2024-2025学年福建省部分学校高三(上)一轮复习数学试卷(三)(含答案)

2024-2025学年福建省部分学校高三（上）一轮复习数学试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−3<x <2}，B ={x|0⩽x ⩽4}，则A ∪B =( ) A. (0,2)
B. (−3,0]
C. [0,2)
D. (−3,4]
2.已知命题p ：∀x >1，x 2−2x +1>0，则p 的否定为( ) A. ∀x >1，x 2−2x +1≤0 B. ∃x ≤1，x 2−2x +1≤0 C. ∃x >1，x 2−2x +1≤0
D. ∀x ≤1，x 2−2x +1>0
3.复数z 满足(1−i)z =|2i|，则复数z 的虚部为( ) A. −1
B. −1
2
C. 12
D. 1
4.已知平面向量a ⃗ =(1,2),b ⃗ =(2,m),a ⃗ //b ⃗ ，则m =( ) A. −4
B. −1
C. 1
D. 4
5.已知函数f(x)={x 2+2,x <1,1−f(x −2),x ⩾1,则f(2)=( )
A. −2
B. −1
C. 1
D. 4
6.已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1+a 2+a 12=12，b 1b 3b 11=27，则a
5
1+b 5
=( )
A. 3
5
B. 3
4
C. 1
D. 5
3
7.已知x >0，y >0，且x +y =5，若4x+1+1
y+2
⩾2m +1恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A. (−∞,2
5
]
B. (−∞,
116
] C. (−∞,12
] D. (−∞,4]
8.已知点(m,n)为函数f(x)=x 2e x 和g(x)=e 2(2−lnx)图象的交点，则m +lnm =( ) A. −2
B. −1
C. 1
D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列各式计算结果为1
2的有( ) A. 2sin15°cos15° B. 1−2sin 2π
12 C. cos 275°−sin 275°
D.
tan85°−tan40°
2(1+tan85∘⋅tan40∘)
10.在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =π
3,AA 1=2,P,Q 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过直线PQ 的平面α分别与棱BB 1，DD 1交于点E ，F ，则下列说法正确的是( )
A. 四边形PEQF 为矩形
B. BE =D 1F
C. 四边形PEQF 面积的最小值为8
D. 四棱锥C 1−PEQF 的体积为定值
11.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x +2)+f(x)=0，当x ∈[0,2]时，f(x)=√ 2x −x 2，则下列说法正确的是( ) A. f(2024)=1
B. 函数f(x)的图像关于直线x =1对称
C. 定义在R 上的函数g(x)满足g(x)=−g(4−x)，若曲线y =f(x)与y =g(x)恰有2025个交点(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，⋯，(x 2025,y 2025)，则∑(2025i=1x i +y i )=4050
D. 当实数k ∈(−
√ 6
6
,−√ 510)∪(√ 510,
√ 6
6
)时，关于x 的方程|f(x)|+f(|x|)=kx 恰有四个不同的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数f(x)=f′(π6)cosx −sinx ，则f(π
3)= ______． 13.已知球O 的半径为√ 19
2
,A,B,C 三点均在球面上，∠ABC =π
4
,AB =3,BC =2√ 2，则三棱锥O −ABC 的体积
是______．
14.已知函数f(x)={3x,0⩽x ⩽1,lnx,x >1,若存在实数x 1，x 2满足0⩽x 1<x 2，且f(x 1)=f(x 2)，则x 2−9x 1的取
值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且√ 3asinB +bcosA =a +c ，b =4，△ABC 的面积为4√ 3． (1)求B ；
(2)D 为AC 边上一点，满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求BD 的长． 16.(本小题15分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2且S n+1=2S n +2(n ∈N ∗)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n =(2n +1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 17.(本小题15分)
如图，在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，AD ⊥CD ，AA 1⊥平面ABCD ，DA =DC =DD 1=2BC =2，E 为C 1D 1的中点．
(1)设平面BCE与平面A1B1C1D1的交线为l，求证：BC//l；
(2)求平面ABB1A1与平面BCE夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=(lnx+a)x2−1
,a∈R．
2
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若不等式f(x)⩾2lnx恒成立，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
对于数列A：a1，a2，…，a n(n≥3)，定义变换T，T将数列A变换成数列T(A)：a2，a3，…，a n，a1，记T1(A)=T(A)，T m(A)=T(T m−1(A))，m≥2．
对于数列A：a1，a2，…，a n与B：b1，b2，…，b n，定义A⋅B=a1b1+a2b2+⋯+a n b n．
若数列A：a1，a2，…，a n(n≥3)满足a i∈{−1,1}(i=1，2，…，n)，则称数列A为ℜn数列．
(1)若A：−1，−1，1，−1，1，1，写出T(A)，并求A⋅T2(A)；
(2)对于任意给定的正整数n(n≥3)，是否存在ℜn数列A，使得A⋅T(A)=n−3？若存在，写出一个数列A，若不存在，说明理由；
(3)若ℜn数列A满足T k(A)⋅T k+1(A)=n−4(k=1,2,…,n−2)，求数列A的个数．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】BD
11.【答案】BCD
12.【答案】−2√ 3
3
13.【答案】3
2
14.【答案】[3−3ln3,e3−9]
15.【答案】解：(1)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且√ 3asinB+bcosA=a+c，b=4，
因为√ 3asinB+bcosA=a+c，根据正弦定理a
sinA =b
sinB
=c
sinC
=2R可得：
√ 3sinAsinB+sinBcosA=sinA+sinC，
又C=π−(A+B)，所以√ 3sinAsinB+sinBcosA=sinA+sin(A+B)，所以√ 3sinAsinB+sinBcosA=sinA+sinAcosB+cosAsinB
