高三数学上学期第一学段考试试题

一中2021-2021学年上学期高三第一学段考试
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
理科数学试题
〔考试时间是是：120分钟 满分是：150分〕 第I 卷〔选择题，一共10题，每一小题5分，一共50分〕
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.请把答案填在答题卡上. 1．假设集合{|0},,A y y A
B B =≥=那么集合B 不可能是〔 〕
A ．{|0}y y x =
≥
B ．{|lg ,0}y y x x =>
C ．1{|(),}
2
x y y x R =∈
D ．∅
2．以下有关命题的说法正确的选项是〔 〕 A ．命题“假设1,12==x x 则〞的否命题为：“假设1,12
≠=x x 则〞 B ．“x=-1〞是“0652=--x x 〞的必要不充分条件
C ．命题“01,2
<++∈∃x x R x 使得〞的否认是：“01,2
<++∈∀x x R x 均有〞
D ．命题“假设y x y x sin sin ,==则〞的逆否命题为真命题
3．n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，那么7a 的值是〔 〕
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
4．函数21
()log f x x x
=-的零点所在区间为〔 〕 A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()1,2
D ．()2,3
5．3
(,0),sin ,25
π
αα∈-
=-那么cos()πα-的值是( )
A ．－
5
4
B ．
5
4
C ．
5
3
D ．－
5
3 6．函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥=-4
214)(21x x x x f x 的单调减区间为〔 〕
A ．〔∞-，∞+〕
B ．〔0，4〕和()+∞,4
C ．〔∞-，4〕和()+∞,4
D ．〔0，∞+〕
7．在△OAB 中，, OA a OB b ==，OD 是AB 边上的高，假设AB AD λ=，那么实数λ
等 于 〔 〕
A ．
(
)2
||a b a a b ⋅--
B ．
(
)2
||a a b a b ⋅--
C ．
(
)||
a b a a b ⋅--
D ．
(
)||
a a
b a b ⋅--
8．)(x f 是定义在R 上的奇函数，对任意的∈x R 都有)1()()2(f x f x f +=+成立, 那么)2011(f =〔 〕
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和,
*n N ∈, 那么10S 的值是〔 〕
A ．-110
B ．-90
C ．90
D ．110
10．6
cos sin ,2
0π
π
=
-<
<x x x ，存在),,(,,*
N c b a c b a ∈，使得
.0)(tan tan )(2=-+--c c b x a x b ππ那么c b a ++等于〔 〕
A ．46
B ．76
C ．106
D ．110
第II 卷〔非选择题，一共100分〕
二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
11．{}n a 是各项均为负数的等比数列，且2
5934a a a =，那么公比=q
12．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0，|φ|<π
2
)的最大值为4，最小值为0，最小正
周 期为π2，直线 x ＝π
3
是其图象的一条对称轴，那么符合条件的函数解析式是
13．设,x y 满足条件3
10x y y x y +≤⎧⎪
≤-⎨⎪≥⎩
，那么22(1)x y w e ++=的最小值
14．假设函数f (x )＝2x 2
－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是．．
单调函数，那么实数k 的取值范围是
15．对于三次函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ＋d (a ≠0)，定义：设f ″(x )是函数y ＝f (x )的导数
y ＝f ′(x )的导数，假设方程f ″(x )＝0有实数解x 0，那么称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝
f (x )的“拐 点〞．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数
都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．〞请你将这一发现为条件，求 (1)函数f (x )＝x 3
－3x 2
＋3x 对称中心为_______．
(2)假设函数g (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12
，那么g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12021＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫22021＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32021＋g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫42021＋… ＋g ⎝
⎛⎭
⎪⎫20212021＝_______.
三、解答题：本大题一一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
16．〔本小题满分是13分〕
函数)4
cos()4cos(2cos sin 32)(π
π
-+
-=x x x x x f ．
(I)求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； (II)求函数()f x 在区间[,]122
ππ
-上的值域．
17．〔本小题满分是13分〕
成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 中的b 3，b 4，b 4
(I) 求数列{}n b 的通项公式； (II) 数列{}n b 的前n 项和为n
S ，求证：数列54n S ⎧⎫+⎨⎬⎩
⎭是等比数列.
18．〔本小题满分是13分〕
在△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m =()222cos 12B C +-，，向量n =()
sin ,12A -.
(I)求m ·n 获得最大值时的角A 的大小； (II)在〔1〕的条件下，求△ABC 面积的最大值.
