甘肃省兰炼一中高三数学下学期第二次模拟试题 理

甘肃省兰炼一中2018届高三数学下学期第二次模拟试题 理
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．[2018·太原期末]已知a ，b 都是实数，那么“22a b
>”是“2
2
a b >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条
件
2．[2018·豫南九校]抛物线2
2(0)x py p =>的焦点坐标为（ ）
A ．,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1,08p ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．0,
2p ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．10,
8p ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
3．[2018·牡丹江一中]十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（ ） A ．24种
B ．16种
C ．12种
D ．10种
4．[2018·行知中学]设x ，y 满足约束条件360
20 0,0x y x y x y ⎧⎪
⎨⎪+⎩
---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最
小值为（ ） A ．4-
B ．2-
C ．0
D ．2
5．[2018·三门峡期末]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”
最长的棱长为（ ）
A ．5
B
C
D
．6．[2018·龙岩质检)())0,π大致的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．[2018·安庆一中]函数()sin
cos (0)f x x x ωωω=->则ω的取值不可能为（ ） A ．
14
B ．
15
C ．
12
D ．
34
8．[2018·三门峡期末]运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数a
y x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（ ）
A ．
35
B ．
45
C ．
34
D ．
37
开始
输出y
结束
是
否
3x =-3
x ≤2
2y x x
=+1
x x =+
9．[2018·西城期末]已知A ，B 是函数2x
y =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线1
2
y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ）
A ．(),1-∞-
B ．(),2-∞-
C ．(),3-∞-
D ．(),4-∞-
10．[2018·天一大联考]在四面体ABCD 中，
若A B C D ==，2AC BD ==
，
AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为（ ）
A ．2π
B ．4π
C ．6π
D ．8π
11．[2018·江西联考]设1x =是函数()()3
2
121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点， 数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]
x 表示不超过x 的最大整数，则
12
232018201920182018
2018b b b b b b ⎡⎤
+++
⎢⎥⎣⎦
=（ ）
A ．2017
B ．2018
C
．2019 D ．2020
12．[2018·周口期末][]0,1上单调递增，
则实数a 的取值范围（ ） A ．()1,1-
B ．()1,-+∞
C ．[]1,1-
D ．(]
0,+∞ 第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[2018·天津期末]已知i 为虚数单位，则
． 14．[2018·菏泽期末]已知等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则{}n a 的前6项和为__________．
15．[2018·湖师附中]在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内（含边界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为__________．
16．[2018·漳州调研]设F 为双曲线C ：22
221x y a b
-
=(0a ＞，0b ＞)的右焦点，过F 且斜率
l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，2AF BF =，则双曲线C 的离心率为_____．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每
个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．
17．[2018·宜昌一中] （1）求()f x 的最大值、最小值；
（2）CD 为ABC △的内角平分线，已知()max AC f x =，()min BC f x =，
CD 求C ∠．
18．[2018·漳州期末]随着科学技术的飞速发展，手机的功能逐渐强大，很大程度上代替了电脑、电视．为了了解某高校学生平均每天使用手机的时间是否与性别有关，某调查小组随机抽取了30名男生、20名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：
（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关？ （2）在这20名女生中，调查小组发现共有15人使用国产手机，在这15人中，平均每天使用手机不超过3小时的共有9人．从平均每天使用手机超过3小时的女生中任意选取3人，求这3人中使用非国产手机的人数X 的分布列和数学期望．
