新教材人教A版必修第一册 5.7 三角函数的应用 课件(28张)
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5.7三角函数的应用(课件(人教版))
新知探究
练习1 图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过 1 2
周期后，乙点的位置将移至何处？
乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处．
新知探究
练习2 从诞生之日起，人的情绪、体力、智力等状况就呈周期性变 化，根据心理学统计，人体节律分为体力节律，情绪节律，智力节律 三种，这些节律的时间周期分别为23天，28天，33天．每个节律周期 又分为高潮期，临界日，低潮期三个阶段．节律周期的半数为临界日， 临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置 （平衡位置），请根据自己的诞生日期，绘制自己的体力，情绪，智 力曲线，并预测本学期期末考试期间，你在体力，情绪，智力方面会 有怎样的表现，需要注意哪些问题？
0.4
1.0
目标检测
（1）试画出散点图；
（2）视察散点图，从y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b，y＝Acos（ωt ＋φ）＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定当浪高不低于0.8 m时才进行训练，试安排合适的训练 时间段．
解：（1）如图；
目标检测
（2）由散点图可知，选择y＝Asin（ωt＋φ）＋b函数模型较为合适． y 2 sin πt 1(1≤ t ≤ 24). 56
（3）在11 h～19 h进行训练较为合适．
5.7 三角函数的应用
第二课时
新知探究
例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y Asin(x ) b．
（1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．
新知探究
例2 海水受日月的引力，在一定时候产生涨落的现象叫潮．一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进巷道，靠近 码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表是某港口某天的时刻与水深关 系的预报．
2023新教材高中数学第5章三角函数5.7三角函数的应用课件新人教A版必修第一册
(2)∵y＞1 时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝12cosπ6t＋1＞1，cos6πt ＞0，2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，即 12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z)．又 0≤t≤24， 所以 0≤t＜3 或 9＜t＜15 或 21＜t≤24，所以在规定时间内只有 6 个 小时冲浪爱好者 列表如下：
t
－π6
π 12
π 3
2t＋3π
0
π 2
π
sin2t＋π3
0
1
0
s
0
4
0
7π
5π
12
6
3π 2
2π
－1
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3，得 s＝4sin 3π＝2 3，所以小球开 始振动时的位移是 2 3 cm．
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－ 4 cm．
1
1 4π
12x－π6
－π6
[频率为22π＝41π，
相位为12x－π6，初相为－6π．]
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 三角函数模型在物理学中的应用 【例 1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡 位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋ ∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？
l
gl ＝2π，gl ＝4π2，l＝4gπ2．]
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面 高度 y(m)在某天 24 h 内的变化情况，则水面高度 y 关于从夜间 0 时 开始的时间 x 的函数关系式为____________．
t
－π6
π 12
π 3
2t＋3π
0
π 2
π
sin2t＋π3
0
1
0
s
0
4
0
7π
5π
12
6
3π 2
2π
－1
0
－4
0
描点、连线，图象如图所示．
(1)将 t＝0 代入 s＝4sin2t＋π3，得 s＝4sin 3π＝2 3，所以小球开 始振动时的位移是 2 3 cm．
(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－ 4 cm．
1
1 4π
12x－π6
－π6
[频率为22π＝41π，
相位为12x－π6，初相为－6π．]
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 三角函数模型在物理学中的应用 【例 1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡 位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋ ∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？
l
gl ＝2π，gl ＝4π2，l＝4gπ2．]
5．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面 高度 y(m)在某天 24 h 内的变化情况，则水面高度 y 关于从夜间 0 时 开始的时间 x 的函数关系式为____________．
统编人教A版高中必修第一册数学《5.7 三角函数的应用》集体备课ppt课件
第五章 三 角 函 数
5.7 三角函数的应用
学习目标
1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数 模型解决一些简单的实际问题．
2．实际问题抽象为三角函数模型．
提出问题
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象， 如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描 述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．
【解】 由题意得： T≤1100，即2ωπ≤1100， ∴ω≥200π， ∴正整数 ω 的最小值为 629.
5.某港口的水深 y(m)是时间 t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水 深的数据：
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型 函数 y＝Asin ωt＋b 的图象． (1)试根据以上数据，求出 y＝Asin ωt＋b 的表达式；
课堂小结
解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意； (2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．
归纳总结
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮 动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在 物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离 的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用 函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈［０，＋∞） 表示，其中A＞０， ω ＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都 与这个解析式中的常数有关：
5.7 三角函数的应用
学习目标
1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数 模型解决一些简单的实际问题．
2．实际问题抽象为三角函数模型．
提出问题
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象， 如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描 述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．
【解】 由题意得： T≤1100，即2ωπ≤1100， ∴ω≥200π， ∴正整数 ω 的最小值为 629.
