上海浦东模范中学八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案

上海浦东模范中学八年级上册期末数学模拟试卷含详细答案
一、选择题
1．下列各组中，没有公因式的一组是（）
A．ax－bx与by－ay B．6xy－8x2y与－4x+3
C．ab－ac与ab－bc D．（a－b）3与（b－a）2y
2．如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AE＝AF，图中共有（）对全等三角形.
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠BAE＋∠DAC＝180°．
其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（）
A．5°B．13°C．15°D．20°
5．如图，在△ABC中，AG＝BG，BD＝DE＝EC，CF＝4AF，若四边形DEFG的面积为14，则△ABC的面积为（）
A ．24
B ．28
C ．35
D ．30 6．已知：如图，AB ⊥CD 于O ，EF 为经过点O 的一条直线，那么∠1与∠2的关系是
（ ）
A ．互为对顶角
B ．互补
C ．互余
D ．相等
7．如图，等边ABC ∆的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是边AC 上一点，若3AE =，则EM CM +的最小值为（ ）
A ．226
B ．33
C ．23
D ．92 8．有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A ．2cm ，3cm ，4cm
B ．1cm ，4cm ，2cm
C ．1cm ，2cm ，3cm
D ．6cm ，2cm ，3cm 9．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（ ） A ．8
B ．9.6
C ．10
D ．12 10．以下列各组线段的长度为边，能组成三角形的是（ ）
A ．2，3，6
B ．10，10，1
C ．4，5，1
D ．4，6，11 二、填空题
11．如图，AB ∥CD ，EF 交AB 、CD 于点G 、H ，GM 、HM 分别平分∠BGH 、∠GHD ，GM 、HM 交于点M ，则∠GMH ＝_________．
12．分解因式 -2a 2+8ab-8b 2=______________.
13．如图，在ABC ∆中，o o 9030C B AD ∠=∠=，，是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，垂足为E ，1DE =，则ABC ∆的周长为________．
14．三角形的两条边长分别是2cm ，8cm ，第三边为奇数，则其周长为________．
15．如果把27xy x y =-中的x ，y 都缩小到原来的13
，那么分式的值变为__________． 16．已知点(,4)M a -与点(6,)N b 关于直线2x =对称，那么-a b 等于______．
17．若41,643n n x y =+=-，用含x 的代数式表示y ，则y ＝_________________．
18．等腰三角形的底边长为6cm ，一腰上的中线把三角形分成的两部分周长之差为4cm ，则这个等腰三角形周长为_____cm ．
19．化简：2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭
=__________ ． 20．若分式方程3211m x x
+=--的解为正数，则m 的取值范围是__________． 三、解答题
21．如图，已知AOB ∠，点P 是OA 边上的一点．
（1）在OA 的右侧作APC AOB ∠=∠（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线PC 与直线OB 的位置关系，并说明理由．
22．如图，在△ABC 中，A ABC ∠=∠，直线EF 分别交AB 、AC 点D 、E ，CB 的延长线于点F ，过点B 作//BP AC 交EF 于点P ，
（1）若70A ∠=︒，25F ∠=︒，求BPD ∠的度数．
（2）求证：2F FEC ABP ∠+∠=∠．
23．先化简：2222421121
m m m m m m m ---÷+--+，其中m 从0，1，2中选一个恰当的数求
值．
24．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出（a+b ）2、（a ﹣b ）2、ab 之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的结论，若x+y ＝5，x•y ＝94
，则x ﹣y ＝ ； （3）拓展应用：若（2019﹣m ）2+（m ﹣2020）2＝15，求（2019﹣m ）（m ﹣2020）的值．
25．如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD 是∠BAC 的平分线．
26．如图，在ABC 中，4654,B C AD ∠=︒∠=︒,平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 是边AC 上一点,连接DE ，若40ADE ∠=︒，求证：//DE AB ．
27．如图，ABC ∆中，30A ∠=︒，70B ∠=︒，CE 平分ACB ∠，CD AB ⊥于D ，DF CE ⊥，求CDF ∠的度数．
28．如图1，在三角形ABC 中，D 是BC 上一点，且∠CDA ＝∠CAB ．（注：三角形内角和等于180°）
（1）求证：∠CDA ＝∠DAB +∠DBA ；
（2）如图2，MN 是经过点D 的一条直线，若直线MN 交AC 边于点E ，且∠CDE ＝∠CAD ．求证：∠AED +∠EAB ＝180°；
（3）将图2中的直线MN 绕点D 旋转，使它与射线AB 交于点P （点P 不与点A ，B 重合）．在图3中画出直线MN ，并用等式表示∠CAD ，∠BDP ，∠BPD 这三个角之间的数量关系，不需证明．
