贵州省六盘水市2020年高二第二学期数学期末联考试题含解析

贵州省六盘水市2020年高二第二学期数学期末联考试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n =1000)，利用2×2列联表和2χ统计量研究患肺病是否与吸烟有
关.计算得2
4.453χ=，经查阅临界值表知(
)
2
3.8410.05P χ≈…
，下列结论正确的是( )
A ．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病
B ．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病
C ．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
D ．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 2．若()2100112100
2a a x a x a x x +++=+-L ，则0123102310a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．10
B ．-10
C ．1014
D ．1034
3．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，若(1)0.2P ξ>=，则(11)P ξ-≤≤=（ ） A ．0.4
B ．0.8
C ．0.6
D ．0.3
4．若方程2210ax x -+=在区间（-1,1）和区间（1,2）上各有一根,则实数a 的取值范围是( ) A ．31a -<<
B ．
3
14
a << C ．334
a -<<
D ．3a <-或34
a >
5．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：221x y +＝经过伸缩变换'2'x x
y y =⎧⎨=⎩
后得到线C 2，则曲线C 2的方程为
（ ） A ．4x 2
+y 2
＝1
B ．x 2+4y 2
＝1
C ．2
24+=x y 1
D ．x 2
2
4
+=y 1
6．已知集合{
}
2
50M x x x =-，{2,3,4,5,6,7,8}N =,则M N ⋂等于( )
A ．{}3,4
B ．{}5,6
C ．{}2,3,4
D ．{}2,3,4,5
7．定义在R 上的函数1()()12
x m
f x -=-为偶函数，记0.52(lo
g 2),(log 1.5)a f b f ==，()c f m =，则
（ ） A ．c a b << B ．a c b << C ．a b c <<
D ．c b a <<
8．已知函数()cos()0,||2f x A wx w πφφ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，其中N ，P 的坐标分别为5,A 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，则函数f （x ）的单调递减区间不可能为（ ）
A ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．73,88ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦ C ．921,48ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ D ．933,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
9．9
3x x
的展开式中有理项的项数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．10,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．13,24⎛⎫
⎪⎝⎭
11．乘积()()()()()12...1920m m m m m m N +++++∈可表示为（ ） A ．21
20m A +
B ．21
m A
C ．01±（，）
D ．20
m A
12． “m≠0”是“方程22x y -=m 表示的曲线为双曲线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．椭圆2sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的焦距为________.
14．若RtΔABC 的斜边AB =5，BC =3，BC 在平面α内，A 在平面α内的射影为O ，AO =2，则异面直线AO 与BC 之间的距离为___________．
15．已知随机变量X 的分布表如下所示，则实数x 的值为______.
X
1 2 3
P
2
x
1
4
x
16．某校从6名教师中选派3名教师去完成3项不同的工作，每人完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_____种. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标24π)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－4
π
)＝a ，． （1）若点A 在直线l 上，求直线l 的直角坐标方程；
（2）圆C 的参数方程为2cos sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩(α为参数)，若直线l 与圆C 相交的弦长为2，求a 的值．
18．3名男生、2名女生站成一排照相：
（1）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？ （2）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？ 19．（6分）不等式
5212
x
x ->+的解集是A ，关于x 的不等式22450x mx m --≤的解集是B 。

(1)若1m =,求A B I ；
(2)若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围。

20．（6分）学校某社团参加某项比赛，需用木料制作如图所示框架，框架下部是边长分别为,x y 的矩形，上部是一个半圆，要求框架围成总面积为8.
（1）试写出用料（即周长C ）关于宽x 的函数解析式，并求出x 的取值范围； （2）求用料（即周长C ）的最小值，并求出相应的x 的值.