5.某港口的水深 y(m)是时间 t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水 深的数据：
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型 函数 y＝Asin ωt＋b 的图象． (1)试根据以上数据，求出 y＝Asin ωt＋b 的表达式；
课堂小结
解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意； (2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论．
归纳总结
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮 动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在 物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离 的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用 函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈［０，＋∞） 表示，其中A＞０， ω ＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都 与这个解析式中的常数有关：
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)优质课件：5.7三角函数的应用
解 （1）由题意可作图如图.过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交 ON于点M.
当π2<θ≤π 时，∠BOM＝θ－π2. h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8 sinθ－π2； 当 0≤θ≤π2，π<θ≤2π 时，上述解析式也适合. 则 h 与 θ 间的函数解析式为 h＝5.6＋4.8sinθ－π2.
解析 设 y＝Asin（ωt＋φ）（A>0，ω>0），则从表中数据可以得到 A＝4，ω＝2Tπ ＝02.π8＝52π，又由 4sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，取 φ＝－π2，则 y＝4sin52πt－π2， 即 y＝－4cos52πt. 答案 y＝－4cos52πt
一、素养落地 1.通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算、数学建模素养. 2.三角函数模型构建的步骤：
解 （1）由题图知 A＝300，设 t1＝－9100，t2＝1180，
则周期 T＝2（t2－t1）＝21180＋9100＝715. ∴ω＝2Tπ＝150π. 又当 t＝1180时，I＝0，即 sin150π·1180＋φ＝0，而|φ|<π2，∴φ＝π6.
故所求的解析式为 I＝300sin150πt＋π6.
【训练4】 一物体相对于某一固定位置的位移y（cm）和时间t（s）之间的一组
对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个
三角函数式为
.
t0
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
1φ
（3）简谐运动的频率由公式___f=__T_=__2_π_给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内
人教A版高中数学必修第一册5.7三角函数的应用【课件】
的最大距离;
(2)简谐运动的周期 T= ,它是做简谐运动的物体往复运动一
次所需要的时间;
(3)简谐运动的频率由公式 f= =
给出,它是做简谐运动的物
体在单位时间内往复运动的次数;
(4)ωx+φ 称为相位;x=0 时的相位 φ 称为初相.
3.y=sin
答案:-
的初相是
.
二、拟合函数模型
我们可以利用收集到的数据,首先画出相应的“散点图”并观
察,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个函
数模型来解决相应的实际问题.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.( √ )
故 y=20sin
- .
(2)函数y=Asin(ωt+φ)中的参数A,ω,φ对其图象有怎样的影响?
提示:A影响函数的最值,ω影响函数的周期,φ决定函数的具体
位置.
2.简谐运动可以用函数 y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中 A>0,
ω>0.
(1)A 是简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置
5.7
三角函数的应用
课标定位
素养阐释
1.会用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变
化的数学模型.
3.体会数学建模的过程,提升数学建模和数学运
算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
(2)简谐运动的周期 T= ,它是做简谐运动的物体往复运动一
次所需要的时间;
(3)简谐运动的频率由公式 f= =
给出,它是做简谐运动的物
体在单位时间内往复运动的次数;
(4)ωx+φ 称为相位;x=0 时的相位 φ 称为初相.
3.y=sin
答案:-
的初相是
.
二、拟合函数模型
我们可以利用收集到的数据,首先画出相应的“散点图”并观
察,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,最后利用这个函
数模型来解决相应的实际问题.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型.( √ )
故 y=20sin
- .
(2)函数y=Asin(ωt+φ)中的参数A,ω,φ对其图象有怎样的影响?
提示:A影响函数的最值,ω影响函数的周期,φ决定函数的具体
位置.
2.简谐运动可以用函数 y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中 A>0,
ω>0.
(1)A 是简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置
5.7
三角函数的应用
课标定位
素养阐释
1.会用三角函数解决简单的实际问题.
2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变
化的数学模型.
