2021年高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(一)

2021年高三第二次模拟突破冲刺数学（理）试题（一）
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集,集合,,则集合( )
A．B．C． D.
2. 设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则( )
A．
B
．
2
．
D．1
3.在正项等比数列中，，前项和为,且成等差数列，则的值为( )
A. 125
B. 126
C. 127
D. 128
4. 已知函数，为了得到函数的图象，只需要将的图象( )
A. 向右平移个单位长度
B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
5. 若的展开式中第四项为常数项，则( )
A．4 B．5 C．6 D．7
6.给四面体的六条棱分别涂上红，黄，蓝，绿四种颜色中的一种，使得有公共顶点的棱所涂
的颜色互不相同，则不同的涂色方法共有( )
A．96 B．144 C. 240 D. 360
7.已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点是两曲线的一个公共点，若，则等于( )
A．B．C．D．3
8. 如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的
概率为( )
A
．
B．C．D．
9. 已知变量满足约束条件若恒成立，则实数的取值范围为( )
A. (-∞,-1]
B. [-1,+∞)
C. [-1,1]
D. [-1,1)
10.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是( )
A. B.100 C.92 D.84
11.已知函数()定义域为,则的图像不可能是( )
A. B. C. D.
12.设，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（是自然对数的底数），则( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13. 若，则的最大值为.
14.设为实数,函数的导函数为,且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为.
15. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，
3
,2
,1
,3
2
π
=
∠
=
=
=BAC
AC
AB
SA，则球的表面积为.
16. 已知是函数的两个零点，，则的取值范围是.
三、解答题：本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）设各项均为正数的数列的前项和为,满足,且恰好是等比数列的前三项.
O x
y
1 O x
y
1 O x
y
1 O x
y
1
(1) 求数列、的通项公式；
(2) 记数列的前项和为，若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
18. (本题满分12分） 甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲、丙
两人同时不能被聘用的概率是,乙、丙两人同时能被聘用的概率为,且三人各自能否被聘用相互独立.
(1) 求乙、丙两人各自被聘用的概率;
(2) 设ξ为甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)
19.（本小题满分12分）如图，在矩形中，，,分别为,的中点，且沿,分别将与折起来，使其顶
点与重合于点，若所得三棱锥的顶点在底面内的射影恰为的中点。

（1）求三棱锥的体积；
（2求折起前的与侧面所成二面角的大小.
20.（本小题满分12分）已知点E (m ,0)为抛物线内的一个定点，过E 作斜率分别为k 1、k 2的两条直线交抛物线于点A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点
（1）若m = 1，k 1k 2 = -1，求三角形EMN 面积的最小值； （2）若k 1 + k 2 = 1，求证：直线MN 过定点.
A
B C D
F E
P O
21.（本小题满分12分）已知函数
（1）若，求的单调区间；
（2）若由两个极值点，记过点的直线的斜率，问是否存在，使，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。

22.（本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图,已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B和两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
(1)求证:AD∥EC;
(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长.
23.（本题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线与曲线交于两点
(1)求的长；
(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点的极坐标为,求点到线段中点的距
离.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．
数学参考答案
(2)T n===,7分∴(+)k≥3n-6对n∈N*恒成立,
∴k≥对n∈N*恒成立,9分
令c n=,c n-c n-1=-=,10分当n≤3时,c n>c n-1,当n≥4时,c n<c n-1,11分
∴(c n)max=c3=,k≥.12分
18、解:(1)设乙、丙两人各自被聘用的概率分别为P1、P2,
则甲、丙两人同时不能被聘用的概率是(1-)·(1-P2)=,2分
解得P2=,3分
乙、丙两人同时能被聘用的概率为P1·P2=∴P1=,5分
因此乙、丙两人各自被聘用的概率分别为、.6分
(2)ξ的可能取值有1、3,7分
则P(ξ+×(1-)×+××(1-)=,8分
P(ξ=3)= (1-)×(1-)×(1-)+××
=,9分
因此随机变量ξ的分布列如表所示
ξ 1 3
P
所以随机变量ξ的均值(即数学期望)E(ξ)=1×+3×=.12分 19. 【解】( I )依题设：面
又依题设：O 为EF 的中点，且,
,为边的中点， 故11133P ABF ABF V S PO -∆=
⋅=⨯=。

( II ) 因所求二面角与二面角互补，故先求二面角。

作于H ，连， 则由知：OH 为的射影为二面角的平面角，
在中，由易求得：，又，故在中，由 =，由此即知二面角的大小为。

（II ）设平面与平面的夹角为，并设 其法向量为，则由， ，以及 取，得平面
的一个法向量为：；而平面的一个法向量为：，
故由=。

而所求二面角为钝二面角，故其大小为。

20、解析：（Ⅰ）当时，E 为抛物线的焦点，
∵，∴AB ⊥CD 设AB
方程为， 由，得， AB
中点，∴， 同理，点……2分
∴1||||2
EMN S EM EN ∆=⋅=4分
当且仅当，即时，△EMN 的面积取最小值4． …6分 （Ⅱ）证明：设AB 方程为，
由，得，
AB 中点，∴， 同理，点……8分
∴ …10分 ∴MN ：，即
∴直线MN 恒过定点． …12分 21. 解：（Ⅰ）的定义域为， 当时，
当或，时，，........................2分 当时，..........
的单调递增区间为，单调递减区间为..........4分 （Ⅱ） 令，则， 当，即时，，
在上单调递增，此时无极值； ..............5分 当，即时，，
在上单调递增，此时无极值.............6分 当，即或时， 方程有两个实数根
若，两个根，此时， 则当时，，
在上单调递增，此时无极值.................7分 若，的两个根，不妨设，则 当和时，，在区间和单调递增， 当时，，在区间上单调递减，
则在处取得极大值，在处取得极小值， 且
2212111222
1212
()()ln ln f x f x x x ax x x ax k x x x x -+---+==
-- 1212121212ln ln ln ln ()2
x x x x a
x x a x x x x --=
++-=---
即 ……………………（*）............9分 即
令，则上式等价于： 令 则 令
在区间上单调递减，且， 即在区间恒成立 在区间上单调递增，且 对，函数没有零点，
即方程在上没有实根，.. 11分
即（*）式无解，不存在实数，使得..12分 22．解:(I)∵AC 是⊙O 1的切线,∴∠BAC =∠D ,
又∵∠BAC =∠E ,∴∠D =∠E ,∴AD ∥EC . (II)设BP =x ,PE =y ,∵PA =6,PC =2, ∴xy =12 ①
∵AD ∥EC ,∴
PD PE =AP PC ,∴9＋x y =62
② 由①、②解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
y ＝4 (∵x >0,y >0)
∴DE =9+x +y =16,
∵AD 是⊙O 2的切线,∴AD 2
=DB ·DE =9×16,∴AD =12.
23. 1.解(1)直线的参数方程化为标准型(为参数)
代入曲线方程得
设对应的参数分别为,则,, 所以 5分
(2)由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标, 所以点在直线, 中点对应参数为,由参数几何意义,所以点到线段中点的距离 10分 24. （Ⅰ）时，， ∴当时，不合题意； 当时，，解得；
当时,符合题意. 3分 综上,的解集为 5分
（Ⅱ）设，的图象和的图象如右图： 7分
易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点， 从而. 10分
32127 7D7F 絿24536 5FD8 忘:27215 6A4F 橏37485 926D 鉭36507 8E9B 躛26407 6727 朧25961
6569 敩E"%K27300 6AA4 檤S
P O 2O 1
B
A
D
C。