29．阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier ，1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系，对数的定义：一般地，若()0,1x
a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log N a x =，比如指数式4216=可以转化为1624log =，对数式25
52log =可以转化为2525=，我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：()log log log a a a MN M N =+ ()0,1,0,0a a M N >≠>>)，理由如下：
设log ,log a a M m N n ==则m n M a N a ==，
∴m n m n MN a a a +==，由对数的定义得log ()a m n MN +=
又∵log log a a m n M N +=+，
所以()log log log a a a MN M N =+，解决以下问题：
（1）将指数3464=转化为对数式____；计算2log 8=___；
（2）求证：log log log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N
=->≠>> （3）拓展运用：计算333log 2log 6log 4+-=
30．已知，//AB CD ，点M 在AB 上，点N 在CD 上．
（1）如图1中，BME E END ∠∠∠、、的数量关系为：________；（不需要证明） 如图2中，BMF F FND ∠∠∠、、的数量关系为：__________；（不需要证明）
（2）如图3中，NE 平分FND ∠，MB 平分FME ∠，且2180E F ∠+∠=︒，求FME ∠的度数；
（3）如图4中，60BME ∠=︒，EF 平分MEN ∠，NP 平分END ∠，且//EQ NP ，则FEQ ∠的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出FEQ ∠的度数．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
将每一组因式分解，找到公因式即可．
【详解】
解：A 、ax-bx=（a-b ）x ，by-ay=（b-a ）y ，有公因式（a-b ），故本选项错误； B 、6xy-8x 2y=2xy （3-4x ）与-4x+3=-（4x-3）有公因式（4x-3），故本选项错误； C 、ab-ac=a （b-c ）与ab-bc=b （a-c ）没有公因式，故本选项正确；
D 、（a-b ）3x 与（b-a ）2y 有公因式（a-b ）2，故本选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查公因式，熟悉因式分解是解题关键．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
本题主要考查两个三角形全等的条件:两边夹一角(SAS),两角夹一边(ASA),两角对一边(AAS),三条边(SSS),HL.
【详解】
7对.理由:根据全等三角形判定可知:△ABE≌△ACF；△ABD≌△ACD；△ABO≌△ACO；△AEO≌△AFO；△COE≌△BOF；△DCO≌△DBO；△BCE≌△CBF.故选C.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，学生们熟练掌握判定的方法即可.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出△ABD ≌△ACE ，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；
②由△ABD ≌△ACE 得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°； ④由题意，∠BAE ＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=180°．
【详解】
解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，即∠BAD=∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE ，本选项正确；
②∵△BAD ≌△CAE ，
∴∠ABD=∠ACE ，
∵∠ABD+∠DBC=45°，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
则BD ⊥CE ，本选项正确；
③∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=45°，
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；
④由题意，∠BAE ＋∠DAC=360°-∠BAC-∠DAE=360°-90°-90°=180°，本选项正确； 故选D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE 是∠BAC 的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD 是BC 边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE ，问题得解．
【详解】
在△ABC 中，
∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，
∵AE 是∠BAC 的平分线，
∴∠BAE=∠CAE=41°.
又∵AD 是BC 边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵在△ABD 中∠BAD=90°−∠B=56°，
∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.
