【走向高考】高考数学总复习 6-5课后作业 北师大版

【走向高考】2013年高考数学总复习 6-5课后作业 北师大版
一、选择题
1．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝14n (9n －4n
)(n ∈N ＋)，那么这个数列( )
A ．是等差数列而不是等比数列
B ．是等比数列而不是等差数列
C ．既是等差数列又是等比数列
D ．既不是等差数列又不是等比数列 [答案] B
[解析] S n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫94n －1符合S n ＝Aq n
－A 的特征，故该数列为等比数列．
2．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－2n －1，则a 3＋a 17等于( ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398
[答案] C
[解析] a 3＝S 3－S 2＝(32
－2×3－1)－(22
－2×2－1)＝3.
a 17＝S 17－S 16＝(172－2×17－1)－(162－2×16－1)＝31，
∴a 3＋a 17＝34.
3．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后细胞存活数是( )
A ．33
B ．64
C ．65
D ．127
[答案] B
[解析] 每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．
4．(2012·黄冈模拟)小正方形按照如下图的规律排列：
每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论：
①a 5＝15；
②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；
④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N ＋)． 其中正确的命题序号为( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．①
[答案] C
[解析] 当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝3；当n ＝3时，a 3＝6；当n ＝4时，a 4＝10，…，观察图中规律，有a n ＋1＝a n ＋n ＋1，a 5＝15.故①④正确．
5．(文)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的通项公式a n 为( )
A ．2n －1
B ．2n －1
＋1 C ．2n D ．2n
＋1
[答案] C
[解析] 据题意得a n －2a n －1＝0，即a n ＝2a n －1，所以a n ＝2×2n －1
＝2n
.
(理)△ABC 中，tan A 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以1
2为第三项，
4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．以上均错
[答案] B
[解析] 由题意知：tan A ＝
－1－－
7－3＝34
>0. tan 3
B ＝412＝8，∴tan B ＝2>0，
∴A 、B 均为锐角．
又∵tan(A ＋B )＝34＋21－34×2＝－11
2<0，
∴A ＋B 为钝角，即C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．
6．(2011·陕西文，10)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次偏号，为使各
位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )
A ．①和⑳
B ．⑨和⑩
C ．⑨和⑪
D ．⑩和⑪
[答案] D
[解析] 本题考查数列求和，二次函数最值等．
设在x 个坑处最佳，则x ∈N ＋且1≤x ≤20，则所有同学路程为：
y ＝1＋2＋…＋(x －1)＋1＋2＋…＋(20－x )
＝
x －
x
2
＋
－x
－x
2
＝x 2
－21x ＋210
又∵x ∈N ＋，∴当x ＝10或x ＝11时y 最小． 二、填空题
7．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2
n
＝1的离心率为________．
[答案]
22
[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2
＝m 2
n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝
n －m n
＝2
2. 8．已知α∈(0，π2)∪(π
2，π)，且sin α，sin2α，sin4α成等比数列，则α的值为________．
[答案]
2π3
[解析] 由题意，sin 2
2α＝sin α·sin4α， ∴sin 2
2α＝2sin α·sin2α·cos2α， 即sin2α＝2sin α·cos2α，
∴2sin αcos α＝2sin α·cos2α，即cos α＝cos2α， ∴2cos 2α－1＝cos α，∴(2cos α＋1)(cos α－1)＝0. 解得cos α＝1(舍去)或cos α＝－12，∴α＝2π
3.
三、解答题
9．(2011·湖南文，20)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.
(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；
(2)设A n ＝
a 1＋a 2＋…＋a n
n
，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证
明：须在第9年初对M 更新．
[解析] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，
a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；
当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n －6
.
因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
130－10n ，n ≤6，34n －6
，n ≥7.
(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，由于S 6＝570，故
S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34
)n －6.
A n ＝
780－
34
n －6
n
因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又
A 8＝
780－
342
8
＝8247
64
>80，
A 9＝
780－
343
9
＝7679
96
<80，
所以须在第9年初对M 更新.
一、选择题
1．编辑一个运算程序：1&1＝2，m &n ＝k ，m &(n ＋1)＝k ＋3(m 、n 、k ∈N ＋)，1&2004的输出结果为( )
A ．2004
B ．2006
C ．4008
D ．6011
[答案] D
[解析] 由已知m &(n ＋1)－m &n ＝3可得，数列{1&n }是首项为1&1＝2，公差为3的等差数列，
∴1&2004＝2＋(2004－1)×3＝6011.应选D.
2．下表给出一个“直角三角形数阵” 14 12，14 34，38，316 ……
满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且诸行的公比都相等，记第i 行，第j 列的数列为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N)，则a 83等于( )
A.18
B.14
C.12
D.1
[答案] C
[解析] 由已知在第一列构成的等差数列中，首项为14，公差为14，∴a 81＝14＋(8－1)·1
4＝2
在每行构成的等比数列中公比q ＝1
2，
∴a 83＝2·(12)2＝1
2.