19．〔本小题满分是13分〕
某企业在第1年初购置一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开场，每年初M 的价值为上年初的75%．
〔I 〕求第n 年初M 的价值n a 的表达式； 〔II 〕设12,n
n a a a A n
++
+=
假设n A 大于80万元，那么M 继续使用，否那么须在第n
年初对M 更新，证明:必须在第9年初对M 进展更新.
20. 〔本小题满分是14分〕
函数()11124x x
f x a ⎛⎫⎛⎫
=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；x
x m m x g 2121)(⋅+⋅-=． (I)当1a =时，求函数f 〔x 〕在(),0-∞上的值域；
〔II 〕假设对任意[)0,x ∈+∞，总有3)(≤x f 成立，务实数a 的取值范围；
(Ⅲ)假设0>m 〔m 为常数〕，且对任意[]0,1x ∈，总有|()|g x M ≤成立，求M 的取值范围．
21．〔本小题满分是14分〕 函数：
)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=
〔I 〕讨论函数)(x f 的单调性；
〔II 〕假设函数)(x f y =的图象在点())2(,2f 处的切线的倾斜角为45o
，是否存在实数m 使
得对于任意的]2,1[∈t ，函数]2
)([)('
23m
x f x x x g +
+=在区间)3,(t 上总不是单调函数?假设存在，求m 的取值范围；否那么，说明理由； (Ⅲ)求证：),2(1
ln 55ln 44ln 33ln 22ln *∈≥<⨯⨯⨯⨯N n n n
n n ．
高三数学〔理科〕试卷参考答案
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的. 1-5 BDDCA 6-10 CBADD
二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题4分，一共20分，把答案填在答题卡的相应位
置.
11. 2 12. y ＝2)64sin(2++
π
x 13. 4e 14. )2
3
,1[ 15.〔1〕〔1，1〕〔2〕2021 三、 解答题：本大题一一共6小题，一共80分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
16.解：
)4
cos()4
sin(22sin 3)(π
π
-
-
+=x x x x f )
22sin(2sin 3π
-
+=x x …2分
x
x 2cos 2sin 3-=)
62sin(2π
-
=x ． ……4分 〔Ⅰ〕函数)(x f 的最小正周期
ππ==
22T ；
……6分
由
26
2π
ππ
+
=-
k x ，得对称轴方程为32π
π+=
k x ，Z k ∈．……8分
〔Ⅱ〕因为212
π
π
≤
≤-
x ，所以
656
23
π
π
π
≤
-
≤-
x ，
所以当
26
2π
π
=
-
x 即
3π
=
x 时，2)(max =x f ， …
当
36
2ππ-
=-
x 即
12π-
=x 时，
3)23
(2)(min -=-
⨯=x f ，
所以)(x f 的值域是]2,3[-． …
17.解：(I)设成等差数列的三个正数分别为
,,a d a a d -+〔d>0〕
；那么
155a d a a d a -+++=⇒=；………2分
数列{}n b
中的3b ，4b ，5b 依次为7,10,18d d -+，那么(7)(18)100d d -+=；
得2d =或者13d =-〔舍〕，………4分
于是3
345,1052n n b b b -==⇒=⋅ ………7分
(II) 数列{}n b
的前n 项和
25
524n n S -=⋅-
，……
即11225
5524522
54524n n n n n n S S S -+--+
⋅+=⋅⇒==⋅+………
18．解：〔1〕m ·n ＝2
sin
2A
－()
22cos 12sin cos()
22B C A B C +-=-+. ………2分
因为 A ＋B ＋C π=，所以B ＋C π=－A ，于是m ·n ＝
2sin
2A
＋cos A ＝
－22sin 2sin 122A A ++＝－2
213(sin )222A -+
………………5分 因为()
π0,2
2A ∈，所以当且仅当sin
2A ＝12，即A ＝π3时，m ·n 获得最大值32. 故m ·n 获得最大值时的角A ＝π
3. ………………7分
〔2〕设角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c 由余弦定理， 得 b 2
＋c 2
－a 2
＝2bc cos A ……… ………8分
即bc ＋4＝b 2
＋c 2
≥2bc ， 所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时取等号…… 又S △ABC ＝1
2bc sin A
bc
.当且仅当a ＝b ＝c ＝2时,
△ABC
…………………
19.解：〔I 〕当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列．
12010(1)13010;
n a n n =--=-
…………… 2分
当6n ≥时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为3
4为等比数列，又670a =，
所以63
70();
4n n a -=⨯…………… 4分
因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为6
12010(1)13010,6
370(),74n n n n n n a a n ---=-≤⎧⎪=⎨=⨯≥⎪⎩……6分
(II)设
n
S 表示数列
{}
n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得