21．（6分）把6本不同的书，全部分给甲，乙，丙三人，在下列不同情形下，各有多少种分法？（用数字作答） (Ⅰ)甲得2本； (Ⅱ)每人2本；
(Ⅲ)有1人4本，其余两人各1本．
22．（8分）已知函数()2 1.()f x x g x x a =+=+ . (1)当0a = 时，解不等式()()f x g x ≥ ；
(2)若不等式()2()f x g x ≥有实数解，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】
将计算出的2
4.453χ=与临界值比较即可得答案。

【详解】
由题得2
4.435 3.841χ=>，且由临界值表知2( 3.841)0.05P χ≈…
，所以有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，故选C. 【点睛】
本题考查独立性检验，解题的关键是将估计值与临界值比较，属于简单题。

2．C 【解析】 【分析】
先求出0a ，对等式两边求导，代入数据1得到答案. 【详解】
()
2100112100
2a a x a x a x x +++=+-L
取10
.002x a =⇒=
对等式两边求导12319029
23110(2)0a a a x x x x a +++⋅⋅⋅+⇒--=
取1x =1231001231023102310140110a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=⇒-=⇒ 故答案为C 【点睛】
本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键. 3．C 【解析】
分析：根据随机变量ξ服从正态分布(
)2
0,N σ
，得到正态曲线关于0x =对称，根据(1)0.2P ξ>=，
得到对称区间上的概率，从而可求()11P ξ-≤≤． 详解：由随机变量ξ服从正态分布(
)2
0,N σ可知正态密度曲线关于y 轴对称，
而(1)0.2P ξ>=，
则10.2P
ξ-=（＜），
故111110.6P
P P （）（＞）（＜）ξξξ-≤≤=---= ， 故选：C ．
点睛：本题主要考查正态分布的概率求法，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解． 4．B 【解析】 【分析】
函数f （x ）＝2
21ax x -+在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，则()()()()110120f f f f ⎧-⎪⎨⎪⎩
＜＜，
解得即可． 【详解】
∵函数f （x ）＝ax 2﹣2x+1在区间（﹣1，1）和区间（1，2）上分别存在一个零点，
∴()()()()110
120f f f f ⎧-⎪⎨⎪⎩
＜＜，
即()()(
)()3101430a a a a ⎧+-⎪
⎨
--⎪⎩＜＜，
解得34
＜a ＜1， 故选B ． 【点睛】
本题考查函数零点的判断定理，理解零点判定定理的内容，将题设条件转化为关于参数的不等式组是解本题的关键． 5．C 【解析】 【分析】
根据条件所给的伸缩变换'2'x x
y y
=⎧⎨=⎩，反解出x 和y 的表达式，然后代入到1C 中，从而得到曲线2C .
【详解】
因为圆2
2
1:1C x y +=，经过伸缩变换'2'x x
y y
=⎧⎨
=⎩
所以可得2x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入圆22
1:1C x y +=
得到2
212x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭
整理得22
14x y ''+=，即2214
x y +=
故选C 项. 【点睛】
本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程，属于简单题. 6．C 【解析】 【详解】
分析：利用一元二次不等式的解法求出M 中不等式的解集确定出M ，然后利用交集的定义求解即可. 详解：由M 中不等式变形得()50x x -<， 解得05x <<，即{}|05M x x =<<，
因为{}2,3,4,5,6,7,8N =，{}2,3,4M N ∴⋂=，故选C.
点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥. 7．C 【解析】
分析：根据f （x ）为偶函数便可求出m=0，从而f （x ）=1
()12
x
-，这样便知道f （x ）在[0，+∞）上单调递减，根据f （x ）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：0.5(|log 2|)a f =，()2log 1.5b f =，
()0c f =，然后再比较自变量的值，根据f （x ）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a ，b ，c 的大小．
详解：∵f （x ）为偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ）.