【点睛】
在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接CG BF 、，设AFG S m ∆=，表示出BDG S ∆、CFE S ∆，进而得出四边形DEFG 的面积的表达式，从而求出m 的值，即可得出△ABC 的面积．
【详解】
解：连接CG BF 、，过点F 作FM AB ⊥于点M ，
设AFG S m ∆=，
∵G 为AB 的中点，
∴AG BG =， ∵12AFG S AG FM ∆=，12
FGB S BG FM ∆=， ∴AFG FGB S S m ∆∆==，
∴2AFB S m ∆=，
∵4CF AF =，
∴同理可得：8BFC S m ∆=，
∴10ABC S m ∆=，
∵BD DE EC ==，
∴3BC EC =， ∴同理可得：1833CFE BFC S S m ∆∆=
=， ∵G 为AB 的中点，
∴同理可得：5ACG BCG S S m ∆∆==，
∵BD DE EC ==，
∴3BC BD =， ∴同理可得：1533
BDG BCG S S m ∆∆==， ∴四边形DEFG 的面积为：851410333m m m m m --
-=， ∴14=143
m ，解得：3m =， ∴10=103=30ABC S m ∆=⨯，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积的应用，如果知道两个三角形同高，那么这两个三角形的面积的比等于它们的底的比，牢记此性质是解题的关键．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据垂线的定义得出∠BOD=90°；然后由平角的定义来求∠1与∠2的关系．
【详解】
解：∵AB ⊥CD ，
∴∠BOD ＝90°．
又∵EF 为过点O 的一条直线，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠BOD ＝90°，
即：∠1与∠2互余，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了垂线的定义、平角的定义、角的互余关系；熟练掌握垂线的定义和平角的定义是解题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接BE ，与AD 交于点M ，BE 就是EM CM +的最小值，根据等边三角形的性质求解即可.
【详解】
解：连接BE ，与AD 交于点M ，
AD 是BC 边上的中线，
AD BC ∴⊥，
AD ∴是BC 的垂直平分线，
B ∴、
C 关于A
D 对称，
BE ∴就是EM CM +的最小值，
等边ABC 的边长为6，
∴3BD =，6AB =,
2233AD AB BD ∴=-=
3AE =，
633CE AC AE ∴=-=-=，
BE ∴是AC 的垂直平分线，
∵ABC 是等边三角形， 易得 33BE AD ==，
EM CM BE +=，
EM CM ∴+的最小值为33，
故选：B ．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、轴对称-路径最短等内容，明确当B ，M ，E 三点共线时EM CM +最短是解题的关键．
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的之差一定小于第三边；进行解答即可．
【详解】
A 、2+3＞4，能围成三角形；
B 、1+2＜4，所以不能围成三角形；
C 、1+2=3，不能围成三角形；
D 、2+3＜6，所以不能围成三角形；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系的应用，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可.
【详解】
如图，作CE AB ⊥与E.
AD 是ABC ∆的中线,BC =12,
∴BD=6,
10,8,6,AB AD BD ===
∴ 222AB AD BD =+,
90,ADB ∴∠=
,AD BC ∴⊥ 11,22ABC S BC AD AB CE ∆=
= 1289.6.10
CE ⨯∴=
= 故选B.