3.体会数学建模的过程,提升数学建模和数学运
算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
高中数学人教A版必修第一册课件5.7三角函数的应用课件
课堂小结，领会提升
问题 1、对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？ 2、你能举出一些符合三角函数规律的实际模型吗？ 3、在本节课中，你经历了怎样的学习过程， 4、涉及哪些数学思想方法， 5、还有哪些其它方面的收获？
归纳小结
课堂小结，领会提升
利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量 满足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出 现”，并求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
整体感知
弹簧振子模型
把一个有孔的小球装在弹簧的一端，弹 簧的另一端固定，在理想状态下，将小球拉 离平衡位置，然后放开，他就会在平衡位置 附近振动。这样的系统称为弹簧振子。
如何将弹簧振子模型转化为 数学模型？
收集数据
新知探究
例一：某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位s）与 位移y（单位mm）之间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定 这个振子的位移关于时间的函数解析式．
振子振动的周期为0.6s，即 2 0.6，解得 10 ；
3
再由初始状态(t=0)振子的位移为-20，可得sin φ=-1，因此
-
。
2
函数的解析式为 y
20sin
10π 3
t
π 2
，t
[0，
)
．
注意定义域！！！
模型建立一般程序
一般函数模型的建立程序 一般函数模型的建立程序如图所示：
8
研探新知
答案：（1）振幅是3，周期是4，频率是14 ；
（2）y
3cos(
π 2
x
π 10
)．
根据散点图（如图）， 分析得出位移y随时间t的变化规律可以用y＝Asin（ωx＋φ)这个函 数模型进行刻画．
三角函数的应用 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
＋φ)，A>0，ω>0 ,x∈[0，∞)，A>o，w>0.描述简谐运动的物
理量如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关。
函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
练一练
1 π
1
1．函数 y＝3 sin 3x＋6 的周期、振幅、初相分别是(
1 π
A．3π，3 ，6
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
5.6 函数 y＝Asin( ω x ＋ φ)
习题课
复习回顾：
y=sinx的图像如何通过变换得到
y＝A sin (ωx＋φ)（A>0,ω>0）的图像？
课本P236
一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，可以用下面的方法 得到:
①先画出函数 y=sin x的图象;
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
翻到练透P329
2.函数 y＝sin 2x 的图象可由函数
π
y＝cos2x＋6的图象
π
A.向左平移12个单位长度得到
π
C.向左平移4个单位长度得到
函数 y＝sin
练透P329
π
B.向右平移6个单位长度得到
√
π
D.向右平移3个单位长度得到
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
π
sinx＋6的图象；
第二步：把函数
理量如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关。
函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
练一练
1 π
1
1．函数 y＝3 sin 3x＋6 的周期、振幅、初相分别是(
1 π
A．3π，3 ，6
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
5.6 函数 y＝Asin( ω x ＋ φ)
习题课
复习回顾：
y=sinx的图像如何通过变换得到
y＝A sin (ωx＋φ)（A>0,ω>0）的图像？
课本P236
一般地，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象，可以用下面的方法 得到:
①先画出函数 y=sin x的图象;
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
翻到练透P329
2.函数 y＝sin 2x 的图象可由函数
π
y＝cos2x＋6的图象
π
A.向左平移12个单位长度得到
π
C.向左平移4个单位长度得到
函数 y＝sin
练透P329
π
B.向右平移6个单位长度得到
√
π
D.向右平移3个单位长度得到
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
π
sinx＋6的图象；
第二步：把函数
人教A版数学必修第一册5.7三角函数的应用课件
100
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个
强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
[例1] 电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ)
(A>0, ω>0, <
).
2
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据
图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
A．2 s
B．1 s
1
2
1
4
C. s
✓
2
周期T＝
2
D. s
1
＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为 s.
2
题型二
三角函数在实际生活中的应用
[例2] 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接
近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.202X年2月下旬某地区连续几
天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在
2 2
∴ω＝ ＝ ＝ .
12 6
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
1
1
∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为 ，∴y＝ cos t＋1.
2
2
6
2. 已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的
函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
人流量满足函数F(t)＝50＋4sin
2
(t≥0)，则在下列哪个时间段内人
流量是增加的( C )
A．[0,5]
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个
强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
[例1] 电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ)
(A>0, ω>0, <
).
2
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据
图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
A．2 s
B．1 s
1
2
1
4
C. s
✓
2
周期T＝
2
D. s
1
＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为 s.
2
题型二
三角函数在实际生活中的应用
[例2] 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接
近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象.202X年2月下旬某地区连续几
天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在
2 2
∴ω＝ ＝ ＝ .
