【优化方案】2012高中数学 第4章4.4知能优化训练 湘教版选修1-2

1．下列变量之间的关系不具有相关关系的是( )
A ．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，其中a 、b 是已知常数，取b 为自变量，因变量是这个函数
对应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2
－4ac B ．光照时间和果树每公顷产量 C ．降雪量和交通事故发生率
D ．每公顷用肥料量和粮食每公顷产量
解析：选A.自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫作相关关系，从而易知B 、C 、D 表示的关系均为相关关系，故选A.
2．设有一个线性回归方程为y ＝3－2x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加2个单位 B ．y 平均减少3个单位 C ．y 平均减少2个单位 D ．y 平均增加3个单位 解析：选C.变量x 的系数表示线性回归方程的斜率． 3．对于线性相关系数r ，叙述正确的是( )
A ．|r xy |∈(0，＋∞)，|r xy |越大，相关程度越高，反之，相关程度越低
B ．r xy ∈(－∞，＋∞)，r xy 越大，相关程度越高，反之，相关程度越低
C ．|r xy |≤1且|r xy |越接近于1，相关程度越高；|r xy |越接近于0，相关程度越低
D ．以上说法都不对
解析：选C.由相关系数的性质知r xy ∈[－1,1]，排除A 、B ；又|r xy |越接近于1，相关程度越高，|r xy |越接近于0，相关程度越低，故选C.
4．为了对学业水平测试成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位．他们的物理，化学分数如下：
物理x 72 77 80 84 88 90 93 95 化学y 67 72 76 80 84 87 90 92
若用变量x ，y 分别记作物理成绩和化学成绩，则x 、y 之间的线性相关系数r xy 为________．
(参考数据：x ≈85，y ＝81，∑i ＝1
8
(x i －x )2
≈457，∑i ＝1
8
(y i －y )2
≈550，∑i ＝1
8
(x i －x )(y i －
y )≈501，457≈21.4，550≈23.5)
解析：r xy ＝
∑i ＝1
8
x i －x
y i －y
∑i ＝1
8
x i －x
2
∑i ＝1
8
y i －y
2
≈
501457×550
＝
501
21.4×23.5≈0.996.
答案：0.996
一、选择题
1．对于回归分析，下列说法错误的是( )
A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B ．线性相关系数可以是正的或负的
C ．回归分析中，如果r xy ＝0，称两个变量线性不相关
D ．样本相关系数r xy ∈(－1,1)
解析：选D.由相关系数的计算公式可知|r xy |≤1，D 错误．
2．由一组数据(x 1，y 1)、(x 2、y 2)、…、(x n ，y n )得到的线性回归方程为y ＝a ＋bx ，则下列说法正确的是( )
A ．直线y ＝a ＋bx 必过点(x ，y )
B ．直线y ＝a ＋bx 至少经过点(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(x n ，y n )中的一点
C ．直线y ＝a ＋bx 是由(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(x n ，y n )中的两点确定的
D ．(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(x n ，y n )这n 个点到直线y ＝a ＋bx 的距离之和最小
解析：选A.正确理解线性回归方程的含义，所求的线性回归方程并不一定要经过这n 个样本点中的某些点，而是这n 个点到直线的距离的平方和最小．即用最小二乘法求出回归直线方程中a ，b 的值，由于a ＝y －b x ，即y ＝a ＋b x ，由此可以看出(x ，y )适合回归直线方程y ＝a ＋bx ，所以直线y ＝a ＋bx 必过点(x ，y )．
3．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元) 49 26 39 54
根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
解析：选B.由表可计算x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，因为点(7
2
，42)在回
归直线y ＝bx ＋a 上，且b 为9.4，所以42＝9.4×7
2
＋a ，解得a ＝9.1，
故回归方程为y ＝9.4x ＋9.1，令x ＝6得y ＝65.5，选B.
4．对变量x 、y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图①，对变量u 、v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断( )
A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关
B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关
D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
解析：选C.在图①中，所有点都在一条直线的附近，且直线的斜率为负值，所以变量x 与y 负相关；同理，变量u 与v 正相关，故选C.
5．工人月工资y (元)以劳动生产率x (千元)变化的回归方程为y ＝500＋80x ，则下列判断正确的是( )
A ．劳动生产率为1000元时，月工资为80元
B ．劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高80元
C ．劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高580元
D ．月工资为660元时，劳动生产率为2000元
解析：选B.回归方程是通过一定的数学方程来反映变量之间的相关关系，以便从一个已知量来推测另一个未知量．线性回归方程y ＝a ＋bx 中的回归系数b 表示直线的斜率，其含义是当自变量x 每增加一个单位时，因变量y 的平均增加值．
y ＝500＋80x 中的回归系数80表示劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高80元，故选B.
6．某工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现
取8对观察值．计算得∑i ＝1
8
x i ＝52，∑i ＝1
8
y i ＝228，∑i ＝1
8
x 2
i ＝478，∑i ＝1
8
x i y i ＝1849，则y 对x 的线性回归
方程为( )
A ．y ＝11.47＋2.62x
B ．y ＝－11.47＋2.62x
C ．y ＝2.62＋11.47x
D ．y ＝11.47－2.62x
解析：选 A.由已知条件得x ＝6.5，y ＝28.5，代入公式b ＝
∑i ＝18
x i y i －8x －y
－
∑i ＝1
8
x 2i －8x 2
＝
1849－8×6.5×28.5
478－8×6.5
2
≈2.62， a ＝y －b x ＝28.5－2.62×6.5＝11.47，
∴回归直线方程为y ＝11.47＋2.62x . 二、填空题
7．下表是某厂1～4
由其散点图可知，用水量y y ＝－0.7x ＋a ，则a ＝________. 解析：x ＝2.5，y ＝3.5，
b ＝－0.7，∴a ＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.