【点睛】 本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A 、2+3＜6，不能组成三角形；
B 、1+10＞10，能组成三角形；
C 、1+4=5，不能组成三角形；
D 、4+6＜11，不能组成三角形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
二、填空题
11．90°
【解析】
【分析】
由平行线性质可得到，再由角平分线定义可得到．
【详解】
解：∵AB∥CD
∴∠BGH+∠GHD=180（两直线平行，同旁内角互补）
又GM 、HM 分别平分∠BGH、∠GHD
解析：90°
【解析】
【分析】
由平行线性质可得到180BGH GHD ∠+∠=︒，再由角平分线定义可得到
90GMH ∠=︒．
【详解】
解：∵AB ∥CD
∴∠BGH+∠GHD=180︒（两直线平行，同旁内角互补）
又GM 、HM 分别平分∠BGH 、∠GHD ，
∴∠MGH+∠GHM=90︒（角平分线的定义）
∴ ∠GMH=180︒-（∠MGH+∠GHM ）=180︒-90︒=90︒（三角形内角和定理）． 故答案为 90°．
【点睛】
本题考查三角形内角和、角平分线及平行线的综合应用，熟练掌握有关性质、定义和定理是解题关键．
12．-2(a-2b)2
【解析】
【分析】
【详解】
解：-2a2+8ab-8b2
=-2（a2-4ab+4b2）
=-2(a-2b)2
故答案为-2(a-2b)2
解析：-2(a-2b)2
【解析】
【分析】
【详解】
解：-2a 2+8ab-8b 2
=-2（a 2-4ab+4b 2）
=-2(a-2b)2
故答案为-2(a-2b)2
13．；
【解析】
【分析】
在△ACD 、△ADE 、△DEC 都是含有30°的直角三角形，利用边之间的关系，得出各边长，从而得出△ABC 的周长．
【详解】
∵∠C=90°，∠B=30°，DE=1
∴在Rt△
解析：3+
【解析】
【分析】
在△ACD、△ADE、△DEC都是含有30°的直角三角形，利用边之间的关系，得出各边长，从而得出△ABC的周长．
【详解】
∵∠C=90°，∠B=30°，DE=1
∴在Rt△DEB中，DB=2，
∵AD是∠CAB的角平分线
∴CD=DE=1，∠CAD=∠DAE=30°
∴在Rt△ACD中，AD=2，AC=
同理，在Rt△ADE中，AD=2，
∴△ABC的周长
故答案为：
【点睛】
本题考查含30°角的直角三角形、角平分线的性质，解题关键是得出△ACD、△ADE、
△DEC都是含有30°的直角三角形．
14．17cm或19cm
【解析】
【分析】
三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和．
【详解】
解：8-2＜第三边＜8+2⇒6＜第三边＜10，这个范围的奇数是7和9，所以三角形的周长
解析：17cm或19cm
【解析】
【分析】
三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和．
【详解】
解：8-2＜第三边＜8+2⇒6＜第三边＜10，这个范围的奇数是7和9，所以三角形的周长是2+8+7=17（cm）或2+8+9=19（cm）
故答案为：17cm或19cm．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，首先根据题意求出第三边，然后再求出周长，难度较小．
15．9
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
∵，x ，y 都缩小到原来的，
∴，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的
解析：9
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】 ∵27xy x y =-，x ，y 都缩小到原来的13
， ∴19913()
()3xy xy x y x y ==--， 故答案为：9．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
16．2
【解析】
【分析】
轴对称图形的性质是对称轴垂直平分对应点的连线，且在坐标系内关于x 对称，则y 相等，所以，．
【详解】
点与点关于直线对称
∴，
解得，
∴
故答案为2．
【点睛】
本题考察了坐
解析：2
【解析】
【分析】
轴对称图形的性质是对称轴垂直平分对应点的连线，且在坐标系内关于x 对称，则y 相等，所以
622a +=，4b -=． 【详解】
点(,4)M a -与点(6,)N b 关于直线2x =对称 ∴622
a +=，4
b -= 解得2a =-，
∴2(4)2-=---=a b
故答案为2．
【点睛】
本题考察了坐标和轴对称变换，轴对称图形的性质是对称轴垂直平分对应点的连线，此类题是轴对称相关考点中重要的题型之一，掌握对轴对称图形的性质是解决本题的关键．
17．；
【解析】
【分析】
根据题意，得到，然后代入，即可得到与的关系式．
【详解】
∵，
∴，
∴，
故填：．
【点睛】
本题考查了幂的乘方，以及代数式的表示，灵活利用整体代入法是解题的关键．
解析：()3
13x --；
【解析】
【分析】
根据题意，得到4-1n x =，然后代入643n y =-，即可得到y 与x 的关系式．
【详解】
∵41n x =+，
∴4-1n x =，
∴33643=(4)-3=(-1)-3n n y x =-，
故填：()313x --．
【点睛】
本题考查了幂的乘方，以及代数式的表示，灵活利用整体代入法是解题的关键． 18．26
【解析】
【分析】
首先设腰长为xcm ，等腰三角形底边长为6cm ，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为4cm ，可得x ﹣6＝4或6﹣x ＝4，继而可求得答案．
【详解】
解：设腰长为xcm ，
根据
解析：26
【解析】
【分析】
首先设腰长为xcm ，等腰三角形底边长为6cm ，一腰上的中线将其周长分成两部分的差为4cm ，可得x ﹣6＝4或6﹣x ＝4，继而可求得答案．
【详解】
解：设腰长为xcm ，
根据题意得：x ﹣6＝4或6﹣x ＝4，
解得：x ＝10或x ＝2（舍去），
∴这个等腰三角形的周长为10+10+6＝26cm ．
故答案为：26．
【点睛】
考核知识点：等腰三角形.理解三角形中线的意义是关键.