12 6
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
1
1
∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为 ，∴y＝ cos t＋1.
2
2
6
2. 已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的
函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
人流量满足函数F(t)＝50＋4sin
2
(t≥0)，则在下列哪个时间段内人
流量是增加的( C )
A．[0,5]
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
人教A版数学必修第一册5.7.1三角函数的应用课件
题型探究
一 题 多 变
思 维 发 散
2．[变条件，变设问] 将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变， 求离y轴最近的一条对称轴方程．
由 4x＋23π＝kπ＋π2(k∈Z)，得 x＝k4π－2π4(k∈Z)， 取 k＝0，x＝－2π4满足题意， 故离 y 轴最近的一条对称轴方程为 x＝－2π4.
[例 3] 在函数 y＝2sin4x＋23π 的图象的对称中心中，离原点 最近的一个中心的坐标是 ________．
达标检测
1．最大值为12，周期为23π，初相为π6的函数表达式是( D )
A．y＝12sin x3＋π6
B．y＝12sin x3－π6
C．y＝12sin 3x－π6
D．y＝12sin 3x＋π6
y＝12sin 3x＋π6满足最大值为12，周期为23π，初相为π6.
达标检测
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则( C )
C．x＝－π4
D．x＝－π2
f(x)对称轴是 x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，即 x＝kπ＋43π，k∈Z， 当 k＝－1 时，x＝－π＋43π＝－π4
课前预习
任务二：简单题型通关
3.如图是函数 y＝sin(ωx＋φ)(|φ|＜π2)的图象的一部分，那么( A )
A．ω＝161，φ＝π6
B．ω＝161，φ＝－π6
课前预习
任务二：简单题型通关
1．函数 y＝31sin 31x＋π6的周期、振幅、初相分别是( B )
A．3π，13，π6
B．6π，31，π6
C．3π，3，－π6
D．6π，3，π6
课前预习
任务二：简单题型通关
5.7 三角函数的应用(教学课件)——高中数学人教A版(2019)必修第一册(共32页PPT)
其中： （1）振幅：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最 大位置.
（2）周期：T
2π
，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间.
（3）频率：
f
1 T
2π
，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数.
（4）相位：x ； x 0 时的相位 称为初相.
匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用 三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律，在现实生活中也有大量运动 变化现象，仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的特点，这些现象也可以 借助三角函数近似地描述.
振子的振动具有循环往复的特点，其位移 y 随时间 t 的变化规律可以用函数 y＝Asin(ωt＋φ) 来刻画．
根据已知数据作出散点图如图：
由数据表和散点图可知 y Asin t 中，振子振动时位移的最大值为 20mm，
∴A＝20；振子振动的周期为
0.6s，即
2π
0.6
＝0.6，解得
10π 3
；再由初始状
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
时刻 0:00 3:06 6:12
水深/m 5.0 7.5 5.0
时刻 9:18 12:24 15:30
水深/m 2.5 5.0 7.5
新教材人教A版数学必修第一册课件：第五章5.7三角函数的应用
.
.
【分析】根据振动循环往复特点，描出五点并作图
0.55
0.60
-17.8
-20.0
.
问题【1
】
【思考】现实生活中有大量类似弹簧振子的运动，如钟摆
的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等等.
这些振动都是物体在某一中心位置附近循环往复
= 运动，在物理学中，把这样的运动成为“简谐运动”.
所以
,
=
故
< 把
<
代入，得
< +<
=
+，所以
因为
所以
，图像如图所示，则当t=0.01
−
+
=
+ =
，即
，所以
,
即时巩固
【例2】弹簧振子以O点为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C两点相距
π
π
关系：f(t)＝10－2sin12t＋3，t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
解
因为
π
π
f(t)＝10－2sin12t＋3，
又0≤t<24，
π
π
π π
π 7π
所以3≤12t＋3< 3 ，－1≤sin12t＋3≤1.
π
π
当 t＝2 时，sin12t＋3＝1；
.
【分析】根据振动循环往复特点，描出五点并作图
0.55
0.60
-17.8
-20.0
.
问题【1
】
【思考】现实生活中有大量类似弹簧振子的运动，如钟摆
的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等等.
这些振动都是物体在某一中心位置附近循环往复
= 运动，在物理学中，把这样的运动成为“简谐运动”.