二、填空题
3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. [答案] 10
[解析] 由等差数列的性质可知2a m ＝a m ＋1＋a m －1， 又∵a m －1＋a m ＋1－a 2
m ＝0，
∴a 2
m ＝2a m ，∴a m ＝2(a m ＝0不合题意，舍去)， 又S 2m －1＝2m －1
2(a 1＋a 2m －1)
＝
2m －1
2
×2a m ＝(2m －1)·a m ＝38，∴2m －1＝19. ∴m ＝10.
4．(文)(2010·江苏卷)函数y ＝x 2
(x >0)的图像在点(a k ，a 2
k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为
a k ＋1，其中k ∈N ＋，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．
[答案] 21
[解析] 本题主要考查了导数的几何意义及等比数列的知识，要求数列的和，关键在于确定a k
与a k ＋1之间的关系，再利用数列的相关知识求解．
∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2
k )的切线方程为y －a 2
k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝1
2，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5
＝21.
(理)如图，“杨辉三角”中从上往下数共有n (n >7，n ∈N)行，设其第k (k ≤n ，k ∈N ＋)行中不是1的数字之和为a k ，由a 1，a 2，a 3，…组成的数列{a n }的前n 项和是S n .现在下面四个结论：①a 8＝254；②a n ＝a n －1＋2n ；③S 3＝22；④S n ＝2n ＋1
－2－2n .
1 1 1
2 1 1
3 3 1 1
4 6 4 1 … … … …
其中正确结论的序号为________．(写出所有你认为正确的结论的序号) [答案] ①④
[解析] 由已知得a n ＝C 0
n ＋C 1
n ＋C 2
n ＋…＋C n
n －2 ＝(1＋1)n －2＝2n
－2，
∴a 8＝28
－2＝256－2＝254，①正确；
a n －a n －1＝2n －2－2n －1＋2＝2n －1≠2n ，②不正确；
∵S n ＝2－2＋22
－2＋ (2)
－2＝
－2
n
1－2
－2n ＝2n ＋1
－2n －2，
∴S 3＝24
－6－2＝8≠22，③不正确，④正确． ∴①④正确． 三、解答题
5．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .
(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1，S 11，P 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
2，S 22，…，P n ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
n ，S n n (n ∈N ＋)在同一条直线上，并写出此直
线方程．
[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝
a 6－a 3a 3－a 2＝3d
d
＝3，即公比q ＝3.
(2)证明：∵S n ＝na 1＋n n －
2d ，
∴S n n
＝a 1＋
n －1
2
d ＝1＋n －12
d .
∴点P n ⎝
⎛⎭
⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋
x －1
2
d 上．
∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N ＋)都在过点(1,1)且斜率为d
2的直线上．
此直线方程为y －1＝d
2
(x －1)．
6．数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1
(n ∈N ＋)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；
(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．
[解析] 本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．
(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1
(n ∈N ＋)
又a 1＝13，故a n ＝(13)n
(n ∈N ＋)
从而S n ＝
13×[1－13
n
]1－13
＝12[1－(13
)n
](n ∈N ＋) (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝13
27
从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋4
9
)t ，解得t ＝2. 7．(文)(2011·山东文，20)等比数列{a n }中，a 1、a 2、a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1、a 2、a 3中的任何两个数不在下表的同一列.
(1) n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n
ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [解析] (1)依次验证知a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18时符合题意，∴a n ＝2·3n －1
(2)∵b n ＝a n ＋(－1)n
ln a n ＝2·3n －1
＋(－1)n ln(2·3
n －1
)＝2·3
n －1
＋(－1)n
(ln2－ln3)＋(－
1)n
n ln3
∴S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1
)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n
](ln2－ln3)＋[－1＋2
－3＋…＋(－1)2n
·2n ]ln3
＝2×1－32n 1－3＋n ln3
＝32n
＋n ln3－1.
(理)(2011·山东理，20)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.
(1)n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n
ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解析] (1)当a 1＝3时，不合题意；
当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意． 因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18. 所以公比q ＝3， 故a n ＝2·3n －1
.
(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n
ln a n ＝2·3n －1
＋(－1)n
ln(2·3n －1) ＝2·3n －1
＋(－1)n
[ln2＋(n －1)ln3] ＝2·3n －1
＋(－1)n
(ln2－ln3)＋(－1)n
n ln3. 所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1
)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n
](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－
1)n
n ]ln3.
所以
当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n
1－3＋n
2
ln3
＝3n
＋n
2
ln3－1；
当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n
1－3－(ln2－ln3)＋(n －1
2
－n )ln3
＝3n
－
n －1
2
ln3－ln2－1，
综上所述，S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
3n
＋n
2
ln3－1， n 为偶数3n
－n －1
2ln3－ln2－1，n 为奇数
.。