第9章 传递函数矩阵的结构特性ok

决定系统的稳定性和运动行为 极点和零点的不平衡属性 反映系统的奇异特性和奇异程度
重点掌握的内容 Smith-McMillan型
极点和零点
结构指数
9.1 史密斯-麦克米伦形
定义
当且仅当秩为r的q×p有理分式矩阵M(s)具有如下形式：
1 (s) ( s) 1 M (s) 0 0
MIMO线性定常系统的传递函数矩阵G(s)的极点、零点可位 于复平面上的同一位臵上而不构成对消。
极点零点的推论性定义1 对q×p传递函数矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) ≤ min{q, p} 表Nr(s)Dr-1(s)和Dl-1(s)Nl(s)为G(s)任一不可简约右MFD和任一不 可简约左MFD，则 G(s)有限极点 = “detDr(s) = 0 根”或“detDl(s) = 0 根” G(s)有限零点 = “Rank Nr(s) < r 的s值”或“Rank Nl(s) < r 的s值”
的所有非零初始状态x0和所有非零常向量u0，系统输出对形如
u(t ) u0e z0t
的一类输入向量函数具有阻塞作用，即其所引起的系统强制输 出y(t) ≡0。
9.3 传递函数(s)， r = Rank G(s) ≤ min{q, p}，表 Spz = G(s)的有限极点和有限零点的集合 那么，若对任一ξk∈ Spz导出对应的r×r对角阵：
0 s 1 s( s 1) 2
s ( s 1) 2 1 s( s 1) 2 0
( s 1) 2 1
s ( s 1) 2 ( s 2) 2 1 M (s) ( s ) U ( s )G ( s )V ( s ) d (s) 0
i ( s) det G ( s) i 1 ( s ) i
q
其中，α为非零常数。
(5) M(s)的MFD表示： 对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型M(s)为
1 ( s) ( s) 1 M ( s ) U ( s )G ( s )V ( s ) 0 0
( s k ) 1 ( k ) M k (s)

( s k ) r ( k )
则称{σ1(ξk), …, σr(ξk)}为G(s)在 s = ξk 的一组结构指数。
例：求传递函数矩阵G(s)在各个极点零点处的结构指数
s ( s 1) 2 ( s 2) 2 G( s) s ( s 2) 2 s ( s 2) 2 s ( s 2) 2
第9章 传递函数矩阵的结构特性
第9章
传递函数矩阵的结构特性
史密斯-麦克米伦形 传递函数矩阵的有限极点和有限零点 传递函数矩阵的结构指数 传递函数矩阵在无穷远处的极点和零点 传递函数矩阵的评价值
传递函数矩阵的零空间和最小多项式基 传递函数矩阵的亏数
传递函数矩阵的结构特性是复频域分析和综合的基础
极点和零点的分布属性
2 (s) 2 (s)

r ( s) r ( s)
0
如若引入
1 ( s ) Er ( s )
2 (s)

r (s)
0
1 ( s ) 2 (s) 0 , r ( s ) r (s) 0 ( q r )( p r ) 0
9.2 传递函数矩阵的有限极点和有限零点
MIMO线性时不变系统的极点、零点 有限极点零点 无穷远处极点零点
考虑q×p传递函数矩阵G(s)， r = Rank G(s) ≤ min{q, p}，导出其SmithMcMillan型为M(s)为
1 (s) ( s) 1 M (s) 0 0
s ( s 1) 2 ( s 2) 2 G( s) s ( s 2) 2 s ( s 2) 2 s 2 ( s 2)
解：G(s)的Smith-McMillan型M(s)为
s ( s 1) 2 ( s 2) 2 M (s) 0 0 s2 s 2
d (s) ( s 1) 2 ( s 2) 2 , s N ( s) 2 s( s 1) s( s 1) 2 s( s 1)
进而，取单模阵对U(s)、V(s)，
1 U ( s) 2 ( s 1) 1 0 , V ( s) 1 0 (s 1) 2 1
G(s)有限极点 G(s)有限零点
s = -1 (二重)， s = -2 (三重) s = 0 (三重)
说明
(1) 适用性 只适用于传递函数矩阵G(s)在有限复数平面上的极、零点 不适用于G(s)在无穷远处的极、零点 (2) G(s)极点、零点分布的特点
与SISO线性定常系统的标量传递函数g(s)不同
2 (s) 2 (s)

r ( s) r ( s)
0
1 ( s ) El ( s )
2 (s)

r (s)
0
1 ( s ) 2 (s) 0 , l ( s ) r (s) 0 ( q r )( p r ) 0
2 (s) 2 (s)