19．【解析】
【分析】
先计算括号内的加法，除法转化成乘法，约分后可得结果．
【详解】
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了分式的化简，掌握分式的混合运算的顺序与方法是解题的关键． 解析：11
x - 【解析】
【分析】
先计算括号内的加法，除法转化成乘法，约分后可得结果．
【详解】
2111x x x -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭ 1(1)(1)x x x x x +=
⋅+- 11
x =-． 故答案为：
11x -． 【点睛】
本题考查了分式的化简，掌握分式的混合运算的顺序与方法是解题的关键．
20．m ＞1且m≠3
【解析】
【分析】
方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x ，再列不等式得出m 的取值范围．
【详解】
解：方程两边同乘以x-1，得，m-3=2(x-1)，
解得，
∵分式方程解为正
解析：m ＞1且m ≠3
【解析】
【分析】
方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x ，再列不等式得出m 的取值范围．
【详解】
解：方程两边同乘以x-1，得，m-3=2(x-1)， 解得12
m x -=， ∵分式方程
3211m x x +=--解为正数 ∴102
m x -=>且x-1≠0，
即m＞1且
1
1 2
m-
≠，
∴m＞1且m≠3，
故答案为：m＞1且m≠3．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，要注意分式的分母不为0的条件，此题是一道易错题，有点难度．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）//
PC OB，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）首先以相同的半径分别过O、P两点画弧EF、MN；然后以线段EF为半径，以M点为圆心画弧，与弧MN交于点N，最后根据不重合的两点确定一条直线的性质，过点P、N 做射线PC，∠APC即为所要求作的角；
（2）由（1）知所作的新角与∠AOB大小相等，且为同位角，所以直线PC与直线OB的位置关系一定是平行．
【详解】
解：（1）如图，APC
∠就是所要求作的角
（2）直线PC与直线OB的位置关系为：//
PC OB
理由如下：
由（1）作图可得：APC AOB
∠=∠,
∴//
PC OB．
【点睛】
本题主要考查了尺轨作图，具体为作一个角等于已知角，及用同位角相等判定两直线平行的知识．
22．（1）65°；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）运用三角形内角和定理先求出∠C的度数，再应用平行线性质求出∠PBF的度数，最后应用三角形外角与内角的关系求出∠BPD．
（2）先证明∠F+∠FEC=∠PBC，再证∠PBC=2∠ABP．
【详解】
解：（1）在ABC ∆中，
∵∠A=70°，∠A=∠ABC
∴由内角和定理可得40C ∠=
又∵//BP AC
∴65BPD AEF C F ∠=∠=∠+∠=
（2） 在ABC ∆中，
∵∠A =∠ABC
∴ 由内角和定理可得2180A C ∠+∠=
同理， 在CEF ∆中
由三角形内角和定理得180F FEC C ∠+∠+∠=
∴2F FEC A ∠+∠=∠
又∵//BP AC
∴ABP A ∠=∠
即2F FEC ABP ∠+∠=∠．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和的综合题．用已知条件结合图形运用相关定理找角的关系是基本技能，是解本题的关键．
23．21
m +，2 【解析】
【分析】
原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把0m =代入计算即可求出值．
【详解】 解：2222421121
m m m m m m m ---÷+--+ 2
22(2)(1)1(1)(1)2
m m m m m m m --=-⋅++-- 21
m =+ 因为m+10≠ ，m-10≠，m-20≠
所以m 1≠- ，m 1≠，m 2≠
当0m =时，原式2=．
【点睛】
此题考查了解分式方程，以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（1）(a+b)2-(a-b)2=4ab ；（2）±4；（3）-7
【解析】
【分析】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2，图1的面积和图2中白色部分的面积相等即可求解．
