则下列表示正确的是
A.14O→A＋12O→B＋13O→C
B.12O→A＋12O→B＋12O→C
√ C.－16O→A＋13O→B＋13O→C D.13O→A＋13O→B＋13O→C
O→D＝O→P＋P→D＝12O→A＋23P→Q ＝12O→A＋23(O→Q－O→P) ＝12O→A＋23O→Q－23O→P ＝12O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23×12O→A ＝16O→A＋13O→B＋13O→C ＝16a＋13b＋13c.
(2)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 F 是侧面 CDD1C1 的中心，若A→F＝ xA→D＋yA→B＋z—AA→1 ，则 x－y＋z 等于
3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉.
(2)空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示
坐标表示
数量积
a·b
__a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3__
共线
a＝λb (b≠0，λ∈R)
思维升华
证明空间四点 P，M，A，B 共面的方法 (1)M→P＝xM→A＋yM→B； (2)对空间任一点 O，O→P＝O→M＋xM→A＋yM→B； (3)对空间任一点 O，O→P＝xO→M＋yO→A＋zO→B(x＋y＋z＝1)； (4)P→M∥A→B(或P→A∥M→B或P→B∥A→M).
跟踪训练2 (1)(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是
题型三 空间向量数量积及其应用
例3 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线 长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
n⊥m⇔n·m＝0
常用 结论
1.在平面中，A，B，C 三点共线的充要条件是：O→A＝xO→B＋yO→C (其中 x＋y＝1)，O 为平面内任意一点. 2.在空间中，P，A，B，C 四点共面的充要条件是：O→P＝xO→A＋
yO→B＋zO→C(其中 x＋y＋z＝1)，O 为空间中任意一点.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
落实主干知识 探究核心题型
课时精练
LUOSHIZHUGANZHISHI
落实主干知识
知识梳理
1.空间向量的有关概念 名称
空间向量 相等向量 相反向量
定义 在空间中，具有 大小 和 方向 的量
方向 相同 且模相等 的向量 方向 相反 且模 相等 的向量
共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 平行 或 (或平行向量) 重合 的向量