高中数学 第二章 等式与不等式 2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集学案(含解析)新人教

2.1.1 等式的性质与方程的解集
学习目标
1.通过理解等式的性质,体会用等式的性质解方程,培养学生数学抽象能力;
2.通过类比推理,掌握等式推理的基本形式和规则,探索出解方程的核心方法,培养学生逻辑推理能力;
3.通过求方程的解集,培养学生数学运算能力.
自主预习
1.感受等式的性质在现实世界中的体现.
2.理解几个重要的恒等式.
3.会用十字相乘法进行因式分解.
4.理解一元一次方程以及一元二次方程的解集的求法.
课堂探究
一、等式的性质
1.复习回顾
我们已经学习过等式的性质:
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立;
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.
2.尝试与发现
用符号语言和量词表示上述等式的性质:
(1)如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c;
(2)如果a=b,则对任意不为零的c,都有ac=bc.
因为减去一个数等于加上这个数的相反数,除以一个数等于乘以这个数的倒数,因此上述等式性质中的“加上”与“乘以”如果分别改为“减去”与“除以”,结论仍成立.
二、恒等式
1.尝试与发现
补全下列(1)(2)中的两个公式,然后将下列含有字母的等式进行分类,并说出分类的标准:
(5)a2-b2= (平方差公式);
(6)(x+y)2= (两数和的平方公式);
(7)3x-6=0;
(8)(a+b)c=ac+bc;
(5)m(m-1)=0;
(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).
2.感受新知
(1)从量词的角度来对以上6个等式进行分类:
对任意实数都成立的等式有:.
只是存在实数使其成立的等式有:.
(2)一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.
(3)恒等式是进行代数变形的依据之一.例如,因为(x+y)2=x2+2xy+y2对任意x,y都成立,所以可用其他代数式去替换其中的x,y,等式仍然会成立,若用-z替换其中的y,则(x-z)2=x2+2x(-z)+(-z)2
=x2-2xz+z2,
由此就得到了以前学过的两数差的平方公式.
3.经典例题
例1化简(2x+1)2-(x-1)2.
4.课堂练习
(2)a2-6a+9;(2)4m(x-y)-8n(y-x);
(3)(a2+4)2-16a2.
反思感悟分解因式的常用方法
(1)平方差公式法;(2)完全平方公式法;
(3)提取公因式法;(4)十字相乘法.
下面我们介绍另外一个经常会用到的恒等式:对任意的x,a,b,都有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
这个恒等式的证明,只需将左边展开然后合并同类项即可.
可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则
x2+Cx+D=(x+a)(x+b).
为了方便记忆,已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程,通常用如图来表示,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.
例如,对于式子x2+5x+6来说,因为2×3=6且2+3=5,所以
x2+5x+6= .
练习:用十字相乘法分解因式:
(1)x2+3x+2;(2)x2+2x-15;(3)p2+13p+36.
上述恒等式的证明,也只需将左边展开然后合并同类项即可.
据此也可进行因式分解.例如,对于3x2+11x+10来说,因为1×3=3,2×5=10,1×5+3×2=11,如图所示,所以3x2+11x+10=(x+2)(3x+5).
三、方程的解集
1.思考:(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
2.新课讲授
方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.
一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.
利用等式的性质和有关恒等式进行代数变形,可以得到一些方程的解集.
3.做一做:求方程x2+3x+2=0的解集.
4.想一想:一元二次方程的解集中一定有两个元素吗?
5.经典例题
例2求方程x2-5x+6=0的解集.
例2说明,如果一个一元二次方程可以通过因式分解化为
(x-x1)(x-x2)=0
的形式,那么就能方便得出原方程的解集.
例3求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.
【尝试与发现】
课堂练习
1.设集合A={1,2,3},B={x|3x 2-4mx+1=0},若A ∩B={1},则m=( ) A .1 B .-1
2
C .1
2 D .-1
2.下列运用等式的性质进行的变形中,正确的是( ) A .如果a=b ,那么a+c=b-c B .如果a c =b
c ,那么a=b
C .如果a=b ,那么a c =b
c
D .如果a 2=3a ,那么a=3
3.关于x 的方程x 2+px-2=0的解是1和q ,则p= ,p+q 的值为 .
核心素养专练
1.已知U={2,1,0},M={x ∈R |x 2-2x=0},则∁U M=( ) A .{0} B .{1,2} C .{1}
D .{1,0,2}
2.下列因式分解,错误的是( ) A .x 2+7x+10=(x+2)(x+5) B .x 2-2x-8=(x-4)(x+2) C .y 2-7y+12=(y-3)(y-4) D .y 2+7y-18=(y-9)(y+2)
3.(多选题)下列说法正确的有( ) A.方程2x 2-x-1=0的解集是{1,2} B.方程-6x 2-x+2=0的解集是{-23,1
2}
C.若方程ax 2+8ax+21=0的解集是{-7,-1},那么a 的值是3 D .如果集合A={x|ax 2-2x-1=0}只有一个元素,则a 的值是-1
4.已知集合A={-1,2},B={x|ax=1},若B ⊆A ,则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为 .
5.若集合A={x|x 2+2x-8=0},B={x|x 2+2(a+1)x+2a 2-2=0},则当a=1时,A ∩B= ;若
A ∩B=
B ,则实数a 的取值范围是 .
6.将下列各式因式分解:
(1)x 2+3x+2; (2)2x 2-7x+3;
(3)10(x+2)2-29(x+2)+10.
7.已知集合A={x|x2+ax-6=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-2,3},A∩B={-2},求a,b,c的值.