当16n ≤≤时，
1205(1),1205(1)1255;
n n S n n n A n n =--=--=-………8分
当7n ≥时，因为
{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，
6
6)43(210210431]
)43(1[4370--⨯-=--⨯=n n n A ，
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⨯-≤≤-==-7
,)43(2107806
1,51256
n n n n n S A n n n ……
又
8696
8933780210()780210()4779448280,7680,
864996A A ---⨯-⨯==>==<
所以须在第9年初对M 更新． …………
20．解 ：〔1〕当1a =时，
〔法一〕
11()124x x
f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭因为f 〔x 〕在(),0-∞上递减，………… 2分 所以()(0)3f x f >=，即f 〔x 〕在(),1-∞的值域为()3,+∞………… 4分
〔法二〕()()
1,,0,1,2x
t x t ⎛⎫
=∈-∞∴∈+∞ ⎪⎝⎭设，
()2
1
y t t t ϕ∴==++，对称轴
1
2t =-
，
()
1,t ∴∈+∞时为增函数，………… 2分 ()13
y ϕ∴>=，f 〔x 〕在(
)
,1-∞的值域为(
)
3,+∞………… 4分
〔2〕由题意知，
3
)(≤x f 在[)1,+∞上恒成立。

3)(3≤≤-x f ，
x
x
x
a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414∴x
x x
x a ⎪
⎭⎫
⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-21222124在[)0,+∞上
恒成立，
∴ min max 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-x x x x a ………… 6分 设t x =2，t t t h 14)(--=，t t t p 12)(-=，由x ∈[)0,+∞得 t ≥1，
设121t t ≤<，,
()()2112121241()()0t t t t h t h t t t ---=>
()()
012)()(21212121<+-=-t t t t t t t p t p 〔可用导数方法证明单调性：()()2211140,20t h t p t t t ''≥=-+<=+>时,〕
所以)(t h 在[)1,+∞上递减，)(t p 在[)1,+∞上递增，………… 8分
)(t h 在[)1,+∞上的最大值为(1)5h =-， )(t p 在[)1,+∞上的最小值为(1)1p = 所以实数a 的取值范围为[]5,1-…………
〔3〕1221)(+⋅+
-=x m x g ，∵ m>0 ，[]1,0∈x ∴ ()g x 在[]0,1上递减，
∴)0()()1(g x g g ≤≤ 即m m x g m
m +-≤≤+-11)(2121………… ①当m m m m 212111+-≥+-，即⎥⎦⎤ ⎝⎛∈22,0m 时，m m x g +-≤11)(，此时 11m M m -≥+，………… ②当m m m m 212111+-<+-，即
⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,22m 时，m m x g 2121)(+-≤， 此时 1212m M m -≥
+，………… 综上所述，当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈22,0m 时，M 的取值范围是1,1m m ⎡⎫-+∞⎪⎢+⎣
⎭； 当⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,22m 时，M 的取值范围是
12,12m m ⎡⎫-+∞⎪⎢+⎣⎭………… 14分
21．解：⑴)0()1()('>-=x x x a x f (1分),
当0>a 时，)(x f 的单调增区间为
(]0,1，减区间为[)1,+∞；…………2分 当0<a 时，)(x f 的单调增区间为
[)1,+∞，减区间为(]0,1；…………3分 当0=a 时，)(x f 不是单调函数…………4分 ⑵12)2('=-
=a f 得2-=a ，32ln 2)(-+-=x x x f ∴x x m x x g 2)22()(23-++=，∴2)4(3)('2-++=x m x x g …………6分 ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数，且()02'g =-∴⎩⎨⎧><0)3('0
)('g t g
由题意假设存在实数m ，对于任意的]2,1[∈t ，'()0g t <恒成立，
所以，'(1)0'(2)0
'(3)0g g g <⎧⎪<⎨⎪>⎩，∴存在9337-<<-
m
…………9分
⑶令1-=a 此时3ln )(-+-=x x x f ，所以2)1(-=f ， 由⑴知3ln )(-+-=x x x f 在),1(+∞上单调递增，∴当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >， 即01ln >-+-x x ，∴1ln -<x x 对一切),1(+∞∈x 成立，…………
∵2,N*n n ≥∈，那么有1ln 0-<<n n ，∴
n n n n 1ln 0-<<
ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n *-∴⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅=≥∈…………
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。