⇒√ 3sinAsinB=sinA+sinAcosB，
因为A为三角形内角，故sinA≠0，所以√ 3sinB=1+cosB⇒sin(B−π
6)=1
2
，
因为B是三角形内角，所以B−π
6=π
6
，所以B=π
3
；
(2)如图：
△ABC 的面积为4√ 3，D 为AC 边上一点，满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为S △ABC =12acsinB =√ 34ac =4√ 3，所以ac =16，
由余弦定理：b 2=a 2+c 2−2accosB ⇒a 2+c 2=32， 所以a =c =4，
所以△ABC 为等边三角形， 又AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AD =43
， 在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos π
3=16+169
−2×
163×1
2
=16×7
9，
所以BD =
4√ 73
． 16.【答案】解：(1)因为a 1=2且S n+1=2S n +2，
n =1时，S 2=a 1+a 2=2a 1+2，可得a 2=a 1+2=4， 当n ≥2时，S n =2S n−1+2， 作差可得a n+1=2a n ，且a 2=2a 1，
所以数列{a n }是首项为2，公比也为2的等比数列， 所以a n =2×2n−1=2n ．
(2)因为b n =(2n +1)a n =(2n +1)⋅2n ，
所以T n =3⋅21+5⋅22+7⋅23+⋯+(2n +1)⋅2n ， 则2T n =3⋅22+5⋅23+⋯+(2n −1)⋅2n +(2n +1)⋅2n+1， 两式相减得−T n =3⋅21+2⋅22+2⋅23+⋯+2⋅2n −(2n +1)⋅2n+1 =6+
8(1−2n−1)
1−2
−(2n +1)⋅2n+1=−2−(2n −1)⋅2n+1，
因此，T n =(2n −1)⋅2n+1+2．
17.【答案】解：(1)证明：在四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为直角梯形，
AD//BC ，AD ⊥CD ，AA 1⊥平面ABCD ，DA =DC =DD 1=2BC =2，E 为C 1D 1的中点． ∴平面ABCD//平面A 1B 1C 1D 1，
∵平面BCE ∩平面ABCD =BC ，平面BCE ∩平面A 1B 1C 1D 1=l ， ∴BC//l ．
(2)由题意可知：AD ⊥CD ，DD 1⊥平面ABCD ，
以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，A 1(2,0,2)， D 1(0,0,2)，C 1(0,2,2)，E(0,1,2)，
∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,2)， 设平面ABB 1A 1的法向量为n ⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{
n
⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1+2y 1=0n
⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2z 1=0，令x 1=2，得n
⃗ =(2,1,0)， 设平面BCE 的法向量m ⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{
m ⃗⃗⃗ ⋅CB
⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2=0m
⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y 2+2z 2=0，令y 2=2，得m
⃗⃗ =(0,2,1)， 则cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=n
⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |
=2
√ 5×√ 5
2
5，
∴平面ABB 1A 1与平面BCE 夹角的余弦值为2
5．
18.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=(lnx +1)x 2−1
2，函数的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=1
x ⋅x 2+(lnx +1)⋅2x =2xlnx +3x ，则f′(1)=3， 又f(1)=12，
则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −12
=3(x −1)，即6x −2y −5=0． (2)由f(x)≥2lnx ，即(lnx +a)x 2−1
2≥2lnx ，x >0， 整理得，a ≥2lnx x 2−lnx +1
2x 2，
即不等式a ≥2lnx x 2
−lnx +1
2x 2对于x ∈(0,+∞)恒成立，
设g(x)=2lnx x 2
−lnx +
1
2x 2，x >0，
则g′(x)=
2−4lnx x 3
−1
x −1
x 3=
1−x 2−4lnx
x 3
， 当x >1时，1−x 2<0，−4lnx <0，则g′(x)<0，
当0<x<1时，1−x2>0，−4lnx>0，则g′(x)>0；所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以g(x)max=g(1)=1
2，则a≥1
2
，
即实数a的取值范围为[1
2
,+∞)．
19.【答案】解：(1)由A：−1，−1，1，−1，1，1，可得T(A)：−1，1，−1，1，1，−1；T2(A)：1，−1，1，1，−1，−1；
所以A⋅T2(A)=−1+1+1−1−1−1=−2；
(2)因为A⋅T(A)=a1a2+a2a3+⋯+a n a1，
由数列A为ℜn数列，所以a i∈{−1,1}(i=1，2，…，n)，
对于数列A：a1，a2，…，a n中相邻的两项a i，a i+1(i=1,2,…,n)，
令a n+1=a1，若a i=a i+1，则a i a i+1=1，若a i≠a i+1，则a i a i+1=−1，
记a i a i+1(i=1,2,…,n)中有t个−1，有n−t个1，
则A⋅T(A)=n−2t，
因为n−2t与n的奇偶性相同，而n−3与n的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列A；
(3)首先证明A⋅T(A)=T k(A)⋅T k+1(A)(k=1,2,…,n−2)，
对于数列A：a1，a2，…，a n，有T(A)：a2，a3，…，a n，a1，
T k(A)：a k+1，a k+2，…，a n−1，a n，a1，a2，…，a k−1，a k，
T k+1(A)：a k+2，a k+3，…，a n−1，a n，a1，a2，…，a k，a k+1，
所以T k(A)⋅T k+1(A)=a k+1a k+2+a k+2a k+3+⋯+a n a1+a1a2+a2a3+⋯+a k a k+1，
故A⋅T(A)=T k(A)⋅T k+1(A)(k=1,2,…,n−2)，
故A⋅T(A)=n−4．
其次，由数列A为ℜn数数列可知，A⋅T(A)=n−2t=n−4，
解得t=2，
这说明数列A中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列A中−1的个数为个，此时数列A有n个，
所以数列A的个数为n(n−1)个．。