参考答案
略
1.A
2.B
3.1-1
核心素养专练
}
1.C
2.D
3.BC
4.{0,-1,1
2
5.{-4}a≥3或a<-1
6.(1)(x+1)(x+2)(2)(x-3)(2x-1)(3)(2x-1)(5x+8)
7.解:∵A∩B={-2},∴-2∈A,即(-2)2+(-2)a-6=0,解得a=-1.
∴A={-2,3}.∵A∪B={-2,3},A∩B={-2},且A≠B,
∴B={-2}.∴(-2)2+b(-2)+c=0,Δ=b2-4c=0,解得b=c=4.
综上,a=-1,b=c=4.
学习目标
1.理解等式的性质,能用等式的性质解方程;
2.掌握常见的代数恒等式,并能用恒等式进行化简求值、十字相乘法分解因式;
3.理解方程的解集的含义,会求一元一次方程及一元二次方程的解集.
自主预习
1.等式的性质
问题1:你能写出已经学习过的等式的性质并用符号语言和量词表示吗?
2.恒等式
问题2:你能完成下方的“尝试与发现”,写出你的分类标准吗?
尝试与发现
补全下列(1)(2)中的两个公式,然后将下列含有字母的等式进行分类,并说出分类的标准:
(1)a2-b2= (平方差公式);
(2)(x+y)2= (两数和的平方公式);
(3)3x-6=0;
(4)(a+b)c=ac+bc;
(5)m(m-1)=0;
(6)t3+1=(t+1)(t2-t+1).
问题3:什么叫恒等式?证明恒等式:对任意的x,a,b都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.怎样利用这个恒等式进行分解因式?
3.方程的解集
问题4:(1)一元一次方程kx+b=0(k≠0)的根是什么?
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么?
(3)什么叫做方程的解集?
课堂探究
一、等式的性质
探究一:(1)如果a+c=b+c,一定有a=b吗?
(2)如果ac=bc,一定有a=b吗?
二、恒等式
例1化简(2x+1)2-(x-1)2.(几种方法)
跟踪训练1:
化简下列各式
(1)a2-6a+9;(2)4m(x-y)-8n(y-x);
(3)(a2+4)2-16a2.
探究二:(1)给定式子x2+Cx+D,怎样找到a,b,使得x2+Cx+D=(x+a)(x+b)? 练习:
分解因式(1)x2+3x+2;(2)x2+2x-15;(3)p2+13p+36.
跟踪训练2:
分解因式:(1)15x2-23x+8;(2)mx2+(m2+m+1)x+m2+m.
三、方程的解集
例2求方程x2-5x+6=0的解集.
跟踪训练3:求下列方程的解集
(1)x2-4x+4=0;(2)x2+6x+8=0.
思考与讨论:一元二次方程的解集中一定有两个元素吗?
例3求关于x的方程ax=2的解集,其中a是常数.
【尝试与发现】
归纳总结:含参数的一元一次方程ax=b的解的情况.
核心素养专练
【合格基础练】
1.根据等式的性质,下列结论正确的是()
A.若x
a =y
a
,则x=y
B.若x=y,则x
a =y a
C.若x+a=y-a,则x=y
D.若x=y,则ax=by
2.(多选题)如果x=y,a为有理数,那么下列等式一定成立的是()
A.1-y=1-x
B.x2=y2
C.x
a =y a
D.ax=ay
3.我市某楼盘准备以每平方米15 000元的均价对外销售,有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调,最终以每平方米12 150元的均价销售,则平均每次下调的百分率是()
A.8%
B.9%
C.10%
D.11%
4.若m2-5m-6=(m+a)(m+b),则a,b的值为.
5.把下列各式分解因式:
(1)x2+5x-6;(2)(x+y)2-4y(x+y);
(3)x4+11x2-12; (4)x2-6xy+8y2.
6.求关于x的方程ax=x-1的解集,其中a是常数.
【等级过关练】
7.(多选题)已知集合A={1,2},B={x|ax-2=0},若B⊆A,则a的值可能是()
A.0
B.1
C.2
D.3
8.把下列各式分解因式:
(1)4x2-14xy-18y2;
(2)7(x+y)3-5(x+y)2-2(x+y);
(3)x3-4xy2-2x2y+8y3;
(4)x 2-4mx-8mn-4n 2.
9.已知a+b=2
3,ab=2,求代数式a 3b+2a 2b 2+ab 3的值.
10.已知关于x 的方程x-3-2x 2
=1-
x+2a 6
与
2x+a 3
-
x -a 6
=1有相同的解,求a 的值及方程的解集.
参考答案
略 略 核心素养专练
【合格基础练】
1.A
2.ABD
3.C
4.a=-6,b=1或a=1,b=-6
5.(1)(x+6)(x-1) (2)(x+y )(x-3y ) (3)(x 2+12)(x+1)(x-1) (4)(x-2y )(x-4y )
6.解:原方程化为(a-1)x=-1, 当a=1时,无解,∴解集为⌀; 当a ≠1时,x=-1
a -1=1
1-a ,解集为{1
1-a }. 【等级过关练】 7.ABC
8.(1)2(x+y )(2x-9y ) (2)(x+y )(x+y-1)(7x+7y+2) (3)(x-2y )2(x+2y ) (4)(x+2n )(x-2n-4m ) 9.解:a 3b+2a 2b 2+ab 3=ab (a 2+2ab+b 2)=ab (a+b )2,∵a+b=2
3
,ab=2,∴原式=2×(23)2
=2×49=8
9. 10.解:∵x -3-2x 2
=1-
x+2a 6
,
∴6x-3(3-2x)=6-(x+2a), ∴x=15-2a
13
.
∵2x+a
3-x-a
6
=1,
∴2(2x+a)-(x-a)=6.
∴x=-a+2.
∴15-2a
13
=-a+2.
∴a=1.∴x=1.
综上,a=1,解集为{1}.。