参考公式：()
()()()()
2
2n ad bc K a c b d a b c d -=++++()n a b c d =+++
19．[2018·晋中调研]如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 中，
BC AD ∥，AB AD ⊥，且22PA AD AB BC ====，M 为AD 的中点．
（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；
（2）问在棱PD 上是否存在点Q ，使PD ⊥平面CMQ ，若存在，请求出二面角P CM Q --的余弦值；若不存在，请说明理由．
20．[2018·池州期末]已知定点()3,0A -、()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1
9
-
，记动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；
（2）过点()1,0T 的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点(),0S s ，使得直线SP 与
SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由．
21．[2018·龙岩质检]已知函数()2
2ln f x x x a x =--，()g x ax =．
（1）求函数()()()F x f x g x =+的极值； （2对0x ≥恒成立，求a 的取值范围．
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．[2018·赤峰期末]选修4-4：极坐标系与参数方程(10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线1C
α为参数),将曲线1C 上各点的横坐标都缩短为原来的
1
2
倍,
倍,得到曲线2C ,在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的
（1）求直线l 和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设点Q 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最大值．
23．[2018·太原期末]选修4-5：不等式选讲
设函数()12f x x x =++-，()2
54g x x x =-+-．
（1）求不等式()5f x ≤的解集M ；
（2）设不等式()0g x ≥的解集为N ，当x M N ∈时，证明：()()3f x g x +≤．
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 1．【答案】D
【解析】p ：22a
b
a b >⇔>，q a b >与a b >没有包含关系，
故为“既不充分也不必要条件”．故选D ． 2．【答案】B
1,08p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．故选B ． 3．【答案】C
【解析】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行
车路线共有43=12⨯种，故选C ． 4．【答案】A
【解析】如图，过()2,0时，2z x y =-+取最小值，为4-．故选A ． 5．【答案】D
【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：
其中PA ⊥平面ABCD ，∴3PA =，4AB CD ==，5AD BC ==
该几何体最长棱的棱长为故选D ．
6．【答案】D
)())0,π是偶函数，故它的图象关于y 轴对称，
再由当x 趋于π
时，函数值趋于零，故答案为：D ． 7．【答案】D
k ∈Z k ∈Z ， ∵()sin cos (0)f x x x ωωω=->
在
D ． 8．【答案】A
【解析】由框图可知{}3,0,1,8,15A =-，其中基本事件的总数为5，设集合中满足“函数
a y x =，[)0,x ∈+∞是增函数”为事件E ，当函数a y x =，[)0,
x ∈+∞是增函数时，0a ＞，
事件E 包含基本事件的个数为3A ． 开始
输出y
结束
是
否
3x =-3
x ≤2
2y x x
=+1
x x =+
9．【答案】B
【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设12x x <，函数2x
y =为单调增函数，若点A ，B
到直线12y =
的距离相等，则121122
y y -=-，即121y y +=．有12221x x
+=．由基本不等
12
2
x x
+<-．（因为
12
x x
≠，等号取不到）．故选B．
10．【答案】C
【解析】如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a，b，c，则
22
22
22
5
4
3
a b
a c
b c
+=
+=
+=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，三式相加得：2226
a b c
++=，所以该四面体的外接球直径为长方体的体对角线长，故外接球体积为：2
46
R
π=π．
11．【答案】A
【解析】由题意可得()212
32
n n n
f x a x a x a
++
=--
'，∵1
x=是函数()
f x的极值点，
∴()12
1320
n n n
f a a a
++
=-
'-=，即
21
320
n n n
a a a
++
-+=．∴()
211
2
n n n n
a a a a
+++
-=-，
∴
21
1
a a
-=，
32
212
a a
-=⨯=，2
43
222
a a
-=⨯=，，2
1
2n
n n
a a-
-
-=，
以上各式累加可得1
2n
n
a-
=．∴
212
log log2n
n n
b a n
+
===．
∴
