2022年北京永乐第二中学高三数学理模拟试题含解析

2021-2022学年北京永乐第二中学高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （09年湖北鄂州5月模拟理）设＝(2，－3)，＝(－4，3)，＝(5，6)，则(＋3)·等于
A．(－50，36) B．－12 C．0 D．－14
参考答案：
D
2. 已知且对任意m,n都有
⑴=1;⑵;⑶.给出下列三个结论：
①②③.其中正确的个数是……………………………………………………………………… ( )
A 3个
B 2个
C 1个
D 0个
参考答案：
A
3. 命题：“”的否定是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
4. 下列命题中的假命题是
A．，B．，
C．，D．，
参考答案：
B
5. 有下列命题：
①设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；
②命题“若a∈M，则b?M”的逆否命题是：若b∈M，则a?M；③若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；
④命题P：“”的否定￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”
则上述命题中为真命题的是（）
A．①②③④B．①③④C．②④D．②③④
参考答案：
C
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】本题考查的知识点是，判断命题真假．
（1）考查了集合间的关系，在集合M中任取一个x值，看其是否在集合N中，反之，在集合N中任取一个x值，判断其是否又在集合M中；
（2）考查命题的逆否命题，把原命题的结论取否定作为条件，条件取否定作为结论；
（3）考查复合命题的真假判断，两个命题中只要有一个假命题，则p∧q为假命题；
（4）考查特称命题的否定，注意特称命题的否定全称命题的格式．
【解答】解：对于①，a在集合M中取值为3，但3不在集合N中，有a∈M，但a?N，所以“a∈M”是“a∈N”的不充分条件，所以①不正确；
对于②，把原命题的结论取否定作为条件，条件取否定作为结论，所以，命题“若a∈M，则b?M”的逆否命题是：若b∈M，则a?M，所以命题②正确；
对于③，假若p，q中有一个为真命题，则p∧q也是假命题，所以，命题③不正确；
对于④，特称命题的否定是全称命题，所以命题P：“”的否定￢P：
“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”正确．
故选C．
6. （5分）（2013?肇庆一模）在实数集R中定义一种运算“⊕”，具有性质：
①对任意a，b∈R，a⊕b=b⊕a；
②对任意a∈R，a⊕0=a；
③对任意a，b，c∈R，（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（b⊕c）﹣2c．
函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为（）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
参考答案：
B
【考点】：进行简单的合情推理；函数的值域．
【专题】：计算题；新定义．
【分析】：根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊕）⊕0=1+x+，利用基本不等式求最值可
得x+≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．
【解答】：解：根据题意，得
f（x）=x⊕=（x⊕）⊕0=0⊕（x?）+（x⊕0）+（⊕0 ）﹣2×0=1+x+
即f（x）=1+x+
∵x＞0，可得x+≥2，当且仅当x==1，即x=1时等号成立
∴1+x+≥2+1=3，可得函数f（x）=x⊕（x＞0）的最小值为f（1）=3
故选：B
【点评】：本题给出新定义，求函数f（x）的最小值．着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识，属于中档题．
7. 已知向量，其中的夹角是（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. 执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为( )
A．3 B．126 C．127 D．128
参考答案：
C
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
解答：解：当输出的x=2时，执行循环体后，x=3，不满足退出循环的条件，
当x=3时，执行循环体后，x=7，不满足退出循环的条件，
当x=7时，执行循环体后，x=127，满足退出循环的条件，
故输出的x值为127
故选：C
点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．
9. 设集合，则等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
A
10. 函数的部分图象大致为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
先根据函数的奇偶性的定义得到f（x）为偶函数，再根据极限可得当x，即得解．【详解】函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∵f（﹣x）==f（x），
∴f（x）为偶函数，
∴f（x）的图象关于y轴对称，
∵，
根据极限可得当x，
故答案为：B
【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和极限，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似给式找图的问题，一般先找差异，再验证.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线的焦点坐标是_____________.
参考答案：
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.
【试题分析】抛物线的焦点坐标为，抛物线中，所以焦点为，故答案为.
12. 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第2项为________．
参考答案：
13. 已知定义在R上的函数满足：①函数的图像关于点(－1,0)对称；②对任意的
，都有成立；③当时，
，则
.
参考答案：
-2
14. 若全集，集合，则 .
参考答案：
本题考查集合的运算，难度较小.因为，所以.
15. 已知函数，若，使得，则m的取值范围是
________.
参考答案：
16. 设当x=θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cosθ=______
参考答案：
17. 设定义在的函数的图象的两个端点为.是图象
上任意一点,其中，且,若不等式恒成立,则称函数在上“阶线性近似”.若函数与在上有且仅有一个“
阶线性近似”,则实数的取值范围为________．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分10分）已知：函数
（1）求函数的最小正周期和图象的对称中心.
（2）求函数在区间上的值域.
参考答案：
略
19. (本小题满分14分)已知函数
(Ⅰ) 当时, 求函数的单调增区间；
(Ⅱ) 求函数在区间上的最小值；(III) 在(Ⅰ)的条件下，设,
证明：.参考数据：.
参考答案：
(Ⅰ)当时，，
或。