∴11()
1()12
2
x m
x m
----=-，∴|﹣x ﹣m|=|x ﹣m|，
∴（﹣x ﹣m ）2=（x ﹣m ）2， ∴mx=0， ∴m=0. ∴f （x ）=1()12
x
-
∴f （x ）在[0，+∞）上单调递减，并且0.5(|log 2|)a f ==2(log 2)(1)f f =,()2
log 1.5b f = ,c=f （0）,
∵0＜log 21.5＜1 ∴a b c <<,故答案为C
点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的
掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是分析出函数f （x ）=1()12
x
-的单调性，此处利用了复合函
数的单调性，当x>0时，u x =是增函数，1()2u v =是减函数，1t v =-是增函数，
所以函数1()()12
x
f x =-是(0,)+∞上的减函数. 8．D 【解析】 【分析】
利用排除法，根据周期选出正确答案． 【详解】
根据题意，设函数()cos()f x A wx φ=+的周期为T ，则311534884
T πππ
=-=,所以 T π=.因为在选项D 中，区间长度为339388
ππ
π-= ∴()f x 在区间933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上不是单调减函数．所以选择D 【点睛】
本题考查了余弦函数()cos()f x A wx φ=+的图象与性质的应用问题，解决此类问题需要结合单调性、周期等．属于中等题． 9．B 【解析】 【分析】
求得二项式展开式的通项公式，由此判断出有理项的项数. 【详解】
1
92
(x 的展开式通项为2751
962199()C (1)(1)C x r r r r r r
r T x x --+=⋅-=⋅⋅⋅⋅-，当3r =或9r =时，为
有理项，所以有理项共有2项. 故选：B 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式，属于基础题. 10．C 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪
⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩
,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数()43x
f x e x =+-在R 上连续单调递增，
且11
44
11
22114320
4411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
内，故选C. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 11．A 【解析】 【分析】
根据对排列公式的认识，进行分析，解答即可 【详解】
Q 最大数为20m +，∴共有21个自然数连续相乘
根据排列公式可得()()()()21
2012...1920m m m m m m A +++++=
故选A 【点睛】
本题是一道比较基础的题型，主要考查的是排列与组合的理解，掌握排列数的公式是解题的关键 12．C 【解析】 【分析】
根据双曲线的标准方程进行判断． 【详解】
0m =时，方程2
2
0x y -=表示两条直线y x =±，0m ≠时，方程可化为22
1x y
m m
-=，0m >时表示焦
点在x 轴上的双曲线，0m <时表示焦点在y 轴上的双曲线． 故选C ．
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程，考查充分必要条件，解题关键是掌握双曲线的标准方程． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．1 【解析】 【分析】
根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，据此可得a 、b 的值，计算可得c 的值，由椭圆的几何性质分析可得答案． 【详解】
解：根据题意，椭圆的参数方程为2x cos y sin θθ
⎧=⎪
⎨
=⎪⎩（θ为参数），
则其标准方程为2
2
x +y 1＝1，
其中a 2=
，b ＝1，
则c 22a b =-=1， 则椭圆的焦距1c ＝1； 故答案为：1． 【点睛】
本题考查椭圆的参数方程，椭圆简单的几何性质，关键是将椭圆的参数方程变形为普通方程． 14．23 【解析】 【分析】
连接OC ，通过证明AO OC ⊥和BC OC ⊥可知OC 即为异面直线AO 与BC 之间的距离，利用勾股定理可求得结果. 【详解】 连接OC
AO α⊥Q ，BC α⊂，OC α⊂ AO BC ∴⊥，AO OC ⊥
又BC AC ⊥ BC ∴⊥平面AOC ，又OC ⊂平面AOC BC OC ∴⊥
OC ∴即为异面直线AO 与BC 之间的距离
又4AC =
= OC ∴==
本题正确结果：【点睛】
本题考查异面直线间距离的求解，关键是能够通过垂直关系找到异面直线之间的公垂线段. 15．
12
【解析】 【分析】
利用分布列的性质，概率之和为1，列方程解出实数x 的值. 【详解】
由分布列的性质，概率之和为1，可得2
1
14
x x ++
=，化简得24430x x +-=. 01x <<Q ，因此，12
x =
，故答案为12.
【点睛】
本题考查分布列的基本性质，解题时要充分利用概率之和为1来进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 16．48 【解析】 【分析】
先选人后分配，选人分有甲丙和没有甲丙2种情况，然后选出的3人全排列，两步的结果相乘可得解. 【详解】
根据题意，可以分两步完成选派：①先从6名教师中选出3名老师，需分2种情况进行讨论.1.甲和丙同去，
有14C 4=种不同选法；2.甲和丙同不去，有3
44C =种不同选法，所以不同的选法有448+=种.②将选出的3名老师全排列，对应3项不同的工作，有3
36A =种情况.根据分步计数原理得不同的选派方案共有
4868=⨯种.
【点睛】
本题主要考查排列组合的综合题，先选人后分配是解决本题的关键. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17． (1) 20x y +-= (2) 2a =或2
a = 【解析】
试题分析：（1）通过点A 在直线l 上，列出方程得到a ，然后求解直线l 的直角坐标方程（2）消去参数，求出()2x cos y sin 为参数ααα
=+⎧⎨=⎩的普通方程，通过圆心到直线的距离半径半弦长的关系，即可求a 的值． 试题解析：（1
）由点4A π⎫⎪⎭在直线cos()4πρθ-=a 上，可得a
所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=
从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.