答案：5.25
8．一唱片公司欲知唱片费用x (十万元)与唱片销售量y (千X)之间的关系，从其所发行的唱片
中随机抽选了10X ，得如下的资料：∑10
i ＝1x i ＝28，∑10
i ＝1x 2
i ＝303.4，∑10
i ＝1y i ＝75，∑10
i ＝1y 2
i ＝598.5，∑10
i ＝1x i y i
＝237，则y 与x 的相关系数r xy 的绝对值为________．
解析：r xy ＝s xy s x s y ＝∑10
i ＝1
x i y i －10x － y －
∑10i ＝1x 2i －10x 2∑10
i ＝1y 2i －10y 2
＝
237－10×2.8×7.5
303.4－10×2.82598.5－10×7.52
＝0.3. 答案：0.3
9．(2011年某某高二检测)某单位为了了解用电量y 度与气温x °C 之间的关系，随机统计了某
4时，用电量的度数约为________．
解析：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝－2，a ＝60，所以当气温为－4 °C 时，用电量的度数约为68. 答案：68 三、解答题
10．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断交通事故数与机动车辆数是否有线性相关关系.
机动车辆
数x /千台 95
110 112 120 129 135 150 180 交通事故
数y /千件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13.0
解：将数据列成下表：
i x i y i x 2i
y 2i
x i y i
1 95 6.
2 9025 38.44 589.0 2 110 7.5 12100 56.25 825.0
3 112 7.7 1254
4 59.29 862.4 4 120 8.
5 14400 72.25 1020.0 5 129 8.7 16641 75.69 1122.3
6 135 9.8 18225 96.04 1323.0
7 150 10.2 22500 104.04 1530.0
8 180 13.0 32400 169.00 2340.0 ∑
1031 71.6
137835
671.00
9611.7
由此可得x ＝128.875，y ＝8.95.进而求得
r xy ＝s xy
s x s y
＝
∑8
i ＝1
x i y i －8x － y －
∑8
i ＝1
x 2
i －8x
－2∑8
i ＝1
y 2
i －8y
－2
＝
9611.7－8×128.875×8.95
137835－8×128.8752
×671.00－8×8.952
≈0.9927.
所以交通事故y 和机动车辆数x 是高度相关的．
11．某厂的生产原料耗费x (单位：百万元)与销售额y (单位：百万元)之间有如下的对应关系：
x 2 4 6 8 y 30 40 50 70
(1)x 与y 之间是否具有线性相关关系？若有，求其线性回归方程； (2)若实际销售额不少于50百万元，则原料耗费应该不少于多少？
解：(1)画出(x ，y )的散点图，如图所示，由图可知x ，y 呈现线性相关关系．
x ＝5，y ＝47.5，∑4
i ＝1x 2
i ＝120， ∑4
i ＝1
y 2
i ＝9900，∑4
i ＝1
x i y i ＝1080， ∴r xy ＝
s xy
s x s y
＝∑4
i ＝1
x i y i －4x － y －
∑4
i ＝1
x 2i －4 x
2
∑4
i ＝1
y 2i －4 y －2
＝
1080－4×5×47.5
120－4×52
9900－4×47.5
2
≈0.9827.
故x 与y 之间存在线性相关关系． 由公式得回归系数
b ＝s xy s 2x ＝∑4
i ＝1x i y i －4x － y －
∑4i ＝1
x 2i －4x 2
＝1080－4×5×47.5
120－4×52
＝6.5， a ＝y －b x ＝47.5－6.5×5＝15.
故y 对x 的回归直线方程为y ＝6.5x ＋15.
(2)由回归直线方程知，当y ≥50，
即6.5x ＋15≥50时，x ≥35
6.5
≈5.38.
故原料耗费应不少于5.38百万元．
12．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，故必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼时间y (从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如表所示： x (0.01%) 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y (分钟) 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 (1)作出散点图，你能从散点图中发现含碳量与冶炼时间的一般规律吗？ (2)求线性回归方程；
(3)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？
解：(1)以x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作散点图如图所示：
从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即它们线性相关． (2)将数据列表如下：i x i y i x 2i
x i y i
1 104 100 10816 10400
2 180 200 32400 36000
3 190 210 36100 39900
4 177 18
5 31329 32745 5 147 155 21609 22785
6 134 135 17956 18090
7 150 170 22500 25500
8 191 205 36481 39155
9 204 235 41616 47940 10 121 125 14641 15125 ∑
1598 1720
265448
287640
由此可得x ＝
159810＝159.8，y ＝10
＝172.
b ＝s xy s 2x ＝
∑i ＝110
x i y i －10x －y
－
∑i ＝1
10
x 2i －10x 2
≈1.267，a ＝y －b x ≈－30.47.
即所求的线性回归方程为y ＝1.267x －30.47.
(3)当x ＝160时，y ＝1.267×160－30.47≈172(分钟)， 即大约冶炼172分钟．。