所以
,
=
故
< 把
<
代入，得
< +<
=
+，所以
因为
所以
，图像如图所示，则当t=0.01
−
+
=
+ =
，即
，所以
,
即时巩固
【例2】弹簧振子以O点为平衡位置，在B，C两点间做简谐运动，B，C两点相距
π
π
关系：f(t)＝10－2sin12t＋3，t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差；
解
因为
π
π
f(t)＝10－2sin12t＋3，
又0≤t<24，
π
π
π π
π 7π
所以3≤12t＋3< 3 ，－1≤sin12t＋3≤1.
π
π
当 t＝2 时，sin12t＋3＝1；
新教材高中数学第五章三角函数5.7三角函数的应用课件新人教A版必修第一册
数的解析式可以是 ( )
A.y=3sin t+12
B.y=-3sin t+12
6
6
C.y=3sin t+12
D.y=3cos t+12
12
12
【解析】选A.根据题意，由ω=
2＝2＝，排除选项C，D.当t=3时，3sin
T 12 6
t＋12=3sin
6
( 3) 6
+12=15，符合题意，-3sin t＋12 =-3sin ( 3) +12=9.不符合题意，故选项B错误.
提示：A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下：
(1)ymax=A+b，ymin=-A+b；
2 A＝ ymax－ymin ，b＝ ymax＋ymin .
2
2
2.解三角函数应用题的基本步骤 (1)审清题意； (2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论.
(2t＋ ) 6
，s2=
10cos2t确定，则当t=
2 3
s时，s1与s2的大小关系是
()
A.s1>s2
B.s1<s2
C.s1=s2
D.不能确定
【解析】选C.当t=
2 3
时，s1=5sin
( 4＋) 36
=5sin
3 =-5，
2
当t=
2 3
时，s2=10cos
4 3
=10×
(－
1 2
)=-5，故s1=s2.
的函数图象大致为
()
【思路导引】1.根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断. 2.根据题意，选择几个特殊的点马上就能找到答案.
人教A版(2019)高中数学必修第一册5.7三角函数的应用 课件
y Asin(wt )来刻画
振子振动的时位移最大值为20 A=20
振子振动的周期为0.6s T 0.6
T 2 即 2 2 10
T 0.6 3
再由初始状态（t=0)振子的位移为-20
所以，振子位移关于时间的 函数解析式：
可得sin 1
2Hale Waihona Puke y 20 sin(10 t ), t [0,)
曲线近似满足函数y Asin(wx ) b
(1)求这一天6 ~ 14时最大温差 （2）写出曲线的函数解析式
解：(1)由图可知，这段时间温差为20 C
(2)如图，从6 ~ 14时的图象是函数
y Asin(wx ) b半个周期的图象
A 1 (30 10) 10,b 1 (30 10) 20
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y
-20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
根据散点图（如图），
振子的振动具有循环往复 的特点，由振子振动物理 学原理可知，其位移y随时 间t的变化规律可以用函数
32
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆 的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等。
物体都是物体在某一个中心位置附近循环往复 的运动。在物理学中，把物体受到的力正比于离开 平衡的距离的运动称为“简谐运动”
在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数
y sin(x ), x [0,)表示，其中A 0, 0,
600 150 60060
(1)
(2)
振子振动的时位移最大值为20 A=20
振子振动的周期为0.6s T 0.6
T 2 即 2 2 10
T 0.6 3
再由初始状态（t=0)振子的位移为-20
所以，振子位移关于时间的 函数解析式：
可得sin 1
2Hale Waihona Puke y 20 sin(10 t ), t [0,)
曲线近似满足函数y Asin(wx ) b
(1)求这一天6 ~ 14时最大温差 （2）写出曲线的函数解析式
解：(1)由图可知，这段时间温差为20 C
(2)如图，从6 ~ 14时的图象是函数
y Asin(wx ) b半个周期的图象
A 1 (30 10) 10,b 1 (30 10) 20
t
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
y
-20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
根据散点图（如图），
振子的振动具有循环往复 的特点，由振子振动物理 学原理可知，其位移y随时 间t的变化规律可以用函数
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现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆 的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动等。
物体都是物体在某一个中心位置附近循环往复 的运动。在物理学中，把物体受到的力正比于离开 平衡的距离的运动称为“简谐运动”
在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数
y sin(x ), x [0,)表示，其中A 0, 0,
600 150 60060
(1)
(2)
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C．s1＝s2 D．不能确定
解析：当 t＝23π时，s1＝－5，s2＝－5，所以 s1＝s2. 答案：C
4．简谐振动 y＝12sin4x＋π6的频率和相位分别是________.