（2）由已知得圆C 的直角坐标方程为()2221x y -+=
所以圆C 的圆心为（2，0），半径1r =，
而直线l
的直角坐标方程为x y +=，若直线l 与圆C
则圆心到直线l
的距离为2
，所以2d ==
求得2a =
或2
a = 18．（1）36（2）48
【解析】
【分析】
（1）先选两个男生放在两端，剩余一个男生和两个女生全排列；
（2）两名女生看成一个整体，然后和三名男生全排列，注意两个女生之间也要全排.
【详解】
解：（1）由已知得
23336636A A ⨯=⨯=. （2）由已知得
424224248A A ⨯=⨯=.
【点睛】
排列组合组合问题中，要注意一个原则：特殊元素优先排列，当优先元素的问题解决后，后面剩余的部分就比较容易排列组合. 19． (1) [)1,1A B ⋂=- (2) (][
),?
12,m ∈-∞-⋃+∞ 【解析】
【分析】
(1)解集合A ，当1m =解得集合B,从而可得A B ⋂；（2）由A B B ⋃=可得A B ⊆，对m 进行讨论得出集合B 的范围即可得出m 范围.
（1）5212
x x ->+,解得-21x <<即()2,1A =-，由1m =得2450x x --≤，所以[]1,5B =-,所以[)1,1A B ⋂=-;
(2)22 450x mx m --≤ 即()()50x m x m +-≤ (i)[]
0,,5m B m m >=-,所以2m -≤-且51m ≥，得2m ≥；(ii)[]0,5,m B m m <=-,所以52m ≤-且1m -≥，得1m ≤-；
综上，(][),12,m ∈-∞-⋃+∞.
【点睛】
本题考查了分式不等式和二次不等式的解法，集合交集的运算，集合补集运算的转化，属于中档题.
20．（1）1624C x x π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭，0x <<（2）min C =x = 【解析】
【分析】
（1）根据面积可得到y 与x 的关系，写出周长即可（2）根据（1）写出的1624C x x
π⎛⎫=+
+ ⎪⎝⎭，利用均值不等式求解即可.
【详解】 （1）21822x S xy π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q 88x y x π⇒=-， 222x
C x y π∴=++=16242
x x x x ππ+-+， 1624C x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝
⎭，
由2808x y x π=->得0x <<
（2）1624C x x π⎛
⎫=++≥ ⎪⎝⎭Q
min C ∴=
当且仅当1624x x π⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，即x =等号成立. 【点睛】
本题主要考查了实际问题中的函数关系，均值不等式，属于中档题.
21．（Ⅰ）240种（Ⅱ）90种（Ⅲ）90种
【分析】
（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选2本，分给甲，②，将剩下的4本分给乙、丙，由分步计数原理计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：①，将6本书平均分成3组，②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案；
（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，由分步计数原理计算可得答案；
【详解】
（Ⅰ）根据题意，分2步进行分析：
①，在6本书中任选2本，分给甲，有C 62＝15种选法，
②，将剩下的4本分给乙、丙，每本书都有2种分法，则有2×2×2×2＝16种分法，
则甲得2本的分法有15×16＝240种；
（Ⅱ）根据题意，分2步进行分析：
①，将6本书平均分成3组，有22264233
C C C A =15种分组方法， ②，将分好的3组全排列，分给甲乙丙三人，有A 33＝6种情况，
则有15×6＝90种分法；
（Ⅲ）根据题意，分2步进行分析：
①，在6本书中任选4本，分给三人中1人，有C 64×C 31＝45种分法，
②，将剩下的2本全排列，安排给剩下的2人，有A 22＝2种情况，
则有45×2＝90种分法．
【点睛】
本题考查排列、组合的应用，考查了分组分配问题的步骤，涉及分类、分步计数原理的应用，属于中档题．
22．（1）(]11[)3，
，-∞-⋃-+∞（2）12
a ≤ 【解析】
试题分析： (1)将绝对值不等式两边平方可得不等式的解集为(]113⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭，
， (2)将原问题转化为()max 2212a x x
≤+-，结合绝对值不等式的性质可得实数a 的取值范围是12a ≤. 试题解析：
(1)依题意得21x x +≥，两边平方整理得23410x x ++≥
故原不等式的解集为(]113⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭，
， (2)依题意，存在x R ∈使得不等式2122x x a +≥+成立， ∴()max 2212a x x ≤+- ∵()2122121x x x x +-≤+-=，∴()max 2121x x +-=， ∴12
a ≤。