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy，将x+y＝5，x•y＝9
4
代入(x+y)2-(x-y)2=4xy，即可求得x-y
的值
（3）因为(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1，等号两边同时平方，已知(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15，即可求解．
【详解】
（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为(a+b)2-(b-a)2=(a+b)2-(a-b)2∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等
∴(a+b)2-(a-b)2=4ab
故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab
（2）由（1）知，(x+y)2-(x-y)2=4xy
∵x+y＝5，x•y＝9 4
∴52-(x-y)2=4×9 4
∴(x-y)2=16
∴x-y=±4
故答案为：±4
（3）∵(2019﹣m)+(m﹣2020)＝-1
∴[(2019﹣m)+(m﹣2020)]2=1
∴(2019﹣m)2+2(2019﹣m)(m﹣2020)+ (m﹣2020)2=1
∵(2019﹣m)2+(m﹣2020)2＝15
∴2(2019﹣m)(m﹣2020)=1-15=-14
∴(2019﹣m)(m﹣2020)=-7
故答案为：-7
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
25．证明见解析．
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得∠DBC=∠DCB，结合条件，得∠ABC=∠ACB，进而得AB=AC，易证△ABD≌△ACD，进而即可得到结论．
【详解】
∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB．
∵∠1=∠2，
∴∠ABC =∠ACB ，
∴AB =AC ，
在△ABD 与△ACD 中
∵12AB AC BD DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACD (SAS)，
∴∠BAD =∠CAD ，
∴AD 是∠BAC 的平分线．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理以及三角形全等的判定和性质定理，掌握等腰三角形的判定和性质定理以及三角形全等的判定和性质定理是解题的关键．
26．证明见解析
【解析】
【分析】
先求出∠BAC 的度数，进而得出∠BAD ，因为∠BAD=40°=∠ADE ，由“内错角相等，两直线平行”即可判断．
【详解】
证明:在ABC ∆中，46,54,B C ︒︒∠=∠=
180465480BAC ︒︒︒︒∴∠=--=， AD 平分,BAC ∠ 1402
BAD BAC ︒∴∠=∠=， 40,ADE ︒∠=
.ADE BAD ∴∠=∠
//.DE AB ∴
【点睛】
本题考查角的运算，角平分线的性质定理以及平行线的判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
27．70CDF ∠=︒
【解析】
【分析】
首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，以及∠BCD 的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE 的度数，则∠ECD 可以求解，然后在△CDF 中，利用内角和定理即可求得∠CDF 的度数．
【详解】
解：∵30A ∠=︒，70B ∠=︒，
∴18080ACB A B ∠=︒-∠-∠=︒.
∵CE 平分ACB ∠，∴1402
ACE ACB ∠=∠=︒. ∵CD AB ⊥于D ，∴90CDA ∠=︒，18060ACD A CDA ∠=︒-∠-∠=︒.
∴20ECD ACD ACE ∠=∠-∠=︒.
∵DF CE ⊥，∴90CFD ∠=︒，
∴18070CDF CFD ECD ∠=︒-∠-∠=︒.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和等于180°以及角平分线的定义，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CAD ＝∠BDP +∠DPB .