1223
20182018
b b b b b b
+++
1
2018
++
⨯
∴
122320182019
201820182018
2017
b b b b b b
⎡⎤
++
+=
⎢⎥
⎣⎦
．选A．
12．【答案】C
【解析】当0
a>
在区间[]0,1上单调递增， 在区间[]0,1上单调递增，则，解得](0,1a ∈， 当0a =在区间[]0,1上单调递增，满足条件． 当0a <在R 上单调递增，令
，解得1a -≥，综上所述，实数a 的取值范围[]1,1-，故选C ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．
14．【答案】
21
2
【解析】3
5
28a q a =
=-，2q =-，则2112
a a q ==-，()
()()6
6
1611212121122
a q S q
⎡⎤
----⎣⎦===---
．
15．【答案】
9
2
【解析】如图所示：
设AE 与AF 的夹角为θ，则2
2
1|||c o s 2
||c o s A E A F A E A F A F θθ⎛⎫
⋅==+ ⎪，由投影
的定义知，只有点F 取点C 时，cos AF θ取得最大值．1=2AE AF ⎛∴⋅
，故填92
． 16．【答案】2 【解析】若2AF BF =-，则由图1可知，渐近线OB 的斜率为b
a
-
，l OB ⊥，在Rt OBA △中，由角平分线定理可得
2OA FA OB
FB
=
=，
所以60AOB
∠=︒，30xOA ∠=︒，
所以b a =3c e a ===
．若2A F B F =，则由图2可知，渐近线OB 为AOF △边AF 的垂直平分线，故AOF △为等腰三角形，故可以求出OA c =，根据l 的方程：()0a
y x c b
-=
-和准线方程：b y x a =，可以求出点22222,a c abc A a b
a b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭
，根据OA
c =，求出b
a =2c
e a ===，即该双曲线的离心率为2或3． y
x
O
F A
B
图1
l
y
x
O
F
A B 图2
l
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分，每个试题12分．
17．【答案】（1）(
)max 6f x =，()min 3f x =；（
2 【解析】（1
分 ∵()
f x ()max 6f x =，()min 3f x =·······6分
（2）ADC △中，
，BDC △中， ∵sin sin ADC BDC ∠=∠，6AC =，3BC =， ∵2AD BD =·······9分
BCD △中， ACD △
中，2446822
C
AD =-=-，
∴cos
2C =
分 18．【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关；（2）见解析． 【解析】（1）()2
502511598104663530201634
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯．．．·······3分
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学生使用手机的时间长短与性别有关．·······4分
（2）X 可取0，1，2，3．·······6分
3
639(5
02)1C P X C ===，·······7分
12363915
)128(C C P X C ===
，·······8分 2136393
()214C C P X C ===，·······9分
3339(1
38)4
C P X C ===，·······10分
所以X 的分布列为
()0123121281484
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=．·······12分
19．【答案】（1）见解析；（2）存在Q ． 【解析】∴以A 为原点，射线AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角
坐标系如图所示：
22PA AD AB BC ====，
()0,0,0A ，()200B ,,，()2,1,0C ，()020D ,,，()002P ,,， ()020AD =,,，()002AP =,,，
M
为
AD 的中点，∴
()
0,1,0M ，
()200MC =,,．·······2分
（1）
0MC AD ⋅=，0MC AP ⋅=，
∴CM PA ⊥，CM AD ⊥．·······4分
PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA
AD A =，
∴CM ⊥平面PAD ．·······5分
CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD ．·······6分
（2）存在点Q 使PD ⊥平面CMQ ，在PAD △内，过M 做MQ PD ⊥垂足为Q ， 由（1）CM ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，CM PD ∴⊥，
MQ CM M =，PD ∴⊥平面CMQ ，·······8分
设平面PCM 的一个法向量为()x y z =,,n ，
则200MC x x ⋅==⇒=n ，()()012202PM x y z y z y z ⋅=⋅-=-=⇒=,,,,n ， 取()02,1=,n ．·······10分
PD ⊥平面CMQ ，
()022PD =-,,是平面CMQ 的一个法向量．·······11分
由图形知二面角P CM Q --的平面角θ是锐角， 25PD PD
⋅=
·······12分 20．【答案】（1）曲线C 的方程为2
219
x y +=()3x ≠±；（2）见解析． 【解析】（1）设动点(),M x y
3
MB y
k x =-()3x ≠±， MA MB k k ⋅分
即1339
y x x ⋅=-+-． 化简得：2
219
x y +=， 由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2