r (s) r (s)
其中， ⑴ {εi(s), φi(s)}为互质， i=1, 2, … , r ； ⑵ 满足整除性φi+1(s)| φi(s)和εi(s)|εi+1(s)，i=1, 2, … , r-1
0
Smith-McMillan型构造原理
对于q×p有理分式矩阵G(s)，设 r = Rank G(s) ≤ min{q, p} 则必存在q×q和p×p单模阵U(s)、V(s)，使得变换后传递函数 矩阵U(s)G(s)V(s)为Smith-McMillan型 例：导出下列2×2严格真有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan s s 型
化N(s)为Smith型
1 ( s) U ( s) N ( s)V ( s) 2 ( s 1) s 0 s 2 ( s 1) 2 ( s 2) 0
2 2 s ( s 1) ( s 2) ( s 1) 2 ( s 2) 2 0
0 I pr
则可将M(s)表示为右MFD，
M(s) = Er(s)Ψr-1(s)
(5) M(s)的MFD表示： 对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型M(s)为
1 ( s) ( s) 1 M ( s ) U ( s )G ( s )V ( s ) 0 0
2 (s) 2 (s)

r (s) r (s)
0
传递函数矩阵的有限极点和有限零点
对秩为r的q×p传递函数矩阵G(s)，Smith-McMillan型M(s)有 G(s)有限极点 = “M(s)中 φi(s) = 0 根， i=1, 2, … , r ” G(s)有限零点 = “M(s)中 εi(s) = 0 根， i=1, 2, … , r ” 例：求2×2传递函数矩阵G(s)的有限极点和有限零点
( s 1) 2 ( s 2) 2 G( s) s ( s 2) 2 ( s 2) 2 s 2 ( s 2)
1 N ( s) d ( s)
解：首先定出G(s)各元有理分式最小公分母d(s)和相应分子多项 式矩阵N(s)，有 2
Nr(s)Dr-1(s)为G(s)的一个不可简约右MFD s = 0 (三重)， s = 1 G(s)有限极点 detDr(s) = s3(-s+1) = 0 根 G(s)有限零点 Rank Nr(s) < 2 的s值 s = 0，s = -1
极点零点的推论性定义2 对q×p严格真传递函数矩阵G(s)，设其外部等价的任一状态空 间描述为{A ∈ℛn×n, B ∈ℛn×n, C ∈ℛn×n}，{A，B}完全可控， {A，C}完全可观测，则有 G(s)有限极点 = “det(sI - A) = 0 根” sI A B G(s)有限零点 = 使 降秩的s值 0 C
例：求出传递函数矩阵G(s)= Nr(s)Dr-1(s) ，Rank G(s)=2的有限极、零点
s( s 1) N r ( s) 2s 1 0 , 1 s3 Dr ( s) (s 1)( 2s 1) s 1 0
解：
{Dr(s), Nr(s)}为右互质
s ( s 1) 2 ( s 2) 2 M ( s) U ( s )G ( s)V ( s) 0
0 s2 s 2
本例得到的Smith-McMillan型M(s)不再保持为严格真
Smith-McMillan型的基本特性
(1) Smith-McMillan型M(s)的惟一性 有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)为惟一。 (2) 将G(s)化成M(s)的单模阵对{U(s)，V(s)}不惟一性 化有理分式矩阵G(s)为Smith-McMillan型M(s)的单模阵对{U(s)，V(s)} 不惟一。 (3) Smith-McMillan型M(s)的非保真性 严真性有理分式矩阵G(s)的Smith-McMillan型M(s)不保持严真性，M(s) 甚至可能为非真性。 注：导致M(s)非保真性的原因是，单模变换阵对{U(s)，V(s)}的引入， 可能会在M(s)中附加引入乘子sk，k = 1, 2, … 。如前例7-5。 (4) 非奇异G(s)的属性 对q×q非奇异有理分式矩阵G(s)，下列等式成立：
对零点的直观解释
极点决定系统输出运动组成分量的模式 零点反映系统对与零点关联的一类输入函数具有阻塞性
对q×p严格真传递函数矩阵G(s)，表其所属线性时不变系 统的一个可控和可观测状态空间描述为{A，B，C}，z0为G(s)的 任一零点，则对满足关系式：
Cx0 0 ( z0 I A) x0 Bu0
0 I qr
则可将M(s)表示为左MFD，
M(s) = Ψl-1(s)El(s)
(6) G(s)基于Smith-McMillan型M(s)的不可简约MFD： 对q×p传递函数矩阵G(s)，其Smith-McMillan型为M(s)，单模变换阵对 为{U(s)，V(s)}，M(s)的右MFD和左MFD为 M(s) = Er(s)Ψr-1(s) 和 M(s) = Ψl-1(s)El(s) 若取 Nr(s) = U-1(s)Er(s) ， Dr(s) = V(s)Ψr(s) 则Nr(s)Dr-1(s)为G(s)的不可简约右MFD。若取 Nl(s) = El(s)V-1(s) ， Dl(s) = Ψl(s)U(s) 则Dl-1(s)Nl(s)为G(s)的不可简约左MFD。