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠B ＝∠CDE ，得到MN ∥BA ，根据平行线的性质证明； （3）根据三角形的外角性质证明．
【详解】
（1）∵∠C +∠CAD +∠ADC ＝∠C +∠CAB +∠B ＝180°，
∴∠CAD +∠ADC ＝∠CAB +∠B ，
∵∠CDA ＝∠CAB ，
∴∠CAD ＝∠B ，
∵∠CAB ＝∠CAD +∠DAB ＝∠ABC +∠DAB ，
∴∠CDA ＝∠DAB +∠DBA ；
（2）∵∠CDA ＝∠CAB ，∠C ＝∠C ，
∴180°-∠CDA-∠C ＝180°-∠CAB -∠C
∴∠B ＝∠CAD ，
∵∠CDE ＝∠CAD ，
∴∠B ＝∠CDE ，
∴MN ∥BA ，
∴∠AED +∠EAB ＝180°；
（3）∠CAD ＝∠BDP +∠DPB
证明：由三角形的外角的性质可知，∠ABC ＝∠BDP +∠DPB ，
∵∠CDA ＝∠CAB ，∠C ＝∠C ，
∴∠B ＝∠CAD ，
∴∠ABC ＝∠BDP +∠DPB ．
∴∠CAD ＝∠BDP +∠DPB.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和即可得到结论．
29．（1）33log 64=，3；（2）证明见解析；（3）1
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以把指数式43＝64写成对数式；
（2）先设log a M ＝m ，log a N ＝n ，根据对数的定义可表示为指数式为：M ＝a m ，N ＝a n ，计算M N
的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：log a （M•N ）＝log a M ＋log a N 和log M
N a ＝log a M −log a N 的逆用，将所求式子表示
为：log 3（2×6÷4），计算可得结论．
【详解】
解：（1）由题意可得，指数式43＝64写成对数式为：3＝log 464，
故答案为：3＝log 464；
（2）设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m ，N ＝a n ， ∴M N ＝m
n a a
＝a m−n ，由对数的定义得m−n ＝log M N a ， 又∵m−n ＝log a M −log a N ， ∴log M
N a ＝log a M −log a N （a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0）； （3）log 32＋log 36−log 34，
＝log 3（2×6÷4），
＝log 33，
＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
30．（1）BME MEN END ∠=∠-∠，BMF MFN FND ∠=∠+∠；（2）120°；（3）没发生变化，30°
【解析】
【分析】
（1）过E 作//EH AB ，易得////EH AB CD ，根据平行线的性质可求解；过F 作//FH AB ，易得////FH AB CD ，根据平行线的性质可求解；
（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2()180BME END BMF FND ∠+∠+∠-∠=︒，可求解60BMF ∠=︒，进而可求解；
（3）根据培训心得性质及角平分线的定义可推知12
FEQ BME ∠=∠，进而可求解． 【详解】
解：（1）过E 作//EH AB ，如图1，
BM E M EH ∴∠=∠，
//AB CD ，
//HE CD ∴，
END HEN ∴∠=∠，
MEN MEH HEN BME END ∴∠=∠+∠=∠+∠，
即BME MEN END ∠=∠-∠．
如图2，过F 作//FH AB ，
BMF MFK ∴∠=∠，
//AB CD ，
//FH CD ∴，
FND KFN ∴∠=∠，
MFN MFK KFN BMF FND ∴∠=∠-∠=∠-∠，
即：BMF MFN FND ∠=∠+∠．
故答案为BME MEN END ∠=∠-∠；BMF MFN FND ∠=∠+∠．
（2）由（1）得BME MEN END ∠=∠-∠；BMF MFN FND ∠=∠+∠．
NE 平分FND ∠，MB 平分FME ∠，
FM E BM E BM F ∴∠=∠+∠，FND FNE END ∠=∠+∠，
2180MEN MFN ∠+∠=︒，
2()180BME END BMF FND ∴∠+∠+∠-∠=︒，
22180BME END BMF FND ∴∠+∠+∠-∠=︒，
即2180BMF FND BMF FND ∠+∠+∠-∠=︒，
解得60BMF ∠=︒，
2120FME BMF ∴∠=∠=︒；
（3）FEQ ∠的大小没发生变化，30FEQ ∠=︒．
由（1）知：MEN BME END ∠=∠+∠， EF 平分MEN ∠，NP 平分END ∠，
11()22FEN MEN BME END ∴∠=∠=∠+∠，12
ENP END ∠=∠， //EQ NP ，
NEQ ENP ∴∠=∠，
111()222
FEQ FEN NEQ BME END END BME ∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠， 60BME ∠=︒，
160302
FEQ ∴∠=⨯︒=︒． 【点睛】
本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键．。