219
x y +=()3x ≠±．·······4分 （2）由已知直线l 过点()1,0T ， 设l 的方程为1x my =+，则联立方程组22
1
99
x my x y =++=⎧⎨⎩， 消去x 得()
229280m y my ++-=,
设()11,P x y ，()22
,Q x y 分 直
线
SP
与SQ 斜率分别为
11
111SP y y k x s my s
=
=
-+-，
22
221SQ y y k x s my s
=
=-+-，·······8分 ()()
12
1111SP SP y y k k my s my s =
+-+-
()()()
12
2
2
121211y y m y y m s y y s =
+-++-
()()
2
2
2
8
991s
m s -=
-+-．·······10分
当3s =3s =- 所以存在定点()3,0S ±，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值．·······12分 21．【答案】（1）见解析；（2）a 的取值范围为1
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． 【解析】（1）()2
2ln F x x x a x ax =--+，
()()21x a x x
+-，·······1分
∵()F x 的定义域为()0,+∞．
即0a ≥时，()F x 在()0,1上递减，()F x 在()1,+∞上递增，
()1F x a =-极小，()F x 无极大值．·······2分
②012a <-
<即20a -<<时，()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,+∞上递增，在,12a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上递减，
()2a F x F ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
极大
2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小．·······3分
③12
a
-=即2a =-时，()F x 在()0,+∞上递增，()F x 没有极值．·······4分 ④12a -
>即2a <-时，()F x 在()0,1和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭上递减，
∴()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
极小分
综上可知：0a ≥时，()1F x a =-极小，()F x 无极大值；
20a -<<时，()2a F x F ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
极大
2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()()11F x F a ==-极小；
2a =-时，()F x 没有极值；
2a <-时，()()11F x F a ==-极大，()2a F x F ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
极小
2ln 42a a a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭．··6分
（2
设cos t x =，则[]1,1t ∈-，()()
2
122t
t t ϕ+=
+
∴()t ϕ在[]1,1-上递增，∴()t ϕ的值域为11,3
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，·······8分
时，()0h x '≥，()h x 为[]0,+∞上的增函数， ∴()()00h x h =≥，适合条件．·······9分 ②当0a ≤时，∵分 ③当103a <<
sin 3x
ax <-， 令()sin 3x T x ax =-
()00,x x ∈时，()0T x '<， ∴()T x 在()00,x 上单调递减，∴()()000T x T <=， 即在()00,x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件． 综上，a 的取值范围为1
,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． (12)
分
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）
22．【答案】（1）40x
y -+=，2
2
1x y +=（2）1 【解析】（1）因为直线l 所以有cos sin 40ρθρθ-+=，即直线l 的直角坐标方程为：40x y -+=·······2分
因为曲线1C
α为参数),经过变换后为cos sin x y αα==⎧⎨⎩(α为参数)
所以化为直角坐标方程为：2
2
1x y +=·······5分 （2）因为点Q 在曲线2C 上,故可设点Q 的坐标为()cos ,sin αα，
从而点Q 到直线l
分
由此得,
,d 取得最大值,
且最大值为1·······10分 23．【答案】（1）{|23}M x x =-≤≤（2）见解析 【解析】（1
则有1240x x -+⎧⎨
⎩≤≥①或12 20x -<<-⎧⎨⎩≤②或2
260
x x -⎧⎨⎩≥≤③·······3分
解①得21x --≤≤，解②得12x -<<，解③得23x ≤≤， 则不等式的解集为{|23}M x x =-≤≤．·······5分
（2）()2
0540g x x x ⇔-+≥≤，解得14x ≤≤，则{|14}N x x
=≤≤，所以
{|13}M N x x =≤≤．
当12x ≤≤时，()3f x =，()()2
2
5935424f x g x x x x ⎛⎫--=-+=-- ⎪
⎝
⎭，
，则()()3f x g x +≤成立．
当23x <≤时，()26f x x =-，
，则()()3f x g x <+．
综上，()()3f x g x +≤成立．·······10分。