函数的单调增区间为
(Ⅱ) ，
当，单调增。

当，单调减. 单调增。

当，单调减，
20. 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．
（1）求文娱队的队员人数；
（2）写出ξ的概率分布列并计算E （ξ）．
参考答案：
【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列． 【专题】综合题；概率与统计．
【分析】（1）设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有（7﹣x ）人，只会一项的人数是（7﹣2x ）人，利用
，可得
，由此可求文娱队的队员人数；
（2）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可确定ξ的概率分布列与数学期望．
【解答】解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有（7﹣x ）人，只会一项的人数是（7﹣2x ）人．…
（1）∵
，
∴
，即
．
∴
，解得x=2．
故文娱队共有5
人． … （2）ξ的取值为0，1，2
，
，…
ξ的概率分布列为：
∴． …
【点评】本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，求出概率是关键．
21. （12分）如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 、D 分别是圆O 与x 轴的两个交点，△ABO 为正三角形．
（1）若点A 的坐标为，求cos∠BOC 的值；
（2）若∠AOC=x（0＜x ＜
），四边形CABD 的周长为y ，试将y 表示成x 的函数，并求出y 的最大
值．
参考答案：
【考点】： 在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值；平面直角坐标系与曲线方程． 【专题】： 计算题．
【分析】：（1）根据△ABO为正三角形求得∠BOA，利用点A的坐标求得sin∠AOC和cos∠AOC，进
而利用两角和公式求得cos∠BOC．
（2）利用余弦定理分别求得AC和BD，进而根据△ABO为正三角形求得AB，CD可知，四边相加得到y 的函数解析式，利用两角和公式化简整理后，利用x的范围和正弦函数的性质求得函数的最大值．
【解答】：解：（1）∵△ABO为正三角形
∴∠BOA=60°
∵点A的坐标为
∴tan∠AOC=，
∴sin∠AOC=，cos∠AOC=
∴cos∠BOC=cos（∠AOC+60°）=cos∠AOCcos60°﹣sin∠AOCsin60°=；
（2）由余弦定理可知AC==2sin，BD==2sin（﹣
），
AB=OB=1，CD=2，
∴
=
=
=，0＜x＜∴当x=时，y max=5
【点评】：本题主要考查了三角函数的最值，数学模型的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．
22. （13分）在等差数列{a n}中，首项a1=1，数列{b n}满足，且b1b2b3=．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{a n b n}的前n项和S n．
参考答案：
【考点】数列的求和．
【分析】（1）由a1=1，，且b1b2b3==，可求得公差，即可求出a n；
（2）由（1）得b n=（）n，a n b n=，∴数列{a n b n}的前n项和S n可用错位相减法求得．
【解答】解：（1）设等差数列数列{a n}的公差为d，
∵a1=1，，且b1b2b3==，3a1+3d=6∴d=1
a n=1+（n﹣1）×1=n；
（2）由（1）得b n=（）n，a n b n=，
∴数列{a n b n}的前n项和S n
S n=，
∴s n==
∴．
【点评】本题考查了等差数列的计算，及错位相减法求和，属于中档题．。