解析：简谐振动 y＝21sin4x＋π6的周期是 T＝24π＝π2，相位是 4x＋π6， 频率 f＝T1＝2π.
答案：π2，4x＋π6
题型二 建立三角函数模型——师生共研 例2 某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上，按月呈f(x)＝
Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x为月份)，已知3月份达到 最高价7千元，7月份达到最低价3千元，根据以上条件可以确定f(x)的解 析式是( )
A．f(x)＝2sinπ4x＋π4＋5(1≤x≤12，x∈N*) B．f(x)＝7sin4πx－4π＋5(1≤x≤12，x∈N*) C．f(x)＝7sin4πx＋4π＋5(1≤x≤12，x∈N*) D．f(x)＝2sinπ4x－π4＋5(1≤x≤12，x∈N*)
解析：根据题意，得T＝2×(7－3)＝8，则ω＝
2π T
＝
π 4
.由
A＋B＝7， －A＋B＝3，
得
A＝2， B＝5.
当x＝3时，2sin π4×3＋φ ＋5＝7，得φ＝
题型一 三角函数模型在物理中的应用——师生共研
例1 已知表示电流强度I与时间t的函数关系
式I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)．
(1)若电流强度I与时间t的函数关系图象如图
所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)A>0，ω>0，|φ|<2π中
，其图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和φ分别是
多少？
解析：∵该简谐运动的函数关系式为 f(x)＝2sin4πx＋φ|φ|<π2，∴最 小正周期 T＝2ππ＝8.
4 又函数的图象过点(0,1)， ∴将点(0,1)代入函数解析式，得 2sin φ＝1，即 sin φ＝21. 又|φ|<π2，∴φ＝π6.
要点三 三角函数模型的拟合应用 我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“_散__点__图___”，通过观 察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个 函数模型来解决相应的实际问题．
状元随笔 解答三角函数应用题应注意四点
(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号 语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领 悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．
答案：C
3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为 M1 和 M2 的小球，它们做上 下自由振动，已知它们在时间 t(s)时离开平衡位置的位移 s1(cm)和 s2(cm) 分别由下列两式确定：
s1＝5sin2t＋π6，s2＝5cos2t－π3.
则在时间 t＝23π时，s1 与 s2 的大小关系是(
)
A．s1>s2 B．s1<s2
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人 流量满足函数 F(t)＝50＋4sin2t (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是 增加的( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
解析：由 2kπ－2π≤2t ≤2kπ＋π2，k∈Z，知函数 F(t)的增区间为[4kπ－π， 4kπ＋π]，k∈Z.当 k＝1 时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选 C.
5.7 三角函数的应用
最新课标 会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建 刻画事物周期变化的数学模型.
[教材要点] 要点一 函数 y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0 中各参数的物理意义
A
ωx＋φ
2π
ωω
φ
2π
要点二 三角函数模型应用的步骤 三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再 求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决． 步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的 三角函数值→解决实际问题． 这里的关键是__建__立__数__学__模__型____，一般先根据题意设出代表函数， 再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
(2)在建立变量关系这并用的思维方式来打开思想解决问题．
(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的 知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从 复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解 决问题．
方法归纳
处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共 同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等 概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练1 已知简谐运动的函数关系式为f(x)＝2sin
π4x＋φ
π |φ|<2
t在任意一段
1 100
秒的时间内电流强度I能同时取得最大值A与最小值－
A，那么正整数ω的最小值是多少？
解析：(1)由题意知，A＝300.
T＝610－－3100＝510，∴ω＝2Tπ＝100π. ∵－3100，0是该函数图象的第一个零点，∴－ωφ ＝－3100. ∴φ＝3ω00＝3π，符合|φ|<2π， ∴I＝300sin100πt＋3π(t≥0)． (2)问题等价于 T≤1100，即2ωπ≤1010， ∴ω≥200π.∴正整数 ω 的最小值为 629.
(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计 算器．
[教材答疑]
教材 P248 思考 不对．因为这条船停止后还需 0.4 h，若在 P 点停止，再经 0.4 h 后船驶出安全水深．
[基础自测]
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)三角函数模型是描述周期变化现象的重要函数模型．( √ ) (2)在研究具体问题时，我们常常利用搜集到的数据，作出相应的 “散点图”来获得相应的函数模型．( × ) (3)函数 y＝|cos x|的图象是以 2π 为周期的波浪形曲线．( × )